专题04 空间向量求角及距离大题11大题型归纳（期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题04 空间向量求角及距离大题归纳 基础·固本强基 题型1 求异面直线夹角 题型2 求线面角（重点） 题型3 求二面角（重点） 题型4 求距离 题型5 求体积 提升·进阶突破 题型6 求异面直线夹角的最值（重难点） 题型7 求线面角的最值（重难点） 题型8 求面面角的最值（重难点） 题型9 求距离的最值（重难点） 拔高·压轴破难 题型10翻折问题（重难点） 题型11存在性问题探究（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 求异面直线夹角 【方法总结】两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，其夹角为θ，则（其中φ为异面直线a，b所成的角）． 1．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：如图，以为原点，以射线、、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 所以， 所以，故． (2) 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可； （2）利用向量的夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）略. （2）因为是的中点，且，，故， 所以，所以， 因为，，且， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 2．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，AB是圆的直径，AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点，． (1)求点B到平面ACM的距离； (2)求异面直线CM与AB所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过证明线面垂直可得到点B到平面ACM的距离为BC的长，利用直径所对圆周角为直角可得为直角三角形，根据勾股定理即可求出点到平面的距离BC的长； （2）根据（1）中的线面垂直，建立空间直角坐标系，根据向量角求出异面直线所成角的正弦值． 【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为是圆的直径，所以． 因为，且平面， 所以平面ACM，因为，所以， 所以点B到平面ACM的距离为BC的长，即． （2）因为是圆的直径，所以． 因为AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点， 所以作AM的平行线，建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，所以点，，，， 则，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故异面直线与所成角的正弦值为． 3．（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，. (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用直径所对的圆周角为直角和勾股定理求出的长度和柱体的高，再根据圆柱结构特征即可求其表面积； (2)法一：利用平行线转化，求出异面直线与所成角即为，再利用勾股定理的逆定理证明，然后通过余弦定理计算夹角即可求解； 法二：建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量法求出异面直线所成的角的余弦值即可. 【详解】（1）因为AB是底面圆O的直径，所以.因为，，所以.因为，所以圆柱的侧面积为，故其表面积为. （2）（方法一）由三棱柱的性质可得，所以异面直线与所成的角即为.连接. 因为， 所以则，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 由题意得，所以. 设异面直线与所成的角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 4．（25-26高一下·广东肇庆·期末）如图，在四棱锥中，，，且，为的中点． (1)求证：平面； (2)若面，，，求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)取中点，连接. 由中位线性质：为的中点且， 已知且，则且， 故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，平面. (2) 【分析】（1）取中点，易证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系，得出和的坐标，根据夹角余弦公式求出余弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 各点坐标：，，，，， 故，， 直线与所成角的余弦值为. 5．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； (2) 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积与垂直的关系可证明； (2)直接结合（1）中的坐标系，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）略； （2），， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为 题型2 求线面角 【方法总结】设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 1．（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，求得向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）求得平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由四边形为正方形，且为正方形的中心，所以， 正方形纸片沿对角线折成直二面角，可得平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，， 因为，分别为和的中点，可得，， 所以，且， 可得，且 设异面直线与的夹角为，则， 所以异面直线与夹角的余弦值为. （2）因为平面，即轴与平面垂直， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知：向量， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 2．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点． (1)证明：； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由正方体可知，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以． (2) 【分析】（1）通过证明平面，从而得到； （2）建立空间直角坐标系，设的长为，利用点到平面的距离公式，建立关于的方程，最后利用线面角的公式求解得答案 【详解】（1）略 （2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设的长为，则，，，，， ，，， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则； 所以点到平面的距离，解得． 所以，设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 3．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)连接，因为，点D为棱的中点，所以， 因为是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为面，所以. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求出平面，利用线面垂直的定义得到结论. （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量，利用向量的数量积公式求解. 【详解】（1）略 （2）在直三棱柱中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 因为是中点，所以， 因为，，所以， ，， 设平面的法向量， 则， 令，解得，则， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 因为直线与平面所成角正弦值为， 所以， 因为，所以， 则转化为， 解得，即， 即，即， 解得，即， 解得， 因为，所以. 4．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）如图，已知直三棱柱的所有棱长均为2，点是的中点，平面平面． (1)证明：； (2)已知点是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由题意，，而点是的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. (2) 【分析】（1）由题设易得，再根据平面平面得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的空间向量公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，而平面，点是的中点， 以为原点，以，所在直线为轴，以与平行的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 5．（25-26高三上·江苏泰州·期末）如图，在四面体中，，． (1)求证：； (2)已知点在平面内，直线平面，，过点作平面分别与棱交于点，且四边形为平行四边形． （ⅰ）求证：三棱锥为正三棱锥; （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取中点，连接，因为， 所以三角形为等腰三角形，故， 因为，所以三角形为等腰三角形，故， 因为，， 平面， 所以平面， 又因为平面，所以有． (2)（i）因为平面，平面， 所以，由（1）知， 又因为平面且, 故平面， 所以平面和平面是同一平面， 所以点在平面内， 过点作线段于点， 由,可知三角形为等腰三角形， 所以为中点，在线段的垂直平分线上， 又由于在线段的垂直平分线上， 所以为的外心， 由余弦定理有， 故，故由圆心角性质知， 所以为等边三角形，为的中心， 所以点在底面的投影为底面中心， 故由正棱锥定义有为正三棱锥， （ii） 【分析】（1）取中点，连接，由线面垂直的判断定理可得平面，再由性质定理即可得证明； （2）（ⅰ）由线面垂直的判定定理可得点在平面内，由,可得为的外心，利用余弦定理可求得，从而可得点在底面的投影为底面中心，即可得证；（ⅱ）以为原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）（i）略； （ⅱ）由（i）可知， 因为，故， 同理可得两两垂直． 以为原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 由题有，且， 因此平面，平面， 设平面的一个法向量为， 则，取， 故所求正弦值即为． 题型3 求面面角 【方法总结】若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。 1．（2026·全国·模拟预测）在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． (1)求证：平面平面； (2)当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：由题意得：平面，面， 则． 又，，面，面， 故面，面， 故． 又，，面，面， 故面． 又面， 故面面. (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，再由判定定理可得面，从而得，结合，可得面，由面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系，设，由，可得，由三点共线及，可得．再由异面直线与夹角的余弦值为，求得，取，求出两平面与平面的法向量，即可得答案. 【详解】（1）略； （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系： 因为圆锥的高为3．母线长为5， 所以底面半径, 由题意，，，，． 设， 则，， 又，即， 即， 又， 设， ， 又， 代入坐标得：， 解得：． 故． 又， ，． 设异面直线与夹角为， 则， 解得． 由对称性，结合， 不妨取， 此时，，． 设面的法向量， 则， 不妨令，则． 同理，设面的法向量， 则． 设平面与平面夹角为， ． 2．（2026·陕西·三模）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为为中点，且，所以，即， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以. (2) 【分析】（1）先证明，，可得平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，通过证明平面得到与平面所成角为，可得，，进而利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以． 又，，所以，所以，则， 由（1）知平面，所以，，两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，， 由，，，平面，得平面， 所以与平面所成角为， 所以， 解得，，所以，则，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 由，得，可取， 设平面的一个法向量为， 由，得，可取 设二面角为． ， 则， 所以二面角的正弦值为. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证法一：取中点N，连结，，，， 在直三棱柱中，，，， 所以，所以，所以，即， 因为为中点，可得，所以， 所以，且， 又因为，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面． 证法二：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 可得，，，，，，， 所以，可得，，， 因为，，可得，， 即，， 又因为，且平面，所以平面． (2)1 【分析】（1）证法一：取中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，证得，得到，进而证得平面；证法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，，得到，，进而证得平面． （2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）中的空间直角坐标系，可得，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 因为向量， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 设平面与平面所成二面角为，可得， 所以，所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 4．（25-26高一下·吉林延边·期末）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，． (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，若平面平面；求平面与平面的夹角余弦值． 【答案】(1)在中，因为，， 所以，， 所以，则，即， 又，，， 所以，所以， ，，面， 所以面， 又面，所以面面． (2) 【分析】（1）根据多面体的几何性质，利用余弦定理和勾股定理得出线线垂直关系，进而证明线面垂直，再利用面面垂直判定定理推出结论； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，进而求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）以为原点，分别以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为， 则，，，，， ，，， 设是平面的法向量， 则，取， 设，其中． 则， 连接，因平面，平面，平面平面， 故， 取与同向的单位向量， 设是平面的法向量， 则，取， 由平面平面，知，有，解得． 此时， 又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 综上所述平面与平面的夹角余弦值为． 5．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)如图，取的中点，连接、. 因为是正三角形，为中点，所以； 因为是等腰直角三角形，，为中点，所以. 又，平面，故平面. 因为平面，所以.    (2)①；② 【分析】（1）取 中点 ，由正三角形和等腰直角三角形的性质得 、，从而 平面 ，故 ； （2）① 由垂直关系得外接球球心为中点，用等体积法分别求到平面 的距离和到平面的距离，球心到平面的距离为后者的一半； ② 建立空间直角坐标系，由垂直关系确定坐标，分别求两平面法向量，用夹角公式得二面角余弦值. 【详解】（1）略. （2）①当 时，由 ，则 ， 取的中点 ，连接 . 故到四点的距离相等，故为三棱锥 外接球的球心， 因为，故 ， 设到平面 的距离为，到平面 的距离为， 由等体积法可得 而，由于 ，故. 所以， 从而，故到平面 的距离为.   ②由①知 ，且 . 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，设. 由，即，得；由，即，得 ； 又 ，故，所以. 平面中，， 其法向量满足，可取； 平面 中，， 其法向量满足，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为.    题型4 求距离 【方法总结】 1、求点到平面距离：先求平面的法向量，再取平面内一点与目标点构成向量，该向量在法向量方向上的投影长度就是点到平面的距离。即用数量积绝对值除以法向量模长。 2、求点到直线距离：先取直线上一点与目标点构成向量，再求直线方向向量的单位向量，用该向量减去它在方向向量上的投影向量，所得向量的模长即为点到直线的距离。 3、求平行平面距离：先求两平面的法向量，再取其中一个平面内一点，求该点到另一个平面的距离，即为两平行平面的距离。本质转化为点到平面的距离。 4、求异面直线距离：先求两直线的方向向量，再求同时垂直于这两个方向向量的公共法向量；然后在两直线上各取一点构成向量，求该向量在公共法向量方向上的投影长度，即为异面直线距离。 1．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）如图，在四棱台中，四边形为菱形.，，且. (1)证明：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为为中点，求点到平面的距离. 【答案】(1)连接，并分别取中点，，连接. 四棱台， 又 ， 四边形为菱形 ，平面， 所以平面，又面，所以. 又，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接，并分别取中点，，易得，进而得平面，故，再根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据题意易证平面，以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，，求出平面和平面的法向量，结合条件求得，利用向量法求得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1） 四边形 为平行四边形， 所以，又平面，所以平面. 又 ， 以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，， 则有. 设平面的一个法向量为， 所以，令，可得， 又平面的一个法向量为， 由已知可得， 所以，得，所以， 又， 所以点到平面的距离为. 2．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1) 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 3．（26-27高三上·河南·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 【答案】(1) 取BD中点H，连接EH， FH， 因为，则， 故， 因为，EH，FH平面EFH，所以BD⊥平面EFH， 又因为平面EFH，所以. (2) (3) 【分析】（1）取BD中点H，连接EH， FH，先证明，可得BD⊥平面EFH，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角即可； （3）先求出和的公垂线的方向向量，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为为直角三角形，且， 所以，又因为为等边三角形， 所以，而，则为等边三角形， 取点O为AH中点，则， ∵， 则，又，平面， ∴平面，即四点共面， 又∵平面， 所以，又，平面， 所以EO⊥平面ABD， 过点O作交AD于点M，则， 以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面ABE的法向量为，则, 令，则，得， 设直线DF与平面ABE所成角为， 则， 所以直线DF与平面ABE所成角的正弦值为. （3）由（2）得， 设为和的公垂线的方向向量， 则，令，得， 则异面直线和的距离为. 5．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，由题意可证得平面，平面，作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （2）利用空间向量求解，先求出异面直线，的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可. 【详解】（1）连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 （2）设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 题型5 求体积 【方法总结】 1. 定义法求底与高 先求底面面积，再求顶点到底面的高，用体积公式计算。高可通过点到平面距离求得。 2. 体积转化 当直接求底或高不方便时，把三棱锥换一个底面或换一个顶点，使底面积和高更容易求。等体积转化常用于三棱锥。 1．（25-26高一下·陕西西安·期末）如图，顶点为的圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值的取值范围； (3)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：由题意得平面，因为平面，所以． 又，，，平面，所以平面． (2) (3) 【详解】解：（1）略 （2）由题意可知，圆锥底面半径为1，高为， 即，，设，则， 由（1）可知平面，因为平面，所以， 又，平面与平面相交于直线，平面，平面， 所以就是二面角的平面角， 在直角三角形中，， 因为，，， 所以， 故二面角的余弦值的取值范围为．     （3）由（1）得，平面，因为，平面，所以，． 又，，平面，，所以平面． 因为，所以，， 在直角三角形中，由，得， 在直角三角形中，由，， 得， 又，所以， 所以． 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)如图所示，取中点，连结，．由题意可知，，， 且，．故且，故四边形为平行四边形． ． 平面，平面，平面. (2)1 【分析】（1）在平面内找到一条平行于的直线，再运用线面平行的判定定理； （2）运用几何法或建立空间直角坐标系将四棱锥的高即的长度求出，再运用四棱锥的体积公式即可. 【详解】（1）略 （2）（法一）取中点O，连结，，，，，    ， 由题意可知，平面，平面， 因此，而，，平面， 平面． 故平面，则为直线与平面所成角， 即，故，而，所以． 四棱锥的体积； （法二）由题意可知，平面且， 以点A为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，    易知平面的法向量为，，设直线与平面所成角为θ， 则，解得，所以． 3．（2026·天津·高考真题）在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；方法二：由面面角的向量求法可得；方法三：作辅助线，可证平面，进而可知平面与平面的夹角为，即可得面面夹角余弦值； （3）方法一：由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积； 方法二：由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积； 方法三：由（2）可知点到平面的距离为，进而可求三棱锥体积. 【详解】（1）略 （2）方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法三：由题意可知：，，， 则，则， 过点作，设，，连接， 由（1）可知：平面，则平面，可得，， 且，平面，可得平面，则， 可知平面与平面的夹角为， 因为，，， 则，可得，， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 方法三：由题意可知：，，，， 则的面积， 由（2）可知点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 4．（2026·广东中山·三模）如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. (1)证明：平面； (2)求异面直线与的夹角； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明:由底面，底面，得； 又，， 故，，因此平面. 平面，故. 在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即. 又，平面，因此平面，得证. (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，先求坐标，运用向量数量积求解夹角； （3）转换三棱锥的顶点，计算出底面积和高即可求解体积. 【详解】（1）略 （2） 以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， 由题意得各点坐标. 由（1）可知，所以. 因为所以为的中点，得. ， 则，， 所以，解得，即. 得，. ， 故，因此异面直线与的夹角为. （3）由（2）可知，， 设平面的法向量为，则， 化简得 令，得，因此平面的一个法向量为. ，点到平面的距离，​ 又，，​， . 故， 三棱锥体积. 5．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥的底面为梯形，BC∥AD，底面，，.设平面与平面的交线为l. (1)证明：BC∥l； (2)若二面角A－PD－C的正弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)因为， 平面 ， 平面 ， 所以平面 . 又因为 平面 ，平面 平面 ， 所以 . (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面 ，再利用线面平行的性质定理证明 ； （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的正弦值求出底面相关边长，进而求出底面积和体积. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，. 又因为，，平面， 所以平面. 如图，过点作， 因为， 所以. 又平面，所以，. 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 设，(). 因为，在中，，即. 则，，，. ，，，. 设平面的法向量为， 则，取，则，，所以. 设平面的法向量为， 则 ， 因为，所以.取，则，所以. 设二面角 的大小为，则. 因为，所以. 所以 . 因为，且，所以. 即. 整理得. 又，代入上式得：，，，解得. 所以，即，. 在梯形中，. 因为，且，所以. 所以底面的面积. 四棱锥的体积. 提升·进阶突破 题型6 求异面直线夹角的最值 【方法总结】求角度的最值跟范围问题可以从角的正弦、余弦或正切这三个方向去计算范围跟最值。在解决问题时，可以从几何法或者建系两个角度去表示出角的三角函数值，从而获取范围与最值。 1．（25-26高二上·云南·阶段检测）如图，平面平面，四边形为矩形，平面.    (1)证明：. (2)已知. ①求几何体体积的最大值； ②若分别为棱的中点，为线段上的动点，当几何体的体积取得最大值时，求直线与所成角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明:因为平面，平面，平面平面， 所以. (2)①② 【分析】（1）由线面平行的性质定理证明； （2）①；②设，将表示为的函数求最值. 【详解】（1）略； （2）①延长至点处，使得，连接，则，且，所以几何体为三棱柱. 因为，平面平面，平面平面， 所以平面，则. 设，则， 则，当且仅当时，等号成立. 因为平面，平面，所以， 又四边形为矩形，所以，又平面， 所以平面， 因为，平面平面，所以平面， 则几何体的体积， 所以几何体的体积的最大值为. ②当几何体的体积取得最大值时，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，    则. 设，则， 所以. 令， 则. 令， 因为，所以，所以， ，所以直线与所成角的余弦值的取值范围为. 2．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱柱的底面为平行四边形，，，动点在线段上（含端点）.    (1)求的长； (2)记与所成的角为，求的最大值并指出此时点的位置. 【答案】(1)； (2)；点与点重合 【分析】（1）设，求得，将用表示，利用向量数量积的运算律即可求得的长； （2）依题设，将与分别用表示，求出，，利用空间向量的夹角公式求得，结合和余弦函数的单调性即可求得的最大值. 【详解】（1）设， 依题意，， 则， 由图知：， 则， 故的长为. （2）因动点在线段上（含端点），设， 则， 则 ， 而，， 则， 于是， 因，则，则，故， 因，而余弦函数在单调递减，故当时， 取得最大值，此时点与点重合. 3．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，点M，N分别是，的中点，点P是线段BM上的点．    (1)证明：； (2)求三棱柱体积的最大值； (3)当三棱柱的体积取得最大值时，求直线AP与所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明: 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 所以． 又，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． (2) (3) 【分析】（1）通过证明平面即可求解； （2）设，，进而得到，再根据三棱柱的体积即可求解； （3）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，进而得到，再令进行换元求解范围即可． 【详解】（1）略． （2）设，，则， 则，当且仅当时，等号成立． 则三棱柱的体积， 所以三棱柱的体积的最大值为． （3）由（2）知当三棱柱的体积取得最大值时，， 以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设，则， 所以． 令， 则． 令， 因为，所以，所以，， 所以直线AP与所成角的余弦值的取值范围为．    4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值． 【答案】(1) ，，， ，， 又，， ， ， , 又， 平面平面，且平面平面，又， 平面，平面，平面，， 平面， 平面， 平面， 平面平面 (2) (3) 【分析】（1）由条件证明，，根据线面垂直的判定定理即可得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系, 求和平面的法向量，再根据线面角公式计算即可； （3）设，求向量，，根据线线角的公式得，再由换元法计算即可. 【详解】（1）略 （2）平面, 建立如图所示空间直角坐标系, ，，，，，， ，，, 设平面的法向量为，则，取，, 设直线与平面所成的角为， 则. （3）设，其中， 则，，， 所以， 令，则， 所以， 当时，单调递增， 故在时，取最大值，此时. 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）在多面体中，四边形与四边形均为直角梯形，，且点四点共面. (1)证明：①平面平面； ②多面体是三棱台. (2)若，动点在内部及边界上运动，且，求异面直线与所成角的最小值. 【答案】(1) 证明：①如图①，四边形与四边形均为直角梯形，，故， 因为平面平面，所以平面， 同理可得平面，因为平面， 所以平面平面.      证明：②如图②，在梯形中，延长交于点，   平面平面，同理平面， 又平面平面. 故直线相交于点， 又由（1）可知：平面平面， 故多面体是三棱台. (2) 【分析】（1）①根据线线平行得到线面平行，进而利用面面平行的判定定理证明即可； ②由面面平行的性质定理得平面平面，由平面基本性质证得直线相交于点，即可证明直线相交于点. （2）先通过线面垂直的判定定理得平面，进而得点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆（在内部及边界上），再建立空间直角坐标系，结合辅助角公式利用向量法求出异面直线夹角余弦值的表达式，利用正弦函数性质求解最值即可. 【详解】（1）①略；②略. （2）四边形与四边形均为直角梯形，， ，又，平面，平面， 又动点在内部及边界上运动，且， 是等腰直角三角形，， 点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆（在内部及边界上）. 如图以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， . 设异面直线与所成角为，则 ， 设（取为锐角）， 则. ，且为锐角，， ， 当，即时，异面直线与所成角取得最小值.    题型7 求线面角的最值 【方法总结】求角度的最值跟范围问题可以从角的正弦、余弦或正切这三个方向去计算范围跟最值。在解决问题时，可以从几何法或者建系两个角度去表示出角的三角函数值，从而获取范围与最值。 1．（25-26高三上·山西忻州·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点O为的中点.    (1)若点E为的中点，求证：； (2)设四棱锥的体积为，点M为底面四边形内一点（包括四边形边上的点），且直线与底面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值的最小值. 【答案】(1)如图，连接，，，，， 因为，O为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为E，O分别为，的中点，所以， 易证四边形为正方形，所以，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. (2) 【分析】（1）先证明平面，进而得到； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，四边形为正方形，则，， 以O为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则.解得， 因为平面，所以直线与底面所成的角为，则， 所以，则. 所以点M的轨迹是以O为圆心，1为半径，在底面内的半圆弧， 则可设，. 由，，，得，，， 设平面PAC的法向量为， 则即，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 显然地，当时，为所求最小值. 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知底面ABCD是正方形，平面，点E、F分别为线段PB、CQ的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 【答案】(1) 因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、、、，、， 所以， 所以，所以． (2) (3) 【分析】（1）以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）先求出平面与平面的法向量，再利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）先设，其中，得出向量的坐标，得到平面的一个法向量，再利用空间向量法可得线面角的正弦是关于的式子，结合值域计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； （3）假设存在点，使得，其中， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 由题意可得， 设，即， 当即时，取最大值； 因为，所以，所以． 3．（2025·云南·模拟预测）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明：连接交于点，再连接， 如图，把四棱台补成四棱锥， 由棱台的性质，得，又因为， 所以分别为的中点， 在中，因为分别为的中点， 所以， 即，又平面平面， 所以平面； (2). (3) 【分析】（1）把四棱台补成四棱锥，连接交于点，可得，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）直线到平面的距离即点到平面的距离，利用向量法求点到平面的距离即可； （3）设点，由点可得，由题意可得就是与平面所成的角，点到直线的距离为，当时，的值最大，利用正切值的求法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面， 故直线到平面的距离即为点到平面的距离. 以为坐标原点，以的方向分别为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则， . 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 设点到平面的距离为， 则， 故直线到平面的距离为. （3）设点， 因为， 所以，化简得， 则点到直线的距离为. 连接，因为平面，所以是在平面内的射影， 故就是与平面所成的角， 则， 当时，的值最大， 故的最大值为. 4．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面平面 (1)证明：平面 (2)若，为中点，点在棱上，且异面直线与所成的角为， ①求PF的长度 ②平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求与平面所成角的正弦值的取值范围 【答案】(1) 证明：因为平面平面，平面平面，， 所以平面，因为平面，所以. 又平面，所以平面. (2)①；② 【分析】（1）要证明平面，则需要证明垂直于平面内的两条相交直线即可，即证明. （2）①建立空间直角坐标系，用坐标的形式求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出参数值，进而求得的长度；②利用坐标求出平面的法向量坐标和的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出结果即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，， 所以平面，因为平面，所以. 又平面，所以平面. （2）①由（1）可知平面，所以，，两两垂直， 故以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意可得， 所以， 设，则， 因为异面直线与所成角为， 所以 解得，所以． ②设，则， 设平面的法向量为，则，即 取，得， 因为，所以，即，解得， 所以所以 因为在线段上，所以， 则 设平面的法向量，则   即 取，得. 设与平面所成角为， 则 由于，所以，所以 即与平面所成角的正弦值的取值范围为. 题型8 求面面角的最值 【方法总结】求角度的最值跟范围问题可以从角的正弦、余弦或正切这三个方向去计算范围跟最值。在解决问题时，可以从几何法或者建系两个角度去表示出角的三角函数值，从而获取范围与最值。 1．（2026·宁夏银川·一模）如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明：因为 底面， 底面，所以， 又，是中点，故， 由于，平面，因此平面 ， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面 ， 又因为平面 ，所以平面平面； (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明平面 ，得，结合题设再证平面 ，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）利用空间向量法来求出平面夹角余弦值的表达式，转化为函数求最大值即可. 【详解】（1）略 （2） 以为坐标原点，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ， 则，，，，， 即，，设， 则， 因为，所以， 即， 因为在上，所以可设，， 则， 由图可知平面的法向量为， 设平面 的法向量， 则，令，可得， 设平面与平面夹角为， 则， 令，则， 设， 当时，即，， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 2．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）如图，在正四棱锥中，所有棱长都等于4，点分别是棱的中点，点在棱上，且． (1)若，证明：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值的取值范围． 【答案】(1) 证明：连接交于，连接，，， 因为正四棱锥，所以四边形是正方形，是中点， 又因为点分别是棱的中点，且当时是中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接交于，连接，，，证明四边形是平行四边形可得，再根据线面平行的判定定理证明即可； （2）以为坐标原点，分别为轴建立坐标系，分别求出两平面的法向量，利用空间夹角的坐标公式求得夹角余弦的解析式，借助二次函数的性质求取值范围即可. 【详解】（1）略 （2）因为正四棱锥，所有棱长都等于4， 所以是顶点在底面投影，两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示坐标系， 易知，由可得 则，，，，，， 所以，，， ，，， 设平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， 设平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 因为，所以， 所以，即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 3．（25-26高二上·山东济宁·期中）如图，在三棱锥中，平面，点是的中点，点是线段上的动点.用空间向量法求解下列问题. (1)当是的中点时，求与平面所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案； （2）求出平面与平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到其表达式，结合换元法和基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则. 当是的中点时，， ， 设平面的法向量为，则 令，则， 又， ∴设与平面所成角为， 则. ， 与平面所成角的余弦值为. （2）设， 当时，平面与平面重合， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则可求得平面的一个法向量为， ， 令，则 ， 当且仅当，即，即时取等号， 此时， ∴平面与平面夹角余弦的取值范围为. 4．（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)当是的中点时，求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）假设，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量即可得到答案； （2）求出平面的法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案； （3）求出平面与平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到其表达式，结合换元法和基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）设．建立如图所示的空间直角坐标系， . ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． （2）当是的中点时，，则， 设平面的法向量为，， 令， 设与平面所成角为，则． 与平面所成角的正弦值为． （3）设， 当时，平面与平面重合， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则可求得平面的一个法向量为， ， 令，则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 此时， 平面与平面夹角的最大值为． 5．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，在三棱锥中，等边三角形的边长为2，，，点为的中点，设二面角，的平面角分别为，. (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)证明：设的中点为，连接，， 因为为等边三角形，为的中点，则， 又因为，，分别为，的中点， ，所以，平面， 则平面，平面，所以； (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到； （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用向量的数量积求出计算即可得到所求； （3）利用线面垂直的定义由平面得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到.过点作，利用线面垂直的判定定理得到平面，从而利用线面垂直的定义得到.利用二面角的定义得到，用表示，，，，，从而得到，由得到，将其代入，从而得到的最小值. 【详解】（1）略 （2）过点作平面的垂线，建立如图所示空间直角坐标系， 过点作，垂足为， 由（1）得，，易得，， 则，，， 取平面的法向量，设平面的法向量， ，， ，即，解得：， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）由（1）得，平面，平面，则，结合， 平面，所以平面，平面，故. 过点作，垂足为，平面， 所以平面，，则. ，，， ，， ， 因为，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 题型9 求距离的最值 【方法总结】 1、转化为函数设动点坐标或参数，表示出距离表达式，再求函数最值。 2、利用几何意义把距离转化为点到直线、点到平面、两点间距离等，结合图形找最短位置。 1．（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． (1)若二面角的余弦值为，，求证：平面； (2)若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 【答案】(1)证明：因为，为中点，则， 又因为，则，可知二面角的平面角为， 即，且， 由余弦定理得， 由勾股定理可得，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）作出二面角的平面角，由余弦定理可得，再利用线面垂直的判定理及性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据点到点到平面距离向量可得的表答式，再利用函数单调性计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）设，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设，则，， 所以，所以， 可得，， 所以， 整理可得；又因为，， 所以设平面的法向量为， 则，则， 令，则，可得， 则，可得， 因为，则，可得，， 所以的取值范围为. 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）在长方体中，，，E为棱上一动点.    (1)求证：； (2)当平面时，求线段的长度； (3)在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值. 【答案】(1)因为长方体，且， 所以平面，且， 因为平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面，平面，所以 . (2)1 (3) 【分析】（1）由长方体的结构特征及线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，设（），标注相关点坐标，应用向量法求平面的法向量，结合线面平行有求参数值，即可得； （3）结合（2），设内切圆上的点，，确定相关向量的坐标，应用点面距离的向量求法得点P到平面距离，设，，应用三角恒等变换、正弦函数的性质求最大值. 【详解】（1）略 （2）以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设（），则，，，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，故， 因为平面，所以，即，解得， 所以线段的长度为1 ；    （3）由（2）知，，，平面的法向量， 底面正方形的内切圆圆心为，半径. 设内切圆上的点，，则， 所以. 点P到平面距离， 设，， 则 ，其中，， 当时，取最大值，为， 所以点P到平面距离的最大值为 . 3．（2026·海南海口·一模）如图，在棱长为3的正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且．    (1)求证：平面； (2)求直线EF与平面所成角的大小； (3)设为平面内任意一点，点到平面ABCD，，的距离分别为，，，求的最小值． 【答案】(1) 证法1：如图1，连接AE并延长交BC于点G，∵，    ∴，且，∴， 即：G点是BC的中点，连接并延长交BC于点H， 同理，H点是BC的中点，所以G与H重合，连接， ∴，∴， 在，∴∴， 又平面，平面，∴平面； 证法2：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，，    则，，，，，， ，∴，∴，∴， 又平面，平面，∴平面； (2) (3) 【分析】（1）证法1：由线面平行的判定定理证明即可；证法2：建立空间直角坐标系，由空间位置关系向量法证明即可； （2）解法1：建立空间直角坐标系，由空间位置关系向量法可得平面，即可求得线面角；解法2：建立空间直角坐标系，由线面角向量法计算即可求解； （3）设，则，根据点到平面距离向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）解法1：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，，   ，，，，， ∵，，，， 因为，所以，， ，平面，平面， 平面，∴平面， ∴EF与平面所成角为； 解法2：，，，，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 所以平面的法向量为， 设直线EF与平面所成角为， 则， ∴与平面所成角为； （3）设，则，，，， 求的最小值转化为求点A到平面的距离的平方， ∵，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 所以平面的法向量为， 设点A到平面的距离为d，则， 所以. 4．（25-26高三上·江苏·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面ABCD，，E是的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面成角的正弦值. (3)若平面内有一点Q，且Q到平面和平面的距离相等，试求的最小值. 【答案】(1)连接AC交BD于点F，连接， 因为E，F分别是PC，AC的中点，所以， 又因为平面BDE，平面BDE， 所以平面BDE. (2) (3). 【分析】（1）连接AC交BD于点F，连接，利用三角形的中位线定理推得，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据条件建系，写出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）设，根据题意可得且，接着分和两种情形，利用空间两点的距离公式和二次函数的性质即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）因为底面ABCD，且底面ABCD是正方形， 故可以D为原点，以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，则， 所以，，， 设平面BDE的法向量为， 则，故可取， 设直线PB与平面BDE的夹角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，则，， 由题意，且，即， 若，则得，， 于是，则当时，取得最小值为4； 若，则得，， 于是， 则当时，取得最小值为， 综上可得，的最小值为. 5．（25-26高二上·福建·期中）如图，在正四棱柱中，，异面直线与所成角的正切值为2.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为截面内任意一点（不包括边界），到正四棱柱表面，，的距离分别为，，，求的最小值. 【答案】(1) 如图由正四棱柱的性质可知：平面，平面，    ∴，在正方形中：， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. (2) (3) 【分析】（1）通过证明平面，证得平面平面. （2）通过几何法或向量法求得直线与平面所成角的正弦值. （3）利用等面积法或向量法，求得的最小值. 【详解】（1）略方法一： 设与平面所成的角为， ∵，∴等于与所成的角， 由题知：， ∵，∴与平面所成的角为， 设，连接， 由（1）知：平面平面，平面平面， ∴在平面内的射影为，∴， 在中：，， ∴，∴， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 方法二： 设与平面所成的角为，，异面直线与所成的角为， ∵，，两两互相垂直， ∴以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：    ∵，∴，，，，， ∴，， ∴，∴，而， ∴，解得，∴， ∴，， 设平面的法向量为， 则，令，则∴， ∵，∴， 因此直线与平面所成角的正弦值为. （2）方法一： 由正四棱柱的性质可知：， 设到平面的距离为，则的最小值为. 由（2）可知：在平面内的射影在上， 在中：，，， ∴由等面积法得到：，∴， 因此的最小值为. 方法二： 由正四棱柱的性质可知：， 设到平面的距离为，则的最小值为. 由（2）得，平面的法向量为， ∴； 因此的最小值为. 6．（26-27高三上·安徽·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 【答案】(1)如图（1）所示，连接，取的中点为，因为，所以， 又因为，所以，所以B，O，D三点共线， 即，所以； 又因为，为中点，所以，，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； (2)（ⅰ）（ⅱ）， 【分析】（1）先证明平面，得到平面平面； （2）（ⅰ）建立空间坐标系，得到法向量,,根据二面角向量公式：,计算可得； （ii）根据确定球心位置为，点到平面距离的最大值转化为半径与点到平面距离的和，得到平面，根据点到平面的距离的向量公式计算可得. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）因为，，则即为二面角的平面角，即. 因为，，为中点，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，所以，即，因为，所以. 因为，，，所以， 又因为，则. 又因为，，，所以，即. 记过点且与平面垂直的直线为轴，因为平面平面，所以轴在平面内.再以，为，轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示. 则，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，则； 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，，则. 设平面与平面的夹角为，则， 则，即平面与平面的夹角的正弦值为； （ii）由上分析可知，，所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为2. 因为，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 所以点到平面距离的最大值为：，并且此时平面. 设，所以有，且，则有①，②， 令，即，，， 代入①得：，即，所以或. 所以或. 当时，， 此时点到平面的距离为：，所以不符合题意，舍； 当，， 此时点到平面的距离为：，所以符合题意， 所以点的坐标为. 拔高·压轴破难 题型10 翻折问题 【方法总结】 1. 找不变量：翻折过程中，翻折轴上的点位置不变，同一半平面内的长度、角度不变，尤其是垂直于翻折轴的线段长度不变。 2. 建系：以翻折轴为坐标轴，以翻折前的垂直关系为基础建立空间直角坐标系。关键是确定翻折后各点的坐标。 3. 设角表示坐标：设翻折角为参数，用三角函数表示翻折后点的坐标，把几何问题转化为向量坐标运算。 4. 用向量法求解：翻折后求距离、夹角、垂直、平行、体积等，统一用方向向量、法向量、数量积处理。 5. 注意范围：翻折角通常有范围限制，求最值时需结合参数范围讨论。 1．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】(1)①由题意得，， 在中，因为， 所以， 同理，， 在中，因为， 所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. ②. (2) 【分析】（1）①应用线面垂直判定定理得出平面，再应用面面垂直判定定理证明即可； ②先求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解； （2）先建系，再设点，再求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式结合值域计算求解； 【详解】（1）①略； ②以为原点，以所在直线分别为轴，以过垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设与平面所成角为， 所以，所以与平面所成角的正弦值； （2）设，因为，所以， 所以，且，所以， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，所以， 设与平面所成角为， 所以， 设，所以， 令，所以 ，单调递增，所以 所以与平面所成角的正弦值的范围是； 2．（2026·云南曲靖·二模）如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）． (1)证明：； (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为E，连接，，易得，，根据线面垂直的判定、性质证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，再应用向量法求面面角余弦值的范围. 【详解】（1）如图，取中点为E，连接，， 因为，，所以，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）因为为等腰三角形，，即， 所以，因为为等边三角形， 所以，故，， 因为，则，即，又，， 所以，，两两互相垂直，以E为原点，为基底建立空间直角坐标系, 则，，， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，得， 设，所以，则，故， 设平面的法向量为，， 则，即，取，得， 所以， 令，则，所以， 因为时，，所以， 所以. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图1，在直角梯形ABCD中，已知，，将沿BD翻折，使平面平面BCD.如图2，的中点为O. (1)求证：平面BCD； (2)若AD的中点为G，线段AC上靠近A点的三等分点为H. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为P，当线段PD与线段PC的长度之和最小时，求直线PC与平面成角的正弦值. 【答案】(1) 因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面 (2)（i）（ii） 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）（i）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可；（ii）当线段PD与线段PC的长度之和最小时，要使最小，利用对称法，作D关于平面的对称点，连接，与平面的交点即为，再应用线面角正弦公式计算求解. 【详解】（1）略 （2）（i）取的中点为，连接，则且， 由直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直， 分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，， 依题意，， 则，， 设平面的法向量为， ，，则可取， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 . （ii）设平面内一动点为P，要使最小，可利用对称法， 不妨设D关于平面的对称点，设与平面的交点即为， 因为平面的法向量为，则平面可以表示为， 设，则中点为在平面上， 即得， 因与平面法向量平行， 则，设比值为,则得， 将其代入中，得，解得，故， 又因为， 设直线与平面的交点为， 直线的方程为，代入平面的方程， 得出，即得，则得， 故，， 设直线与平面所成角为， 则. 4．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.    (1)证明：平面. (2)若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：在矩形中，因为∥，， 所以四边形为正方形， 则，，即，又， 所以平面，则是平面的一个法向量， 同理证得平面，又平面， 所以，即， 又平面，所以∥平面. (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用直线方向向量和平面法向量垂直证明线面平行即可； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，结合方向向量和法向量以及点到平面的距离公式计算距离； （ⅱ）利用空间中线段最短的性质，确定位于线段，再分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）连接，，由（1）知，∥，且平面， 所以平面，则， 因为平面平面，且，平面 平面， 所以平面，又平面，则， 在，中，当为的中点时，点到，，，的距离相等.    （ⅰ）由上知，，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，. 设平面的法向量为， ，令，则 所以点到平面的距离为. （ⅱ）由可知，点在以为球心，以为半径的球的球面上， 当，，共线，且位于线段上时，取得最小值. 由坐标系可知，， ，所以， 则，又， 设平面的法向量为， ，令，则， 由（1）知是平面的一个法向量，记为， 于是，故平面与平面夹角的余弦值为. 5．（2026·山西晋中·模拟预测）如图1，AC为半径为2的圆O的直径，点D，B为圆O上的两点，且．．如图2，将圆O沿AC翻折，E为线段BD上的一点，连接OB，OD，OE，BD． (1)若，E为BD的中点，证明：； (2)若平面平面，求二面角的余弦值； (3)求翻折过程中，直线OD与平面ABC所成角的最大值． 【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接，． ，分别为，的中点， ，． 又是圆的直径，，． ，，． 又，，平面，平面． 平面，． (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，即可证得； （2）由面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，由面面角的向量求法可求得二面角的余弦值； （3）在（2）的坐标系下，设两个半圆面所成的角为，将直线与平面所成的角的正弦值表示成的函数，从而求得其最大值. 【详解】（1）略 （2），． 平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 故以为坐标原点，以，所在直线，平面内过点且垂直于的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，．则，，，， ，，，． 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， ． 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， ． ． 由图知二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为． （3）同（2）中的建系，则平面的一个法向量． 设两个半圆面所成的角为，则， ． 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，取得最大值，为． ，． 题型11 存在性问题探索 【方法总结】 先判断动点的运动轨迹。根据运动轨迹选择合适的方法： 几何法：利用几何性质直接作图判断（如中垂线、角平分线、阿氏圆、定弦定角等确定轨迹）。假设点存在，逆向推理它应该在哪些轨迹的交点上。 建系法：建立坐标系，设动点 将运动轨迹写成方程，将题目条件转化为方程或不等式。 向量法（适合向量已知的几何条件）将长度、垂直、共线等用向量表示。 1．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）平面四边形满足，，现将沿着翻折得到，形成三棱锥，记二面角的大小为． (1)如图1，若， （i）证明：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)如图2，点，，，均在球的球面上，二面角的大小为，二面角的大小为，是否存在锐角，使得？若存在，求的余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（i）由，得平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以，又因为， 平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． （ii）. (2)存在，且． 如图，分别取线段的中点，，，， 连接． 首先证明：平面． 因为点，，，在球的球面上，所以， 又因为为公共边， 所以与全等， 因此， 而，所以， 因此，又因为平面， 所以平面，同理平面． 再考虑各二面角的平面角． 由，分别为中点知，， 又因为，所以， 又因为平面，所以为在平面内的射影， 结合三垂线定理知，所以二面角的平面角为，记为， 同理，二面角的平面角为，记为， 由平面平面知，分别为平面，平面的法向量， 所以与的夹角或， 而为锐角，因此， 综上可知，， 且， 所以， 若，则，因此， 即，解得或（舍去）． 综上存在，且． 【分析】（1）（i）利用面面垂直的性质定理得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明； （ii）在平面内作，垂足为，利用线面角的定义得到线面角的平面角，再求出其正弦值即可； （2）作出相关辅助线，首先证明平面，平面，再找到二面角的平面角，从而得到关于的方程，解出即可. 【详解】（1）（i）略； （ii）如图在平面内作，垂足为，连接． 由（i）－知平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，因此为在平面内的射影， 故为与平面所成角的平面角，且， 由知，， 由（i）知平面平面，所以，结合，得， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． （2）略. 2．（2026·广西河池·二模）如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点． (1)证明：； (2)若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 连接AC， 由题意可知：是等边三角形，且是的中点，， 则，， 因为，，则，， 又因为，则，可知， 且，平面，可得平面， 且平面，所以. (2) 以为原点，为轴，为轴，过作垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设，则， 设为与平面的夹角为， 则, 整理可得，解得， 且，所以线段上不存在满足条件的点. 【分析】（1）通过证明线面垂直来证明线线垂直，通过证明平面，从而证明. （2）通过建立坐标系来确定各点的坐标，然后通过线面角的公式来求得未知点的坐标，最后通过判断点的坐标是否可能在上，从而判断点是否存在. 【详解】（1）略 （2）略 3．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. (1)若∥，∥，证明:∥； (2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)若∥ ，平面， 平面，所以∥平面； 若∥，平面，平面，所以∥平面. 因为平面，所以平面∥平面. 又平面平面，平面平面， 所以∥. (2)存在, 或 【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明平面∥平面，再由面面平行的性质定理证明∥； （2）由面面垂直的性质定理证明 平面，建立空间直角坐标系，设棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ，由面面角的向量求法列出关于的方程，求解可得. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，所以. 因为平面 ⊥平面，平面 平面 ，平面 ，所以 平面. 过作 ，垂足为，则. 所以. 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设：在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ， 则，所以. 设平面的法向量为， 则. 令，则. 所以平面的法向量为. 由 平面，知平面的一个法向量为. 所以， 即，化简得，解得或. 故在棱上存在点G，使得平面与平面所成角为，此时 或. 4．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)连接FG.在△中，F、G分别为的中点， 所以.又因为平面， 平面， 所以平面. (2) (3)存在，. 【分析】（1）连接FG，则由三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可得， ，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解； （3）假设存在点H，设，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以.又，所以. 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 则，. 所以，. 设平面SCD的一个法向量为. 则，即， 令，得.所以平面SCD的一个法向量为. 又平面ESD的一个法向量为. 所以 所以平面SCD与平面ESD夹角的余弦值为. （3）假设存在点H，设， 则.31301266 由（2）知，平面的一个法向量为. 则， 即，所以. 故存在满足题意的点H，此时. 5．（25-26高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面ABCD； (2)若点都在半径为的球的表面上， （i）求PD的长度； （ii）棱PB上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 连接BD，过点作于点， 则. 在Rt中，. 在Rt中，.      .     ，即，且平面平面BDP， 平面BDP.     ， 又，且AD与BC相交，平面平面ABCD. 平面 (2)（i）； （ii）棱PB上存在满足题意的点，此时，理由如下： 由（i）可知，.     设， 则.     设平面的一个法向量， 则 令，则. 故可取.     设平面的一个法向量， 则 令，则. 故可取.     ∵二面角的余弦值为， ， 即， 解得或（负值舍去）.     ∴棱上存在满足题意的点，此时． 【分析】（1）连接BD，过点作于点，通过勾股定理得到，进而得到平面BDP，得到，再结合即可求证； （2）（i）以点为原点，DC，DP所在直线分别为轴，轴，在平面ABCD上作过点且垂直于CD的直线为轴，设，得到球心为.结合半径列出等式求解即可；（ii），求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）（i）如图，以点为原点，DC，DP所在直线分别为轴，轴， 在平面ABCD上作过点且垂直于CD的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. 为等腰梯形，且 的外接圆圆心为CD的中点，记为.     根据球心的性质可知，球心在过点且垂直于底面的垂线上.     设，则球心为. 由球的半径，得， 解得，故.     从而.     （ii）略 $专题04 空间向量求角及距离大题归纳 基础·固本强基 题型1 求异面直线夹角 题型2 求线面角（重点） 题型3 求二面角（重点） 题型4 求距离 题型5 求体积 提升·进阶突破 题型6 求异面直线夹角的最值（重难点） 题型7 求线面角的最值（重难点） 题型8 求面面角的最值（重难点） 题型9 求距离的最值（重难点） 拔高·压轴破难 题型10翻折问题（重难点） 题型11存在性问题探究（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 求异面直线夹角 【方法总结】两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，其夹角为θ，则（其中φ为异面直线a，b所成的角）． 1．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 2．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，AB是圆的直径，AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点，． (1)求点B到平面ACM的距离； (2)求异面直线CM与AB所成角的正弦值． 3．（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，. (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 4．（25-26高一下·广东肇庆·期末）如图，在四棱锥中，，，且，为的中点． (1)求证：平面； (2)若面，，，求直线与所成角的余弦值． 5．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 题型2 求线面角 【方法总结】设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 1．（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点． (1)证明：； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 3．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 4．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）如图，已知直三棱柱的所有棱长均为2，点是的中点，平面平面． (1)证明：； (2)已知点是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 5．（25-26高三上·江苏泰州·期末）如图，在四面体中，，． (1)求证：； (2)已知点在平面内，直线平面，，过点作平面分别与棱交于点，且四边形为平行四边形． （ⅰ）求证：三棱锥为正三棱锥; （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 题型3 求面面角 【方法总结】若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。 1．（2026·全国·模拟预测）在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． (1)求证：平面平面； (2)当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 2．（2026·陕西·三模）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 4．（25-26高一下·吉林延边·期末）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，． (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，若平面平面；求平面与平面的夹角余弦值． 5．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 题型4 求距离 【方法总结】 1、求点到平面距离：先求平面的法向量，再取平面内一点与目标点构成向量，该向量在法向量方向上的投影长度就是点到平面的距离。即用数量积绝对值除以法向量模长。 2、求点到直线距离：先取直线上一点与目标点构成向量，再求直线方向向量的单位向量，用该向量减去它在方向向量上的投影向量，所得向量的模长即为点到直线的距离。 3、求平行平面距离：先求两平面的法向量，再取其中一个平面内一点，求该点到另一个平面的距离，即为两平行平面的距离。本质转化为点到平面的距离。 4、求异面直线距离：先求两直线的方向向量，再求同时垂直于这两个方向向量的公共法向量；然后在两直线上各取一点构成向量，求该向量在公共法向量方向上的投影长度，即为异面直线距离。 1．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）如图，在四棱台中，四边形为菱形.，，且. (1)证明：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为为中点，求点到平面的距离. 2．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 3．（26-27高三上·河南·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 5．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 题型5 求体积 【方法总结】 1. 定义法求底与高 先求底面面积，再求顶点到底面的高，用体积公式计算。高可通过点到平面距离求得。 2. 体积转化 当直接求底或高不方便时，把三棱锥换一个底面或换一个顶点，使底面积和高更容易求。等体积转化常用于三棱锥。 1．（25-26高一下·陕西西安·期末）如图，顶点为的圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值的取值范围； (3)若，求三棱锥的体积． 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 3．（2026·天津·高考真题）在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 4．（2026·广东中山·三模）如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. (1)证明：平面； (2)求异面直线与的夹角； (3)求三棱锥的体积. 5．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥的底面为梯形，BC∥AD，底面，，.设平面与平面的交线为l. (1)证明：BC∥l； (2)若二面角A－PD－C的正弦值为，求四棱锥的体积. 提升·进阶突破 题型6 求异面直线夹角的最值 【方法总结】求角度的最值跟范围问题可以从角的正弦、余弦或正切这三个方向去计算范围跟最值。在解决问题时，可以从几何法或者建系两个角度去表示出角的三角函数值，从而获取范围与最值。 1．（25-26高二上·云南·阶段检测）如图，平面平面，四边形为矩形，平面.    (1)证明：. (2)已知. ①求几何体体积的最大值； ②若分别为棱的中点，为线段上的动点，当几何体的体积取得最大值时，求直线与所成角的余弦值的取值范围. 2．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱柱的底面为平行四边形，，，动点在线段上（含端点）.    (1)求的长； (2)记与所成的角为，求的最大值并指出此时点的位置. 3．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，点M，N分别是，的中点，点P是线段BM上的点．    (1)证明：； (2)求三棱柱体积的最大值； (3)当三棱柱的体积取得最大值时，求直线AP与所成角的余弦值的取值范围． 4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值． 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）在多面体中，四边形与四边形均为直角梯形，，且点四点共面. (1)证明：①平面平面； ②多面体是三棱台. (2)若，动点在内部及边界上运动，且，求异面直线与所成角的最小值. 题型7 求线面角的最值 【方法总结】求角度的最值跟范围问题可以从角的正弦、余弦或正切这三个方向去计算范围跟最值。在解决问题时，可以从几何法或者建系两个角度去表示出角的三角函数值，从而获取范围与最值。 1．（25-26高三上·山西忻州·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点O为的中点.    (1)若点E为的中点，求证：； (2)设四棱锥的体积为，点M为底面四边形内一点（包括四边形边上的点），且直线与底面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值的最小值. 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知底面ABCD是正方形，平面，点E、F分别为线段PB、CQ的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 3．（2025·云南·模拟预测）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值. 4．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面平面 (1)证明：平面 (2)若，为中点，点在棱上，且异面直线与所成的角为， ①求PF的长度 ②平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求与平面所成角的正弦值的取值范围 题型8 求面面角的最值 【方法总结】求角度的最值跟范围问题可以从角的正弦、余弦或正切这三个方向去计算范围跟最值。在解决问题时，可以从几何法或者建系两个角度去表示出角的三角函数值，从而获取范围与最值。 1．（2026·宁夏银川·一模）如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 2．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）如图，在正四棱锥中，所有棱长都等于4，点分别是棱的中点，点在棱上，且． (1)若，证明：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值的取值范围． 因为正四棱锥，所以四边形是正方形，是中点， 又因为点分别是棱的中点，且当时是中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面. 3．（25-26高二上·山东济宁·期中）如图，在三棱锥中，平面，点是的中点，点是线段上的动点.用空间向量法求解下列问题. (1)当是的中点时，求与平面所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 4．（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)当是的中点时，求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的最大值. 5．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，在三棱锥中，等边三角形的边长为2，，，点为的中点，设二面角，的平面角分别为，. (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，求的最小值. 题型9 求距离的最值 【方法总结】 1、转化为函数设动点坐标或参数，表示出距离表达式，再求函数最值。 2、利用几何意义把距离转化为点到直线、点到平面、两点间距离等，结合图形找最短位置。 1．（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． (1)若二面角的余弦值为，，求证：平面； (2)若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）在长方体中，，，E为棱上一动点.    (1)求证：； (2)当平面时，求线段的长度； (3)在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值. 3．（2026·海南海口·一模）如图，在棱长为3的正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且．    (1)求证：平面； (2)求直线EF与平面所成角的大小； (3)设为平面内任意一点，点到平面ABCD，，的距离分别为，，，求的最小值． 4．（25-26高三上·江苏·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面ABCD，，E是的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面成角的正弦值. (3)若平面内有一点Q，且Q到平面和平面的距离相等，试求的最小值. 5．（25-26高二上·福建·期中）如图，在正四棱柱中，，异面直线与所成角的正切值为2.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为截面内任意一点（不包括边界），到正四棱柱表面，，的距离分别为，，，求的最小值. 6．（26-27高三上·安徽·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 拔高·压轴破难 题型10 翻折问题 【方法总结】 1. 找不变量：翻折过程中，翻折轴上的点位置不变，同一半平面内的长度、角度不变，尤其是垂直于翻折轴的线段长度不变。 2. 建系：以翻折轴为坐标轴，以翻折前的垂直关系为基础建立空间直角坐标系。关键是确定翻折后各点的坐标。 3. 设角表示坐标：设翻折角为参数，用三角函数表示翻折后点的坐标，把几何问题转化为向量坐标运算。 4. 用向量法求解：翻折后求距离、夹角、垂直、平行、体积等，统一用方向向量、法向量、数量积处理。 5. 注意范围：翻折角通常有范围限制，求最值时需结合参数范围讨论。 1．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 2．（2026·云南曲靖·二模）如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）． (1)证明：； (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图1，在直角梯形ABCD中，已知，，将沿BD翻折，使平面平面BCD.如图2，的中点为O. (1)求证：平面BCD； (2)若AD的中点为G，线段AC上靠近A点的三等分点为H. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为P，当线段PD与线段PC的长度之和最小时，求直线PC与平面成角的正弦值. 4．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.    (1)证明：平面. (2)若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 5．（2026·山西晋中·模拟预测）如图1，AC为半径为2的圆O的直径，点D，B为圆O上的两点，且．．如图2，将圆O沿AC翻折，E为线段BD上的一点，连接OB，OD，OE，BD． (1)若，E为BD的中点，证明：； (2)若平面平面，求二面角的余弦值； (3)求翻折过程中，直线OD与平面ABC所成角的最大值． 题型11 存在性问题探索 【方法总结】 先判断动点的运动轨迹。根据运动轨迹选择合适的方法： 几何法：利用几何性质直接作图判断（如中垂线、角平分线、阿氏圆、定弦定角等确定轨迹）。假设点存在，逆向推理它应该在哪些轨迹的交点上。 建系法：建立坐标系，设动点 将运动轨迹写成方程，将题目条件转化为方程或不等式。 向量法（适合向量已知的几何条件）将长度、垂直、共线等用向量表示。 1．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）平面四边形满足，，现将沿着翻折得到，形成三棱锥，记二面角的大小为． (1)如图1，若， （i）证明：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)如图2，点，，，均在球的球面上，二面角的大小为，二面角的大小为，是否存在锐角，使得？若存在，求的余弦值；若不存在，请说明理由． 2．（2026·广西河池·二模）如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点． (1)证明：； (2)若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 3．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. (1)若∥，∥，证明:∥； (2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 4．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 5．（25-26高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面ABCD； (2)若点都在半径为的球的表面上， （i）求PD的长度； （ii）棱PB上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. $