福建省福州华侨中学2026-2027学年上学期数学10月学情自测卷

福州華僑中尊 Fuzhou Overseas Chinese Middle Schoo 2026-2027学年福州华侨中学九年级上学期数学适应性练习1 班级： 姓名： 座号： 一、单选题 1.如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为() 中国移动 中国联通 中国网通 中国电信 2.将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为() A.y=3(x+2)2+1B.y=3x+2)2-1 C.y=3(x-2)2+1 D.y=3(x-2)2-1 3.己知反比例函数y=k,当x>0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是() A.k>0 B.k<0 C.k≥0 D.k≤0 4.下列说法正确的个数是(). ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧. A.1 B.2 C.3 D.4 5.对于反比例函数y=3 下列说法正确的是() A.图象经过点L,-3) B.图象在第二、四象限 C.图象经过点(1,3) D.当x>0时，y随x的增大而增大 6.如图，△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D, E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是() A.∠ACB=∠ACD B.ACII DE C.AB=EF D.BF⊥CE 7.已知二次函数y=ax+brx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 那么关于它的图象，下列判断正确的是() 0 1 A.开口向上 B.与x轴的另一个交点是(3,0) C.与y轴交于负半轴D.在直线x=1的左侧y随x的增大而减小 0 8.现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄 电池时，电流I,I2(单位：A)与电阻R(单位：2)是反比例函数关系，它们的图象如图所示.若平 行于纵轴的直线l交I的图象于点Q,交I2的图象于点P,过点P,Q分别作纵轴的垂线，垂足为N,M, 则矩形MNPQ的面积表示的实际意义是() 答案第1页（共15页） A A.经过用电器的电流的差值 B.两款蓄电池的电压的差值 C.当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 R/2 D.当用电器的电阻相同时的电流的差值 9.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2, 将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B的坐标是() A.（1,2+5)B.（5,3C.（3,2+) D.（-3,2) 10.己知二次函数y=a(x-4)+c,当x=x时，函数值为y:当x=x2时，函数值为2，若x-4>x2-4, 则下列表达式正确的是() A.+y2>0 B.y-y2>0 c.a(-2)>0 D.a(y+y2)>0 二、填空题 11.点A(1,2)与点B关于原点对称，则点B的坐标是 12.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OAB, (A、B分别与A、B对应)，则∠AOB的度数为 度 13.研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x（米)成反比例函数关系，图象如图所示.当近视眼 镜的度数是200度时，镜片焦距是米. 14.如图，直线y=m+n与双曲线y=人(k≠0)交于点A(-2,4)和点B(4,-2),则不等式mr+n<的解集 是 15.廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示.己知抛物线的函数表达式为 y=-x+10,为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C,D两处安装警示灯，则警 40 示灯D离水面AB的距离为 米 16.如图，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=《(k≠0)的图象在第一象限内交于点A,B,与x 1 轴，y轴分别交于点C(3,0),D,若CB=2AB,则k的值为 /度 400 00.25 /米 第13题 第14题 第15题 第16题 答案第2页（共15页） 三、解答题 17.在平面直角坐标系中，已知点A(-3,1),B(-2,0),C(0,1), 4 3 (1)请在图中画出△ABC,并画出与△ABC关于原点O对称的图 形△4BC,并写出对应点坐标. -4-3-2-10123453 (2)点A绕O点旋转90°后得到点4，的坐标为 -2 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0) (1)求抛物线的解析式： (2)设抛物线的顶点为P,求△ABP的面积. 19.如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，其运行的高度y(m)与 运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)+2.6.已知球网与0点的水平距离为9m,高度为2.4m. (I)求y与x的关系式： (2)球能否越过球网？ 球网 边界 6 18主 20.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED(点B的对应点记为E), 且点E在边BC上，连接CD. (1)请补全图形（要求尺规作图）： (2)求证：CD⊥BC. B y(万件) 40. 21.某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源， 答案第3页（共15页） C 4080 280x(元/件) 在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y(单位：万 件)随销售价格x(单位：元/件)变化的大致图象（图象由部分双曲线AB与线段BC组成），如图所示， (1)求双曲线AB的函数解析式： (2)已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由. 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点B的对应点为E,点 A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F,连接BE. (I)求证：DC平分∠ADE: (2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由. 23.如图，一次函数y=-x+b的图像与反比例函数y=((x>0)的图像交于A1,4),Bm,)两点，与x 轴交于点C (1)求k,,b的值： (2)连接OA,OB,求△AOB的面积； (3)将一次函数y=-x+b的图像向下平移n(n>0)个单位长度，若平移后的图像O 与反比例函数y=k(x>0)的图像只有一个交点，求n的值. 24.按要求完成以下问题 答案第4页（共15页） 图1 图2 图3 (1)【初步感知】如图1，等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5， 求∠APB的度数.为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP处，连接PP,此时 △ACP'2△ABP,这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出 ∠APB= . (2)【尝试运用】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,∠ABC=30°，O为Rt△ABC内一点，连 接AO,BO,CO,且∠AOC=∠BOC=∠AOB=120°，求OA+OB+OC的值. (3)【拓展延伸】如图3，在△ABC中，BC=a,AB=c,∠ABC=30°，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC 的最小值 25.【问题背景】 答案第5页（共15页） “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和 一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置. 节流阀 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水后每隔10min观 察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm(观察值) 30 29 28.1 27 25.8 (1)任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量. 【建立模型】 小组讨论发现：“t=0,h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近 似地刻画水面高度h与流水时间的关系， (2)任务2：利用1=0时，h=30:t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式. 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数表达式，存在偏差.小组决定优化函数表达式， 减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与 对应h的观察值之差的平方和，记为；v越小，偏差越小. 任务3： (3)计算任务2得到的函数表达式的值： (4)请确定经过点(0,30)的一次函数表达式，使得w的值最小. 答案第6页（共15页） 适应性练习1参考答案 ▣互薄 动弱 讲诊 可题断 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A C D B C 11.(-1,-2) 12.70 1.05r号 14.-2<x<0或x>4 15.9.6 16.2 【分析】先求出一次函数的解析式，设A(”,-r+3),然后根据已知利用中点坐标公式，用r表示出点B的 坐标，结合点A、B在反比例函数图象上列式得到方程，解得”，即可求出k的值. 【详解】解：依题意，把C(3,0)代入y=-x+b, 得0=-3+b, 解得b=3, .一次函数y=-x+3, 设A(r,-r+3), .CB=2AB ..CA=AB, :+=x,业=y4 2 2 .xg=2x-xc,y8=2y4-yc 则xB=2r-3,yg=2(-r+3)-0=-2r+6 :一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=人(k≠0的图象在第一象限内交于点4B, ∴.r(-r+3)=k=(2r-3)(-2r+6), .-r2+3r=-4r2+12r+6r-18, 整理得r2-5r+6=(r-2)(r-3)=0, 解得片=2,5=3， .C(3,0) P=3舍去 r=2, 答案第7页（共15页） 即A(2,1), 1登 k=2. 17.(1) △ABC和△4BC即为所求；A(3,-1),B(2,0),C(0,-1). 4 3 A A 1 B -5-4-3B2-192345x C -2 3 A2.4 (2)1,3)或(-1，-3) (2)分绕原点逆时针旋转90度和绕原点顺时针旋转90度两种情况，讨论求解即可. 18.(1)y=-x2+2x+3 (2)SABP=8 【分析】(1)将A和B两点坐标代入抛物线的解析式，求得b,c,从而得出结果： (2)运用配方法求出顶点P的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可， 【详解】(1)解：抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0), 「-1-b+c=0 -9+3b+c=0 b=2 解得： c=3' 所以，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3: (2)解：：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.抛物线的顶点P的坐标为(1,4)， A(-1,0),B(3,0) 答案第8页（共15页） ∴.AB=3-（-1)=4, Sm=)4B-.=)x4x4=8. 2 19.0y=-x-+2.6 60 (2)球能越过球网 【分析】(1)把点A(0,2)代入关系式y=a(x-6)+2.6,求出a的值，即可求出y与x的关系式： (2)把x=9代入解析式求得y的值，若y>2.4则球能越过球网，反之则不能，把x=18代入解析式求得 y的值，若y>0则会出界，反之则不会. 【详解】(1)解：把点A(0,2)代入关系式得：y=a(x-6)+2.6, 1 解得：a= 60 则y与x的关系式为：y=-(x-6}+2.6; 60 (2)当x=9时，y=0×(9-6+2.6=2.45>2.4 球能越过球网。 20.(1) 补全图形如图； D A ⊙ (2) 证明：由旋转可知∠BAE=∠CAD,AB=AE,AC=AD, ∴.∠B=∠ACD, .∠BAC=90°， ∴.∠B+∠ACB=∠ACD+∠ACB=90°， 即∠BCD=90°， .CD⊥BC. 【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键。 (1)以A为圆心，AB长为半径，交BC于点E,分别以点A为圆心，AC长为半径画弧，以E为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点D,连接AE、AD、DE,则△ADE即为所求； 答案第9页（共15页） (2)根据旋转角相等可得∠BAE=∠CAD,再根据等腰三角形顶角相等，则底角相等，可得∠B=∠ACD, 据此得证. 【详解】(I)作法提示：以A为圆心，AB长为半径，交BC于点E, 分别以点A为圆心，AC长为半径画弧，以E为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D, 连接AE、AD、DE,则△ADE即为所求. (2)略 21.(1)y 1600(40≤x≤80) x (2)2024年该公司不可能收回研发成本。 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意，建立正确的 函数关系式是解本题的关键， (1)设双曲线AB的解析式为y=(k≠0)，代入点(40,40)即可解答： (2)求解当80≤x≤280时，线段BC为y=-, x+28,再分两种情况求解销售利润的最大值，再进行比 10 较即可得到结论. 【详解】(1)解：设双曲线AB的解析式为y=《(k≠0)， 由图可知：反比例函数图象经过点(40,40)， 可得k=40×40=1600, ys1600 40≤x≤80)： (2)当x=80时，y 1600=20, 80 B(80,20), 当80≤x≤280时，设线段BC为y=mx+n, [80m+n=20 280m+n=0 1 解得： m10, n=28 ∴线段BC为y=- 1 x+28, 10 设销售利润为W万元，则 当40≤x≤80时， P=(x-40)y=(x-40).1600=1600-64000 答案第10页（共15页） 当x=80时，最大利润为1600-800=800（万元）， 当80≤x≤280时， p-6-40y=-(-400+28） s、1 2+32x-1120, 10 32 =160 对称轴为直线 2 :当x=160时，最大利润为060-40)×0×160+28-120x12=140(万元)， 10 .800<1440<1600, ∴.2024年该公司不可能收回研发成本. 22.(1) 证明：，△DCE是由AACB旋转得到， ∴.CA=CD,∠A=∠CDE, ∴.∠A=∠CDA, ∴.LCDA=∠CDE, .DC平分∠ADE: (2) 解：BE⊥AB,理由： 由旋转的性质可知，∠ACB=∠DCE,CA=CD,CB=CE, .∴.∠ACD=∠BCE,∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB, ∠ACB=90°， .∴.∠CAD+∠ABC=∠CBE+∠ABC=90°， ∴.∠ABE=90°， .BE⊥AB. 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形性质，垂直定义，掌握知识点的应用是解题的关键. (I)由旋转性质可得CA=CD,∠A=∠CDE,则∠A=∠CDA,则有∠CDA=LCDE,从而得证； (2)由旋转性质可得∠ACB=∠DCE,CA=CD,CB=CE,则∠ACD=∠BCE, ∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB,然后通过角度和差即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 23.(1)k=4,m=4,b=5 (2)1<x<4 答案第11页（共15页) (3)7.5 (4)n=1 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握待定系数法，函数图象交点坐标与 方程组的解的关系等知识， (1)要求一次函数和反比例函数的表达式，可根据待定系数法求解； (2)要求不等式的解集，实质是求一次函数的图象在反比例函数图象上方时x的取值范围，即可得出x的 取值范围； (3)要求△4OB的面积，根据分割法即可求解； (4)先求出平移后一次函数的表达式，再联立反比例函数的表达式，利用一元二次方程根的判别式即可 求解 【详解】(1)将40,4的坐标代入y=,得k=4,y=4.当y=1时，x=4,“m=4: 将A(1,4)的坐标代入y=-x+b,得b=5: (2)不等式-x+b>(x>0)的解集为1<x<4: (3)如图， 一次函数的表达式为y=-x+5.当y=0时，x=5,.点C的坐标为(5,0)， 5aw=5a-5amx5x4-x5x1=75, 2 (4)将一次函数的图像向下平移n(n>0)个单位长度为y=-x+5-n,令4=-x+5-,整理得 x2+(n-5)x+4=0. ,平移后的一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点， ∴.△=(n-5)2-4×14=0,解得nm=9（舍去)，n2=1,.n=1. 24.(1)150 (2)V7 (3)Va2+c2 【分析】(1)根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及 等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答： 答案第12页（共15页） (2)由勾股定理得BC=√3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△AOB处，连接OO',根据旋转的性质 可得△OBO是等边三角形，证明C,O,O','四点共线，得OA+OB+OC=AO+OO+OC=CN,由勾股 定理得CA=√7，故可得结论； (3)将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△ABP,连接PP,AC,即可得到 ∠ABA'=∠PBP'=60°，A'B=AB=C,BP=BP,A'P'=AP,从而得到△BPP为等边三角形，∠'BC=90°， BP=PP,根据两点之间线段最短得到PA+PB+PC=AP'+PP+CP≥AC,即可得到当且仅当 A,P,P,C四点共线时，PA+PB+PC的值最小为'C的长，根据勾股定理求出AC=Va2+C2,即可 得到PA+PB+PC的最小值为Va2+C2. 【详解】(I)解：把△ABP绕顶点A旋转到△ACP处，连接PP',，此时△ACP≌AABP, ∴.AP'=AP=3,CP'=BP=4,∠PAP'=60°，∠APB=∠AP'C, :AP'=AP,∠PAP'=60°， ∴.△APP是等边三角形， .PP'=3,∠APP=60°： 在△PPC中，PP+P'C=32+42=25,PC2=52=25, ∴.PP2+P'C2=PC2, ∴.△PPC是直角三角形，∠PP'C=90°， ∴.∠AP'C=∠APP+∠PP'C=60°+90°=150°， .∠APB=150°： (2)解：.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°， ∴.AB=2AC=2, ∴.BC=VAB2-AC2=V3, 如图，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△AO'B处，连接OO', 1A' ∴.BO=BO,BA'=BA=2,OA=OA,∠OBO'=∠ABA'=60°， .∴.∠CBA=∠ABC+∠ABA=30°+60°=90°， 答案第13页（共15页） .BO=BO',∠OBO'=60°， ∴.△OBO是等边三角形， ∴.OB=OO',∠BOO'=∠BO'O=60°， .∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°， ∴.∠COB+∠BOO'=∠BOA'+∠BOO=120°+60°=180°， .C,O,O,A四点共线， ..04+0B+OC=4O'+00'+OC=CA', 在Rt△CBA中，CA=VBC2+BaP=3+2=7, ∴.OA+OB+OC=V7: (3)解：将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△ABP,连接PP,A'C, A B ∴.∠ABA'=∠PBP=6O°，A'B=AB=CBP=BP',AP'=AP, ∴.△BPP为等边三角形，∠ABC=∠BA+∠ABC=90°， ∴.BP=PP, ∴.PA+PB+PC=A'P'+PP+CP≥AC, ∴.当且仅当，P,P,C四点共线时，PA+PB+PC的值最小为AC的长， ,∠ABC=90°， A'C=A'B2+BC2=a2+c2, ∴.PA+PB+PC的最小值为Va2+C2, 25.(1)-1cm;-0.9cm;-1.1cm;-1.2cm (2)h=0.11+30 (3)w=0.05 (4)h=0.102t+30 【分析】(1)根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； (2)根据每隔10mi水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t是一次函数关系， 由待定系数法求解； (3)先求出对应时间的水面高度，再按要求计算w值： 答案第14页（共15页） (4)设h=k1+30,然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最 小时k值即可： 【详解】(1)解：变化量分别为29-30=-1(cm)； 28.1-29=-0.9(cm): 27-28.1=-1.1(cm): 25.8-27=-1.2(cm), 所以每隔10min水面高度观察值的变化量为-lcm;0.9cm;-1.1cm;-1.2cm; (2)解：设水面高度h与流水时间t的函数表达式为h=灶+b, 因为t=0时，h=30;t=10时，h=29: [b=30 k=-0.1 所以 10k+b=29'解得 =30: 所以水面高度h与流水时间t的函数表达式为h=-0.1t+30: (3)解：当t=0时，h=-0.lt+30=30, 当t=10时，h=0.l1+30=29, 当t=20时，h=-0.1t+30=28, 当t=30时，h=-0.1t+30=27, 当t=40时，h=0.lt+30=26, w=(30-30)2+(29-29)2+(28-28.12+(27-27)2+(26-25.8)2=0.05 (4)解：设h=kt+30, 所以w=(0-k+30-30)2+(10k+30-29)}2+(20k+30-28.1)2+(30k+30-27)}2+(40k+30-25.8)2 =3000(k+0.102)+0.038, 所以当k=0.102时，1的最小值为0.038 所以函数表达式为h=0.102t+30. 答案第15页（共15页）