专题强化01：空间向量与立体几何题型归纳【七大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教版选择性必修第一册）

专题强化01：空间向量与立体几何题型归纳 题型一：空间向量的线性运算 1 题型二：空间共线定理、共面定理 2 题型三：空间向量的数量积运算 4 题型四：空间向量的坐标运算 7 题型五：空间向量研究线面平行垂直与空间角问题 9 题型六：空间向量研究空间距离问题 13 题型七：空间向量研究存在性问题 18 题型一：空间向量的线性运算 【例1】．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以 【变式1】．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 【变式2】．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，， 所以 . 题型二：空间共线定理、共面定理 【例2】．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 【变式1】．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 【变式2】．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【详解】因为四点共面，则有由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 题型三：空间向量的数量积运算 【例3】．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期末）如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： (1)用、、表示向量，并求； (2)求直线和夹角的余弦值. 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1），由已知可得，，因此，. （2）由（1）知， 因为，所以，所以； 且 ，所以. 即直线和夹角的余弦值为. 【变式1】．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意， ， 因为 为 的中点， 所以 . 所以 . 因为 ，且 － ， 所以 ， 所以 ，即线段的长度为. （2）设 ， 因为点在平面 上， 所以关于基底 的系数之和为1， 即 ，解得 . 所以 . 【变式2】．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）方法一：由题意知， ； 方法二：因为为的中点，所以 ． （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 所以，即线段的长为． 因为， 所以 ，所以． 又 ， 则向量，夹角的余弦值为. 题型四：空间向量的坐标运算 【例4】．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) (3)1 【详解】（1）因为，，所以， . （2），，， 所以与的夹角为； （3），， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 【变式1】．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）由可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得，解得．故． 【变式2】．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）因为、、，，， 所以，， 则． （2）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 题型五：空间向量研究线面平行垂直与空间角问题 【例5】．（25-26高二下·陕西汉中·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)由题意得平面，平面，则，由正方形性质得，而，平面，所以平面，而平面，故平面平面. （2）由平面，平面， 得到，，所以建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则， 令，解得，，得到， 而为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为θ， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【变式1】．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. (2)存在点Q为PB的中点， （2）由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 【变式2】．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，点满足， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，，， 因为为的中点，为的中点，所以， 在三棱柱中，， 则四边形是菱形，得，则， 又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为是等边三角形，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）（i）连接，因为，，所以是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 而平面，故，， 如图，以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，又，解得， 则， 易得平面的一个法向量， 所以， 设直线与平面所成角为，则． （ii），则，， 设平面的法向量为， 则即可取， 设二面角的平面角为，则， 故二面角的平面角的余弦值为． 题型六：空间向量研究空间距离问题 【例6】．（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 【答案】(1)证明：，分别是，的中点， 平面，平面，平面 且，四边形是平行四边形，． 平面，平面，平面． 又，平面，平面， 平面平面． （2）因为底面，底面，所以. 又因为底面是正方形，所以. 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量是， 则，， 取，得，，则． 所以点到平面的距离为. 故平面与平面之间的距离为． 【变式1】．（25-26高二下·广东湛江·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点，连接.    因为四边形为矩形，所以点为中点. 在中，是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）平面， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 所以. 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. （3）设 因为，所以. 点到平面的距离为，解得. 所以.则. 所以的长为 【变式2】．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 【答案】(1)证明：为等边三角形， 为中点，故. 由得，则，. 平行四边形中 ，，在中，且， 即，故. 在中，由余弦定理得 已知，则，满足， 故. 又，平面， 因此平面. (2)（i）平面， 平面 ，平面平面， 所以由线面平行的性质定理得. （ii）存在，理由如下： 以 为坐标原点，方向为 轴正方向，过 作的平行线为 轴正方向， 方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，，，. 由，，由得. 由，，取直线的一个方向向量为.， 设平面的法向量为，则， 故可设，点到平面的距离： 令，则，整理得， 解得（，符合取值范围）. 因此存在，使得点到面的距离为. 题型七：空间向量研究存在性问题 【例7】．（25-26高一下·河南郑州·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 证明：取PB的中点D，连接CD； 因为，D为PB的中点， 故； 因为平面平面，且交于PB， 故平面； 因为平面，故； 又因为，且，平面， 故平面； （2） 取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO； 因为O，F为BC，AC的中点，故； 由(1)可知，平面，故平面； 故，； 又因为为等边三角形，故； 故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，， 故，，； 故，，，， ，，； 设为平面的法向量，则 ，故，令，则； 则点到平面的距离为； （3） 设存在点E，使得，； 则； 设为平面的法向量； 为平面的法向量； 则，故， 令，则； 设二面角为， 则，故； 因为， 整理化简可得： 即，化简得：，解得：； 故，则； 综上，存在一点，使得二面角的正切值为． 【变式1】．（2026·河南·模拟预测）如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为，如图2所示，设M为CD的中点． (1)证明：平面． (2)求平面和平面的夹角的余弦值． (3)在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在图1的等腰直角中，D为的中点，可得， 所以在图2中，可得． 因为，且，平面，所以平面．            又因为平面，所以． 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形 因为M为的中点，所以． 又因为，且AD，平面，所以平面． （2）以D为坐标原点，在平面内作垂直于DC的直线为x轴，DC，DA所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 则． 设平面的法向量为，则        则，取，可得，所以． 设平面DAB的法向量为，则       则，取，可得，所以． 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为．        （3）假设在线段AC上存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为． 由（2）得， 设，则．       平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，解得或（舍去）， 所以存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为． 当时，． 【变式2】．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）    以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3）由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 一、单选题 1．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， . 2．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 3．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 4．（26-27高二上·河北承德·开学考试）如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．直线与平面所成的角为 【答案】B 【详解】由题可知，A正确； ，B错误； 因为底面是正方形，所以，同B可得. 所以 ，所以，即，C正确； 如图，连接，则即为直线与平面所成的角. 所以，所以，D正确.    5．（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 平面平面，而平面的一个法向量为， 因此平面的法向量为，设直线与平面所成的角， 则，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 6．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 7．（25-26高二下·福建龙岩·期末）在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设点坐标，利用可得点Q坐标，从而可以计算的值. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. . 又因为，，， 所以 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 因为点在平面上，所以， 即，解得. 所以. 二、多选题 8．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，为上的动点，则（    ） A．与是相交直线 B．与互相垂直 C．与所成的角为 D．三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【详解】建立空间直角坐标系，如下图： 以为原点，，，分别为x，y，z轴，正方体棱长为1， ，，，，，， ，，，， 在顶面上，连接底面到顶面， 两条直线异面，不相交，A错误； ，两向量垂直，故，B正确； ，， ，，故异面夹角为，C正确； 平面，点在上滑动，则到平面的距离恒等于定值1， 底面面积固定，所以，体积不变，为定值，D正确. 9．（26-27高二上·全国·课后作业）已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（   ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2 D．若与轴垂直，则，应满足 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由，得，，， 对于A，由，设，则， 解得，则或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，， 由，解得，C错误； 对于D，， 由与轴垂直，得，即，D正确． 10．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 【答案】ABD 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点在线段上，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点在线段上，故B正确； 对于选项：当时，取线段的中点分别为，连接， 因为，即，即，所以， 则点在线段上，当位于D处时，结合为正三角形，知， 即时，存在点，使得，C错误； 取的中点为，取的中点为M，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：    设，则，，， 则，，， 由，则，， 当时，即，则， 即，此时， 即时，存在点，使得，D正确. 11．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】在正三棱柱中，，，为的中点,所以, 以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    求得, 选项A:,, 设平面的法向量,则,,列方程可得, 代入向量得,令,则,所以, 计算,所以直线不垂直平面,选项A错误； 选项B:因为,所以点到平面的距离,选项B正确； 选项C:因为, 所以异面直线和所成角的余弦值,选项C正确； 选项D:,,设平面的法向量, 则,,列方程可得,代入向量得, 可知,令,则,所, 由前面可知平面的法向量，计算, 所以平面不垂直平面，选项D错误. 三、填空题 12．（26-27高二上·湖南衡阳·开学考试）已知向量，，，且，则______. 【答案】3 【详解】因为，，， 所以，可得，即， 又，解得. 13．（26-27高二上·陕西宝鸡·开学考试）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 14．（26-27高二上·全国·课后作业）已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 【答案】4 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 15．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题 16．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由题意知：，，平面， ∴平面， 又∵平面，所以． 又点C为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又∵平面，所以． （2）由（１）知平面， 以O为原点，，的方向分别作为x， z轴， 底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，又， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 16．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）如图，在多面体中，四边形是直角梯形，，，，均与平面垂直，且． (1)在棱上取一点E，使得平面，证明：E为棱的中点； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为，平面，则，， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，，底面为直角梯形，解得． 则，，，． 在平面中，，．     设平面的一个法向量为， 则，即， 取，解得． 因为点E在上，设， 则． 因为平面，所以，解得， 故E为线段的中点． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明垂直平面的法向量； （2）求平面的法向量，结合（1）中平面的法向量，然后由夹角公式求解二面角. 【详解】（1）略 （2）在平面中，，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，解得．由（1）知， 记面与面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为 17．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且． (1)若平面，求的值； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，由等腰直角三角形及两平面垂直的性质建立空间直角坐标系；第（1）问求出平面的法向量，利用平面求； （2）利用两平面的法向量求锐二面角的余弦值． 【详解】（1）取的中点为． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，且． 又因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面． 由，且三点共线，得； 又因为平面，所以． 因此、与过点且平行于的直线两两垂直． 以为坐标原点，以所在方向为轴正方向，以平行于的方向为轴正方向， 以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 由，，，， 可得 因为在线段上，且，所以，且因此 于是 设平面的一个法向量为． 因为，，所以，． 取，则，，则． 因为平面，所以，即，解得． （2）由（1）可知，当时，平面的一个法向量可取． 由所建空间直角坐标系可知，平面为坐标平面，所以可取平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角为． 因为，，的模为，且两个平面的法向量夹角的锐角等于两平面所成的锐二面角， 所以． 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 18．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积； 【答案】(1)证明：由题意知、分别是、的中点，则得， 因为平面，平面，所以平面． （2）由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则, 故线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 三角形的面积为，所以三棱锥体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化01：空间向量与立体几何题型归纳 题型一：空间向量的线性运算 1 题型二：空间共线定理、共面定理 2 题型三：空间向量的数量积运算 3 题型四：空间向量的坐标运算 4 题型五：空间向量研究线面平行垂直与空间角问题 5 题型六：空间向量研究空间距离问题 6 题型七：空间向量研究存在性问题 8 题型一：空间向量的线性运算 【例1】．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 题型二：空间共线定理、共面定理 【例2】．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 题型三：空间向量的数量积运算 【例3】．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期末）如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： (1)用、、表示向量，并求； (2)求直线和夹角的余弦值. 【变式1】．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 【变式2】．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 题型四：空间向量的坐标运算 【例4】．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【变式1】．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【变式2】．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 题型五：空间向量研究线面平行垂直与空间角问题 【例5】．（25-26高二下·陕西汉中·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式1】．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式2】．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，点满足， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求二面角的平面角的余弦值． 题型六：空间向量研究空间距离问题 【例6】．（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 【变式1】．（25-26高二下·广东湛江·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求的长． 【变式2】．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 题型七：空间向量研究存在性问题 【例7】．（25-26高一下·河南郑州·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式1】．（2026·河南·模拟预测）如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为，如图2所示，设M为CD的中点． (1)证明：平面． (2)求平面和平面的夹角的余弦值． (3)在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 一、单选题 1．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·河北承德·开学考试）如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．直线与平面所成的角为 5．（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·福建龙岩·期末）在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，为上的动点，则（    ） A．与是相交直线 B．与互相垂直 C．与所成的角为 D．三棱锥的体积为定值 9．（26-27高二上·全国·课后作业）已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（   ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2 D．若与轴垂直，则，应满足 10．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 11．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 三、填空题 12．（26-27高二上·湖南衡阳·开学考试）已知向量，，，且，则______. 13．（26-27高二上·陕西宝鸡·开学考试）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 14．（26-27高二上·全国·课后作业）已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 15．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题 16．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）如图，在多面体中，四边形是直角梯形，，，，均与平面垂直，且． (1)在棱上取一点E，使得平面，证明：E为棱的中点； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且． (1)若平面，求的值； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 18．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积； 2 学科网（北京）股份有限公司 $