精品解析：浙江宁波大学青藤书院2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

2026学年第一学期九年级十月统测 数 学 试 题 考生须知： 1．全卷共3页，有3个大题，24个小题，满分为120分． 2．请将姓名、班级、学号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、错选均不给分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是顶点式的顶点坐标，顶点式的顶点坐标为．根据顶点式直接判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2. 不透明的袋子中仅有3个红球和7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵袋子中球的总数量为（其中红球有个）， ∴摸出红球的概率为． 3. 已知锐角满足，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 4. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 5. 如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，，且， ∴． 6. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（ ） A. 13 B. 12 C. 8 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆的性质和勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，是的弦，，垂足为， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键. 8. 如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可． 【详解】如图， 连接， ∵与相切， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， 设， 中，，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴（舍去）， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9. 如图，在中，点是的重心，若，，，直接利用上面的结论，则四边形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据重心的性质得出，D、E分别为的中点，确定，再由直角三角形的面积得出，，，，结合图形即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴，D、E分别为的中点， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ，， ∴四边形的面积为：． 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，点是抛物线的顶点，且与轴相切，点为上一动点．若点为的中点，连接，则的最大值是（ ） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线解析式及顶点，根据与轴相切，得到半径为，取点，连接，则，得到是中位线，，当经过圆心时最大，此时最大． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为， ∴， 解得， ∴抛物线， ∴抛物线顶点， ∵与轴相切， ∴半径为， 取点，连接，则， ∵点为的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当经过圆心时最大，此时最大，为半径，则， ∵， ∴， ∴，即的最大值为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，设比例中项为，则 ，代入已知数值计算即可． 【详解】解：设比例中项为，则， ∵，， ∴； 故答案为：． 12. 某地持续推进“绿色走廊”生态建设，为评估某本土树种在城区的移植成果情况，县园林绿化中心对近年来该树种移植成果进行跟踪统计，并绘制了如上所示统计图．若该地区已经移植了这种树苗40000棵，请根据统计图提供的信息，估计这种树苗成活_____棵． 【答案】36000 【解析】 【分析】根据分布信息，判定这种树苗的成活率稳定在，解答即可． 本题考查了频率估计总体，熟练掌握频率的意义是解题的关键． 【详解】解：根据分布信息，判定这种树苗的成活率稳定在， 故40000棵这种树苗成活数量为：（棵）， 故答案为：36000． 13. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，且对应点到位似中心的距离之比等于相似比．结合图形确定与的数量关系，求出相似比，进而计算面积比． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，且与的相似比等于． ， 设，（）， ． 与的相似比为． ． 与的面积之比是． 14. 如图，是的内切圆，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据内切圆结合角平分线的判定得到平分，平分，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：设内切圆的切点分别为、、，连接、、， ∵是的内切圆， ∴，，，， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15. 二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】２ 【解析】 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 16. 如图，已知弦与弦交于点，且为的中点，延长、交于点，若，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意，由两角相等证明，再由相似三角形性质，得到对应边成比例，设，列出方程组，解出，即可求解． 【详解】解：∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∵P为中点 ∴, ∴， ∴， ∴， 设，， ∵ ∴， 则可得， 解得： ∴． 三、解答题(本大题共6题，第17-22题各8分，第23、24题各12分，共72分) 17. 计算： （1）已知，求的值． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ． 18. 有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1，2，3，另有一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4（如图所示），小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一个人转动圆盘，另一人从口袋中摸出一个小球，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去． （1）用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率； （2）你认为该游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）概率为； （2）不公平， 理由：∵P（小颖）＝， P（小亮）＝． ∴P（和小于4）≠P（和大于等于4）， ∴游戏不公平． 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率； （2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平． 【详解】（1）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况， ∴P（和小于4）＝＝， ∴小颖参加比赛的概率为：； （2）略 【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图进行求解. 19. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； （2）在图中的边上找到点，连结，使； （3）在图中的边上找到点，连结使． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】根据网格特点找出中点，然后连结，故点即为所求； 找出格点，，连结，，交于点，证明，则，所以，故点即为所求； 找出格点，连结，，然后证明是直角三角形，再由，故点即为所求． 【小问1详解】 解：找出中点，然后连结， 画图略； 【小问2详解】 解：找出格点，，连结，，交于点，则点即为所求； 画图略， 理由：由网格可知， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求； 【小问3详解】 解：找出格点，连结，，画图略， 由网格可知：，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴点即为所求． 20. 如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，） （1）求点D到的距离； （2）求塔的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）点D到的距离为5米 （2）塔的高度约为米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． （1）过点D作于点G，利用坡度进行求解即可； （2）过点D作于点H，设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【小问1详解】 解：过点D作于点G． 在中， ， ，即， ∵米， 米， 答：点D到的距离为5米； 【小问2详解】 解：过点D作于点H，则四边形是矩形． 米， 设，则米， 在中， ， ， 在中，米， 米， 在中， ， ． 解得米， 答：塔的高度约为米． 21. 一种商品原售价为元，每周可卖出件．商场调查表明：这种商品如果每件涨价元，每周要少卖件，已知该商品进价每件元． （1）写出周利润与涨价之间的函数表达式； （2）每件商品涨价多少元时，每周的利润最大？ 【答案】（1） （2）每件商品涨价元时，每周销售利润最大 【解析】 【分析】（1）依题意利润单件利润销售件数，可得与的函数关系式； （2）把函数关系式用配方法化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，，且，， ， 周利润与涨价之间的函数表达式为； 【小问2详解】 由（1）知，， ， 抛物线开口向下，且， 当时，有最大值，最大值为， 即每件商品涨价元时，每周销售利润最大． 22. 如图，是的直径，是圆上两点，且有，连结，作的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，只要求出∠ODE＝90°即可解答； （2）连接BD，利用Rt△ADB的面积加上弓形面积即可求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：连接OD， ∵， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴AE∥OD， ∴∠E+∠ODE＝90°， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°， ∵OD是圆O的半径， ∴DE是⊙O的切线； 【小问2详解】 连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADE＝60°，∠E＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠ADE＝30°， ∴∠DAB＝∠CAD＝30°， ∴AB＝2BD， ∵， ∴ ∴BD＝2，BA＝4， ∴OD＝OB＝2， ∴△ODB是等边三角形， ∴∠DOB＝60°， ∴△ADB的面积＝AD•DB ＝×2×2 ＝2， ∵OA＝OB， ∴△DOB的面积＝△ADB的面积＝， ∴阴影部分的面积为： △ADB的面积+扇形DOB的面积﹣△DOB的面积 ＝2﹣ ＝， ∴阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，扇形的面积公式，勾股定理，含30°角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形，添加适当的辅助线是解题的关键． 23. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当时，若点在抛物线上，求的最小值． （3）若存在实数，当，且时，的取值范围是，求，的值． 【答案】（1）直线 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先将已知点代入抛物线解析式，得到，再利用抛物线对称轴公式直接计算得到对称轴 （2）代入得到抛物线解析式，配方得顶点坐标，根据开口方向得到的最小值，即的最小值 （3）将抛物线化为顶点式，对称轴在给定区间内，分和两种情况，根据开口方向判断区间内最值位置，列方程求解得到和 【小问1详解】 解：将点代入得： 整理得， 抛物线对称轴为 ∴该抛物线的对称轴为直线 【小问2详解】 解：当时，， 抛物线解析式为： 抛物线开口向上， 点在抛物线上， 的最小值为； 【小问3详解】 将抛物线化为顶点式得，对称轴 ，且， 对称轴在内， 分两种情况讨论：情况1：，抛物线开口向上，顶点为最小值点， ， 解得， 左端点到对称轴的距离为，右端点到对称轴的距离为，， 最大值在处， 代入得 把代入得， 解得 ， ； 情况2：，抛物线开口向下，顶点为最大值点 ，解得， ∵抛物线的右端点到对称轴距离更远， 最小值在处.代入得， 把代入得， 解得 ， ， 综上，或 24. 如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是弧的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）连结交于点，若的半径为5． ①若，求的长． ②若，求的周长． ③若，求的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点，是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） （3）①②③ 【解析】 【分析】（1）利用切线与直径垂直、直径所对圆周角为直角推导等角，结合弧三等分的等角关系，通过内错角相等证明． （2）设、，由弧三等分推得且，在中用勾股定理求，进而计算． （3）①由弧三等分得，结合垂径定理得长度，在中用勾股定理求，再通过线段差计算． ②先由勾股定理求与，通过三角形相似求出，得到的长度，分段求和得到的周长． ③设，结合线段关系与相似三角形列方程解得，再利用相似三角形的面积比求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， 设、， ∴ ∵点，是的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理有，即 ∴ 【小问3详解】 解：①如图，连接， ∵点，是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵半径为5， ∴在中，由勾股定理有，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． ②如图，连接，过点H作交于点T， ∵且半径为5， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在中，由勾股定理有，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则有， ∴设、， ∴， ∴在中，由勾股定理得，即， 解得、， ∵，即， ∴不符合题意舍去， ∴， ∴在中，由勾股定理有，即， ∵、， ∴， ∴，即，解得， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∴， 故的周长为． ③如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵点，是的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵半径为5， ∴， 由可得， ∴， ∴， ∴， 在中有， ∴， ∴， ∴， 由可得， ∴， ∵、， ∴， ∴，即， 解得、， ∵，即，， 故不符合题意舍去， ∴，即， ∴， ∴在中，由勾股定理有，即， ∵点C、点G分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即，解得， 故的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级十月统测 数 学 试 题 考生须知： 1．全卷共3页，有3个大题，24个小题，满分为120分． 2．请将姓名、班级、学号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、错选均不给分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 不透明的袋子中仅有3个红球和7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知锐角满足，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 3 5. 如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（ ） A. 13 B. 12 C. 8 D. 5 7. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 8. 如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，在中，点是的重心，若，，，直接利用上面的结论，则四边形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，点是抛物线的顶点，且与轴相切，点为上一动点．若点为的中点，连接，则的最大值是（ ） A. 8 B. 9 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 12. 某地持续推进“绿色走廊”生态建设，为评估某本土树种在城区的移植成果情况，县园林绿化中心对近年来该树种移植成果进行跟踪统计，并绘制了如上所示统计图．若该地区已经移植了这种树苗40000棵，请根据统计图提供的信息，估计这种树苗成活_____棵． 13. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是________． 14. 如图，是的内切圆，，则________． 15. 二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 16. 如图，已知弦与弦交于点，且为的中点，延长、交于点，若，，则________． 三、解答题(本大题共6题，第17-22题各8分，第23、24题各12分，共72分) 17. 计算： （1）已知，求的值． （2）． 18. 有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1，2，3，另有一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4（如图所示），小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一个人转动圆盘，另一人从口袋中摸出一个小球，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去． （1）用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率； （2）你认为该游戏公平吗？请说明理由． 19. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； （2）在图中的边上找到点，连结，使； （3）在图中的边上找到点，连结使． 20. 如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，） （1）求点D到的距离； （2）求塔的高度．（结果精确到0.1米） 21. 一种商品原售价为元，每周可卖出件．商场调查表明：这种商品如果每件涨价元，每周要少卖件，已知该商品进价每件元． （1）写出周利润与涨价之间的函数表达式； （2）每件商品涨价多少元时，每周的利润最大？ 22. 如图，是的直径，是圆上两点，且有，连结，作的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积．（结果保留） 23. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当时，若点在抛物线上，求的最小值． （3）若存在实数，当，且时，的取值范围是，求，的值． 24. 如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是弧的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）连结交于点，若的半径为5． ①若，求的长． ②若，求的周长． ③若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $