5.3 一元一次方程的应用-第3课时 行程问题 课件 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的行程问题应用，核心涵盖相遇与追及两类模型。课堂以“小明迟到需提速”情境导入，从实际问题抽象出方程，借助线段图、表格等支架梳理路程、速度、时间关系，衔接基础公式与方程应用。 其亮点在于通过情境化问题链驱动探究，用线段图直观呈现运动过程、表格系统梳理量间关系，培养学生数学眼光（抽象现实问题）和数学思维（推理等量关系）。例题含环形跑道、往返相遇等典型场景，小结归纳解题步骤，助学生形成模型意识，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

第五章 一元一次方程 5.3 一元一次方程的应用 第3课时 行程问题 七年级上│BS 1.理解并掌握行程问题中常见的数量关系. 2.根据行程问题中的数量关系列一元一次方程解决实际问题，并掌握解此类问题的一般思路. 学习目标 我家距离学校 1000m.我平时的速度是50m/min，刚好能在上课前进教室. 今天小明比平时出发时间晚了10min，若要与平时一样准时到校，他行走的速度应是多少？ 新课引入 解:设今天小明的速度应是v m/min，根据等量关系，可列出方程 解这个方程，得 v= 100. 答：今天小明的速度应是100 m/min. 行程问题中，最核心的三个量是路程、速度和时间.掌握这三个量之间的关系，我们就可以进一步探究各类典型的行程问题. 新课引入 学校 小明家 小明家与他就读的学校相距1000 m. 一天，小明以 80 m/min 的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书. 于是，爸爸立即以180 m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他. 爸爸追上小明用了多长时间?追上小明时，距离学校还有多远? 新知学习 问题一 上述问题中有哪些已知量和未知量? 已知量：①小明家到学校的距离：1000 m； ②小明的速度：80 m/min； ③爸爸的速度：180 m/min； ④小明比爸爸多用的时间：5min. 未知量：①爸爸追上小明时小明所用的时间； ②爸爸追上小明时爸爸所用的时间； ③爸爸追上小明时小明所走的路程； ④爸爸追上小明时爸爸所走的路程. 新知学习 等量关系: ①爸爸追上小明时小明所走的路程=爸爸追上小明时爸爸所走的路程; ②爸爸追上小明时小明所用的时间-爸爸追上小明时爸爸所用的时间 =5分钟. 列方程时，找出问题中的等量关系是关键. 新知学习 问题二 想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗? 小明家 学校 爸爸 小明 小明 80×5 80x 180x 画图分析数量关系是一种有效方法. 新知学习 问题三 设爸爸追上小明用了x min，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？ 时间/min 速度/m/min 路程/m 小明 爸爸 (5+x) x 80 180 80(5+x) 180x 利用表格分析数量关系是一种有效方法. 新知学习 解：(1)设爸爸追上小明用了x min. 当爸爸追上小明时，两人所行驶路程相等.根据等量关系，可列出方程： 80x + 5×80 = 180x. 解这个方程，得 x=4 因此，爸爸追上小明用了4 min. (1)爸爸追上小明用了多长时间？ 根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了. 新知学习 (2)追上小明时，距离学校还有多远？ 解：(2)1000－180 × 4 = 280(m) 因此，追上小明时距离学校还有280m. 线段图分析： 小明家 学校 爸爸 小明 小明 80×5 80x 180x 1000－180x 新知学习 解决路程问题的关键：找出等量关系，列出方程. 找出等量关系的重要方法：画线段图. 归纳总结 新知学习 例1 小明和小华两人在 400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m，小华每分钟跑 300m，两人起跑时站在跑道同一位置. 思考 本题涉及哪些量? ①小明的速度：260m/min； ②小华的速度：300m/min； ③环形跑道长度：400 m. 新知学习 问题 (1)如果小明起跑后 1min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明? 小华 小明 300x 260m 260x 线段图分析： 等量关系： 小明1min 路程＋小明x min路程=小华x min路程. 解:(1)设小华用x min 追上小明， 260 + 260x = 300x. 解这个方程，得 x = 6.5. 因此，小华用 6.5 min 追上小明. 根据等量关系，可列出方程 新知学习 (2)如果小明起跑后1min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇? 小华 小明 300x 260m 260x 线段图分析： 等量关系：小明路程+小华路程=环形跑道1圈总路程. 解：(2)设小华起跑后 x min两人首次相遇， 260x + 300x = 400-260. 解这个方程，得 x=0.25. 因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇. 400m 根据等量关系，可列出方程： 新知学习 归纳总结 一、相遇问题 1.A、B两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，相遇前两车相距一段距离，如图所示. 甲 乙 A B A的路程 B的路程 相距路程 结论：A的路程 + B的路程 + 相距路程 = 甲乙两地全长 新知学习 甲 乙 A B A的路程 B的路程 2.A、B两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，在中途相遇，如图所示. 结论：A的路程 + B的路程 = 甲乙两地全长 归纳总结 一、相遇问题 新知学习 甲 乙 A B A的路程 B的路程 相距路程 归纳总结 3.A、B两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，相遇后两车相距一段距离，如图所示. 结论：A的路程 + B的路程 = 甲乙两地全长 + 相距路程 一、相遇问题 新知学习 结论：A先走路程 + A后走路程 ＝B的路程 B A 1.A车从出发地开始行驶，行驶一段时间后，B车从同一出发地开始追赶A车，最终追上A车，如图所示. 归纳总结 A先走的路程 B的路程 A后走的路程 二、追及问题 新知学习 结论：A的路程 + 两出发地之间的距离 ＝ B的路程 B A 2.A、B两车同时同向行驶，A车出发地在B车出发地前方，行驶一段时间后，B车追上A车，如图所示. 归纳总结 A的路程 B的路程 两出发地之间的距离 二、追及问题 新知学习 解：设相遇时所用的时间为x分钟， 根据等量关系，可列出方程： 60x = 90x - 2×180. 解这个方程，得 x = 12. 所以A、B两地的距离为 60x + 180 = 60×12 + 180 = 900. 因此，A、B两地相距900米． 变式 甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距多少米？ 180 60x 90x 甲 乙 A B 新知学习 思考·交流 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 实际问题 实际问题的解 数学问题 （一元一次方程） 数学问题的解 （一元一次方程的解） 解释 解方程 抽象 寻找等量关系 验证 新知学习 1.(2024四川)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是(　　) A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 D 随堂练习 2.敌军在早晨5时从距离我军7千米的驻地开始逃跑，我军发现后立即追击，速度是敌军的1.5倍，结果在7时30分追上，我军追击速度是多少？ 分析：我军路程-敌军路程=7千米. 解：设敌军逃跑时的速度为x千米/时，根据等量关系，可列出方程： (7.5 - 5) × 1.5x - (7.5 - 5)x = 7. 解这个方程，得 x = 5.6. 1.5 × 5.6 = 8.4. 因此，我军追击速度是8.4千米/时． 随堂练习 3. A、B两车分别停在相距130千米的甲、乙两地，A车速35千米/时，B车速30千米/时，若两车同时相向而行，问: (1)行驶多长时间后两车相遇？ 甲 乙 A B 解：(1)设两车行驶 x 小时后相遇，线段图分析如右图所示，根据题意得， 35x + 30x = 130. 解这个方程，得 x = 2. 因此，行驶2小时后相遇. 随堂练习 3. A、B两车分别停在相距130千米的甲、乙两地，A车速35千米/时，B车速30千米/时，若两车同时相向而行，问: (2)行驶多长时间后两车第一次相距65千米？ 甲 乙 A B 解：(2)设行驶 x 小时后两车第一次 相距65千米，线段图分析如右图所示， 根据题意得， 35x + 30x + 65 = 130. 解这个方程，得 x = 1. 因此，行驶1小时后两车第一次相距65千米. 随堂练习 3. A、B两车分别停在相距130千米的甲、乙两地，A车速35千米/时，B车速30千米/时，若两车同时相向而行，问: (3)行驶多长时间后两车第二次相距65千米？ 甲 乙 A B 解：(3)设行驶 x 小时后两车第二次相距65千米，线段图分析如右图所示，根据题意得， 35x + 30x – 65 = 130. 解这个方程，得 x = 3. 因此，3小时后两车第二次相距65千米. 随堂练习 4.学校的环形跑道总长度为400m，小敏、小刚两人站在环形跑道上相距240m的位置相向而行，若小敏原地不动，小刚跑步需要30s与小敏相遇，若小刚出发10s后，小敏也开始跑步，经过40s两人第二次相遇． (1)求两人跑步的速度； 解： (1)小刚的速度为：240÷30 = 8(m/s)； 设小敏的跑步速度为 x m/s，根据题意，列得方程： 40x + (10 + 40)×8 = 240 + 400. 解这个方程，得 x = 6. 答：小敏的跑步速度为6m/s，小刚的跑步速度为8m/s. 随堂练习 解： (2)设小刚第三次追上小敏时，用了 t s， 此时小刚比小敏多跑了3圈，根据题意，列得方程：8t － 6t ＝ 400×3. 解这个方程，得 t ＝ 600. 答：小刚第三次追上小敏时，用了600s. 4.学校的环形跑道总长度为400m，小敏、小刚两人站在环形跑道上相距240m的位置相向而行，若小敏原地不动，小刚跑步需要30s与小敏相遇，若小刚出发10s后，小敏也开始跑步，经过40s两人第二次相遇． (2)第二次相遇后，小敏改变方向和小刚同时开始同向跑步，在这之后，小刚第三次追上小敏时，用了多长时间？ 随堂练习 解题方法 核心内容 行程问题 ①解题关键：找出等量关系，列出方程. ①重要方法：画线段图、借助表格. ①公式：路程=速度×时间 ②分类：相遇问题、追及问题 用一元一次 方程解实际 问题的一般 步骤 课堂小结 $