第一章 空间向量与立体几何 题型训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 第一章 空间向量与立体几何 题型1 空间共线向量定理的推论及应用 题型2 空间共面向量定理的推论及应用 题型3 空间向量数量积的应用 题型4 空间向量基本定理及其应用 题型5 空间向量的坐标运算 题型6 空间向量夹角余弦的坐标表示 题型7 求直线的方向向量 题型8 空间位置关系的向量证明 题型9 已知线线角求其他量 题型10 已知线面角求其他量 题型11 已知面面角求其他量 题型12 空间线段点的存在性问题 【题型1 空间共线向量定理的推论及应用】 1．如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【题型2 空间共面向量定理的推论及应用】 4．空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______. 5．已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量数量积的应用】 7．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 8．在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 9．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【题型4 空间向量基本定理及其应用】 10．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 12．在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【题型5 空间向量的坐标运算】 13．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 14．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 15．在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 【题型6 空间向量夹角余弦的坐标表示】 16．已知空间向量，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17．两个非零向量，定义．若，则_____． 18．（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【题型7 求直线的方向向量】 19．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 20．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 21．（多选）已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 【题型8 空间位置关系的向量证明】 22．如图，在棱长为2的正方体中，，、分别是棱、、的中点． (1)求平面的法向量； (2)证明：平面． 23．（多选）在棱长为4的正方体中，E为棱上靠近D的四等分点，F为正方形内一动点（包括边界），则下列说法正确的是（    ） A．A，E，B，F可能四点共面 B．若点F为正方形的中心，则平面 C．三棱锥的体积为定值 D．线段长度的最大值为 24．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是异面垂直．( ) 【题型9 已知线线角求其他量】 25．如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 26．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，．    (1)求证：平面平面SAD； (2)若异面直线SD与BC所成角为，平面，求二面角的正弦值． 27．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【题型10 已知线面角求其他量】 28．如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 29．已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； (2)若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 30．如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【题型11 已知面面角求其他量】 31．如图，在三棱锥中，底面，点是棱上的动点（不与端点重合），点是线段的中点，点满足.已知是边长为4的正三角形，且. (1)若是的中点，证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的正弦值为，求. 32．如图，四棱锥中，，底面，，且，，． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点E，使得二面角的平面角的正弦值为；若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 33．（多选）正方形边长为，沿着其对角线将点折叠至，二面角的平面角为，，，分别为，，的中点，则（    ） A．当时， B．存在，使得 C．四面体的外接球半径不变 D．到的距离的取值范围是 【题型12 空间线段点的存在性问题】 34．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 35．如图，在四棱锥中，，，，为的中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)设点在线段上，探究直线是否能在平面AEF内，若能，求出的值；若不能，说明理由． 36．在四面体中，，，，，， (1)求的值； (2)设为的重心，证明：平面，并求到平面的距离； (3)设是直线上一点，且．证明：在线段上，并求四面体的体积． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 第一章 空间向量与立体几何 题型1 空间共线向量定理的推论及应用 题型2 空间共面向量定理的推论及应用 题型3 空间向量数量积的应用 题型4 空间向量基本定理及其应用 题型5 空间向量的坐标运算 题型6 空间向量夹角余弦的坐标表示 题型7 求直线的方向向量 题型8 空间位置关系的向量证明 题型9 已知线线角求其他量 题型10 已知线面角求其他量 题型11 已知面面角求其他量 题型12 空间线段点的存在性问题 【题型1 空间共线向量定理的推论及应用】 1．如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解作答. 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 2．对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据线性运算法则，结合三点共线的性质，即可判断（1）的正误；根据线性运算法则，结合向量共面的性质，可判断（2）、（3）的正误，即可得答案. 【详解】对于（1）：若，则 ， 所以，即， 说明A在直线BC上，故三点共线，充分性成立； 若三点共线，则存在，使得， 所以，整理得， 此时，必要性成立， 所以是三点共线的充要条件，故（1）正确. 对于（2）：因为， 所以是共面向量，故（2）正确； 对于（3）：由题意 ， 因为点M在平面ABC内， 所以，解得，故（3）错误. 故选：C 3．如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【答案】(1) 证法1：由得，，， ，， 因为①；②， 由①②，得 ， 所以 证法2：设是平面内一点， 由平面向量中的定比分点公式可得，， 即. (2) 由，分别是，上的动点，设, 因为，分别为，的中点，即， 根据（1）的结论，得. 又因为分别为，的中点， 所以，， ， 即直线在平面上，所以，，，四点共面． 【分析】（1）方法一：利用回路法,通过两个不同“路径”表示，再利用相反向量的性质即可得证； 方法二：由，利用平面向量中的定比分点公式结合向量的减法即可得证. （2）同理（1）得，，然后结合空间向量的共面定理证明四点共面 【详解】（1）略 （2）略 【题型2 空间共面向量定理的推论及应用】 4．空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______. 【答案】/ 【分析】连接交平面于点，利用给定结论及空间向量基本定理可得，再利用三棱锥的体积求解即可. 【详解】 连接，与平面交于点， 设，则有， 由于，，三点共线，设， 另一方面，易得， 显然，， 可得，即， 所以. 故答案为： 5．已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 6．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 【题型3 空间向量数量积的应用】 7．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 【答案】B 【分析】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【详解】由图可知，且； 所以 . 所以. 故选：B. 8．在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得的长. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 所以 ， 故. 故答案为：. 9．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又， ． 【题型4 空间向量基本定理及其应用】 10．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 11．已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知有点在线段上动，即为直线与所成角，且，即可求. 【详解】由点满足，则点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，且， 在中，， . 12．在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 【题型5 空间向量的坐标运算】 13．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 14．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 15．在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 【答案】6 【详解】由题意知，，，， 而，为不共线向量，因此根据共面向量定理，应存在唯一一对实数，， 使得， 则应有，解得，，． 【题型6 空间向量夹角余弦的坐标表示】 16．已知空间向量，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，∴设与夹角为， 则，又， ∴. （2）∵，， 设与的夹角为， 由题意知为锐角，即， 即，解得， 当与同向时，，此时， 故实数的取值范围为. 17．两个非零向量，定义．若，则_____． 【答案】 【分析】根据新定义及向量夹角公式计算即可. 【详解】因， 则， 由， 因，则， 所以. 18．（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】CD 【详解】对于A：，, 所以，A错误； 对于B：因为，，所以向量 与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， “与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 因为当共线但与不共线时，与共面成立， 但不存在实数，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点， 则有，同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确. 【题型7 求直线的方向向量】 19．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 20．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 21．（多选）已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 【答案】BD 【分析】利用，，三点的坐标写出向量，的坐标，即可求出及直线的一个方向向量，从而可以判断A，B选项；再利用投影向量的公式即可求出向量在向量方向上的投影向量，从而判断C选项；利用空间向量共面定理可以判断与、共线，从而判断D选项. 【详解】，，， ，， 对于A：，故A错误； 对于B：直线的方向向量与共线，而， 直线的一个方向向量是，故B正确； 对于C：，， 向量在向量方向上的投影向量为 ，故C错误； 对于D：，，与不共线， ，， 设存在唯一实数对使得，则 ， ，， 存在唯一实数对使得， 与、共面，即，，，四点共面，故D正确. 故选：BD. 【题型8 空间位置关系的向量证明】 22．如图，在棱长为2的正方体中，，、分别是棱、、的中点． (1)求平面的法向量； (2)证明：平面． 【答案】(1) (2)由（1）得. 则. 所以. 所以，即. 又因为，平面， 所以平面. 【分析】（1）以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系即可求平面的法向量. （2）利用空间向量可证明，再利用线面垂直的判定定理即可. 【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则， 则. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 平面的法向量. （2）略 23．（多选）在棱长为4的正方体中，E为棱上靠近D的四等分点，F为正方形内一动点（包括边界），则下列说法正确的是（    ） A．A，E，B，F可能四点共面 B．若点F为正方形的中心，则平面 C．三棱锥的体积为定值 D．线段长度的最大值为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断四点共面，即可判断A；利用空间向量判断线面平行，即可判断B；利用转换顶点法结合锥体的体积公式判断C；根据两点间距离公式判断D. 【详解】以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，可设，. 对于选项A：若点为棱上靠近C的四等分点，则， 可得，即， 所以A，E，B，F四点共面，故A正确； 对于选项B：因为，， 设平面的法向量为，则， 设，则，，可得， 若点F为正方形的中心，则，可得， 因为，可知与不垂直， 所以与平面不平行，故B错误； 对于选项C：因为的面积为， 且点F到平面的距离， 所以三棱锥的体积，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 当且仅当，即点F与点重合时，等号成立， 所以线段长度的最大值为，故D错误. 24．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是异面垂直．( ) 【答案】正确 【分析】建立空间直角坐标系，根据垂直关系的向量表示及向量垂直的坐标表示，结合异面直线的定义判断即可. 【详解】设正方体棱长为. 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 因为， 所以，即. 结合图形易知与不平行且不相交，所以与为异面直线. 综上，直线，的位置关系是异面垂直. 【题型9 已知线线角求其他量】 25．如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明：如图在中，过点作交于点，连接. 因为，所以.所以，，，四点共面. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 所以为的中点. (2) 【分析】（1）在中，过点作交于点，利用平面证明即可. （2）取中点，以为原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，利用直线与平面所成的角为即可求解点的坐标，从而可计算四棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）取中点，连接. 因为，所以. 因为，，所以四边形为正方形. 所以，. 因为，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设，. ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 直线与平面所成角为， 所以. 解得. 所以. 所以四棱锥的体积为. 26．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，．    (1)求证：平面平面SAD； (2)若异面直线SD与BC所成角为，平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题设条件先证明平面SAD，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）由条件先证明平面ABCD，建系后利用空间向量法结合平面求出，再利用空间向量夹角的公式计算即得. 【详解】（1）因为ABCD是矩形，所以， 又已知，所以， 又，所以， 因为平面SAD， 所以平面SAD，而平面SAB， 所以平面平面SAD. （2）因为，所以SD与BC所成角的大小等于， 又，所以， 取AD、BC的中点分别为O、N，连SO、ON， 则， 由（1）平面，又 平面ABCD，则得平面平面ABCD， 又平面为平面SAD和平面ABCD的交线， 所以平面ABCD， 故可以为原点，ON、OD、OS分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则， 因为可得， 故得，则，又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为平面，所以，则，解得， 所以M是SD的中点，OM是的中位线，， 由（1）知，平面SDC，所以平面SDC， 故是平面SDC的一个法向量，且， 所以， 所以， 故二面角的正弦值为． 27．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 【题型10 已知线面角求其他量】 28．如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)连接，因为，点D为棱的中点，所以， 因为是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为面，所以. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求出平面，利用线面垂直的定义得到结论. （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量，利用向量的数量积公式求解. 【详解】（1）略 （2）在直三棱柱中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 因为是中点，所以， 因为，，所以， ，， 设平面的法向量， 则， 令，解得，则， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 因为直线与平面所成角正弦值为， 所以， 因为，所以， 则转化为， 解得，即， 即，即， 解得，即， 解得， 因为，所以. 29．已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； (2)若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)由四边形为菱形，， 得为正三角形，因为为的中点， 所以，又，因此， 因为平面，平面，所以， 而平面，平面且， 所以平面，又平面， 所以． (2) 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明； （2）建立坐标系，结合条件证明为线段的中点，再求平面，平面的法向量，结合向量夹角公式即可求结论. 【详解】（1）略； （2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系： 由，结合菱形性质得，，，， 因为在上，故可设，则， 取底面的法向量为， 因为直线与底面所成角为，则线面角的正弦值等于向量与向量的夹角的余弦值的绝对值， 所以， 代入，，可得， 所以， 化简解得，即为中点，点的坐标为， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 因此 ， 观察图象可得二面角为锐二面角，故， 所以二面角的余弦值为. 30．如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. (2)存在点Q为PB的中点， 【分析】（1）连接BE，通过说明，，即可求证； （2）建系，设，得到， 求得平面法向量和直线方向向量，结合夹角公式列出方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 【题型11 已知面面角求其他量】 31．如图，在三棱锥中，底面，点是棱上的动点（不与端点重合），点是线段的中点，点满足.已知是边长为4的正三角形，且. (1)若是的中点，证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的正弦值为，求. 【答案】(1)取中点，靠近的四分之一点，连接，，如图所示， 因为为中点，所以，且. 因为，所以为的四等分点，所以，且， 所以且，故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. (2)或 【分析】（1）通过构造平行四边形利用线线平行证明线面平行. （2）通过构造空间直角坐标系利用法向量列出面面夹角余弦公式求解. 【详解】（1）略 （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 可知，，，，设， 因为，为靠近的四等分点， 所以，，，即. 因为，，设平面法向量， 满足，令，可得， 又平面法向量， 因为，所以， 因此， 解得或， 所以或. 32．如图，四棱锥中，，底面，，且，，． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点E，使得二面角的平面角的正弦值为；若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)底面，平面， ； 在四边形中，，，， ， ； 在中，， ， ，且，平面． 平面； (2)存在， 【分析】小问（1）运用线面垂直的判定定理；小问（2）根据第一问建立空间直角坐标系得出相关坐标点及相关向量再设，因为P，E，C三点共线，所以求出就是题目的比值. 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系，由题可知：，，， ，，，，； ，，， 设，； 设平面的法向量为，则， 所以平面的一个法向量为，，； 由题可得平面的一个法向量为；设二面角的平面角为， 解得所以 33．（多选）正方形边长为，沿着其对角线将点折叠至，二面角的平面角为，，，分别为，，的中点，则（    ） A．当时， B．存在，使得 C．四面体的外接球半径不变 D．到的距离的取值范围是 【答案】ACD 【分析】连接，，先证明是二面角的平面角，再建立对应的空间直角坐标系．对于A，利用空间向量求出的余弦值，进而即可判断；对于B，先求出，，再根据的值即可判断；对于C，先确定四面体的外接球球心为，进而确定其半径即可判断；对于D，先求出，，再根据空间中点到直线的距离得到到的距离为，再根据三角函数的性质即可得到其范围，进而即可判断． 【详解】连接，，由是正方形，且为的中点， 则，，所以是二面角的平面角，即， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图空间直角坐标系， 又正方形边长为，则，所以， 则，，，，， 又，分别为，的中点，则，． 对于A，当时，得，则，， 所以，所以，故A正确； 对于B，由，， 则，即不存在，使得，故B错误； 对于C，由，即到四面体四个顶点的距离都是， 所以四面体的外接球球心为，半径恒为，故C正确； 对于D，由，， 则到的距离为， 又，则，所以， 所以到的距离的取值范围是，故D正确． 【题型12 空间线段点的存在性问题】 34．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：取AD中点，连接，. 是以为斜边的等腰直角三角形，，，. ，，，四边形是矩形，. ，，. ，、底面，故底面. 以O为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，为中点：. ，，. 设平面法向量，则 ， 令，则，代入得，. ， ，又平面，故平面. (2)平面与平面的夹角为. (3)存在，. 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求平面法向量，证明与法向量垂直，得到线面平行； （2）求两个平面各自法向量，套二面角公式计算； （3）参数表示，用点到平面距离公式列方程，解，求. 【详解】（1）略. （2）， 设平面法向量，则 ，，取，，. ，， 设平面法向量， ，，取，，. .     平面与平面的夹角为. （3），设，，. 平面法向量，取平面内点，向量. 点到平面距离： ，令， 解得，所以存在点，使得点到平面的距离是. 此时点坐标为. ，. 35．如图，在四棱锥中，，，，为的中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)设点在线段上，探究直线是否能在平面AEF内，若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)平面，平面，， 又，平面，平面， 所以平面； (2) (3)直线 AG 能在平面 AEF 内，且 . 【分析】（1）由平面得，结合根据线面垂直的判定定理可证； （2） 由平面得，利用等腰三角形性质得及线面垂直的判定定理得平面，从而可得是二面角的平面角，在中，求得，在中由余弦定理可求，即可求得二面角的平面角的余弦值； （3）设，得，，求出平面AEF的法向量，求解方程可解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，平面，， ，， 平面，平面， 平面，平面，平面， ， 且平面，平面 是二面角的平面角， 如图在中，， 又由余弦定理可知， ，， 在中，，， 即二面角的余弦值 （3） 以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴， 建立空间直角坐标系，，，，， ，，， ，，设平面AEF的法向量， 则，取，得， 设点 G 在线段 PB 上，令 ，即 ， 又 ， ，解得， 故存在满足条件的点G，直线AG能在平面AEF内，， 故直线AG能在平面AEF 内，且. 36．在四面体中，，，，，， (1)求的值； (2)设为的重心，证明：平面，并求到平面的距离； (3)设是直线上一点，且．证明：在线段上，并求四面体的体积． 【答案】(1) (2)记 ，由（1）知 ，故 . 因为 为 的重心，所以 . ，同理 ，. 于是 ，同理 . 所以 ，，而 ， 是平面 内的两个不共线向量，且 ，所以 平面 . 又 在平面 内，所以 到平面 的距离就是线段 的长度，，即所求距离为 . (3) 在直线 上，可设 ，. 由 ，得 ，即 . 代入 并展开，得 . 其中 ，，. 所以 ，解得 ，所以 ， 为线段 的五等分点，在线段 上. 在 中，，，，即 . ，所以 . . 由（2）知 到平面 的距离 ，所以四面体 的体积 . 【分析】（1）把 展开为三个模的平方与三个数量积的两倍之和，代入已知数值计算. （2）重心给出 ；只需证该向量与平面 内两个不共线方向（如 ，）的数量积都为 ，距离即 ，四面体与垂足 、垂线段 的位置关系如图所示. （3）由 在直线 上参数化 ，由 解出参数并用其范围判断 的位置；体积用 ，底面三角形用余弦定理求角后算面积，高即（2）中的距离. 【详解】（1） . 所以 . （2）略. （3）略. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $