精品解析：四川成都市崇州市崇州联考2026-2027学年九年级上学期数学第一次质量调研试题

2026-2027学年（上）九年级数学学科第一次质量调研试题 （120分钟完成） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，满分40分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程经过配方变形为，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 6. 若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（    ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 7. 若方程的一个实数根为，则的值是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 8. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（每小题4分，满分20分） 11. 将方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为_____． 12. 已知，是方程的两个根，则__________． 13. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 14. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是____． 15. 如图，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于，与抛物线交于D，点E在直线上．若，则点E的坐标是_____． 三、解答题（16、17、18题每题8分，19、20、21、22每题10分，23题12分，24题14分，共计90分，解答题要有必要的文字说明） 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2） 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及当x取何值时，； （2）在直角坐标系中画出该函数的图象（列表、描点、连线）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 19. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 20. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场此时应降价多少，平均每天盈利最多，请说明理由． 21. 蜜柚是平和县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对蜜柚种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，年蜜柚平均每株产量是千克，年达到了千克，每年的增长率基本相同． 素材二 蜜柚一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：求蜜柚平均每株产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的蜜柚，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 22. 如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）求的面积． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： （1）若方程的两个实数根为，，则 ． （2）已知实数m，n满足，，且，求 的值． （3）已知实数p，q满足，，且，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； （3）点、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）九年级数学学科第一次质量调研试题 （120分钟完成） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，满分40分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． B．由已知方程得到，属于一元一次方程，故本选项不符合题意． C．该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． D．当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，解题的关键是掌握只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴解析式变为； ∵再向上平移1个单位， ∴解析式变为 故选：B． 3. 一元二次方程经过配方变形为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，利用配方法把方程转化为即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 4. 二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数图象与系数的关系．首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在y轴右侧，可确定a与b异号，即，最后根据二次函数与y轴的交点可以确定． 【详解】解：由图象可知该二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点位于x轴上方， ∴，，， ∴， 故选：A． 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，判断根的情况即可，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故原方程无实数根； 故选B． 6. 若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（    ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m的取值范围，再分和两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个数． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴， ①当时，方程化为，是一元一次方程， ∴方程有1个实数根； ②当时，方程是一元二次方程， 此时， ∵， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程的实数根有1个或2个， 故选：D． 7. 若方程的一个实数根为，则的值是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意，根据方程的根满足方程，进而将代入方程得，再整体代入即可得解． 【详解】解：方程的一个实数根为， ． ． ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并理解是关键． 8. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 9. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 10. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 二、填空题（每小题4分，满分20分） 11. 将方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解： 故二次项系数为，一次项系数为． 12. 已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 13. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，则可推出，将代入原方程得到关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，即． 是该一元二次方程的一个解， 将代入方程得，． 解得（舍去）或． ． 14. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是____． 【答案】7 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 15. 如图，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于，与抛物线交于D，点E在直线上．若，则点E的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的待定系数法、与坐标轴交点的求解．中垂线的定理，勾股定理和联立方程求交点的方法． 【详解】解： 已知抛物线过和， 将代入，得， 将代入， 得．则． ． 令，则， 解得，或． B点的坐标为， ． 直线过点，， 设直线：，将，代入， 得， 直线：． 设直线：， 直线过点和点D， ， 直线：， 设D点的坐标为： ， 在中，， ，， , ， ， 整理得：， 这说明D点的纵坐标为， 即直线：． 联立直线和抛物线方程 得，解得（即A点）或， ． 设直线CD：，将，代入 得， 直线CD：． ， ． ∴． 过点作线段的中垂线交于点H， 则点E在AC的中垂线上(根据中垂线定理)． 设直线：， 过点， ， 平分线上的点，横、纵坐标相等， 直线：（因为在第二象限）． 联立直线和直线 得．则． 三、解答题（16、17、18题每题8分，19、20、21、22每题10分，23题12分，24题14分，共计90分，解答题要有必要的文字说明） 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用完全平方公式分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用提公因式法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及当x取何值时，； （2）在直角坐标系中画出该函数的图象（列表、描点、连线）． 【答案】（1）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时， （2）如图， 【解析】 【分析】（1）首先将二次函数配方成顶点式，然后求出二次函数与x轴的交点坐标，然后利用二次函数的性质求解； （2）利用五点作图法画图即可． 【小问1详解】 解：∵中二次项系数为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 解得，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，， ∴当时，； 【小问2详解】 解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 作图略． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； （2）解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【解析】 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 （2）解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【解析】 【小问1详解】 解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； 【小问2详解】 略． 20. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场此时应降价多少，平均每天盈利最多，请说明理由． 【答案】（1）每台电暖器应降价15元或20元 （2）该商场此时应降价17.5元，平均每天盈利最多．理由如下： 设每天盈利为y元， 根据题意得，， ∵， ∴当时，y取得最大值， 答：该商场此时应降价17.5元，平均每天盈利最多． 【解析】 【分析】（1）设每台电暖器应降价x元，根据商场每天要盈利2100元列一元二次方程求解； （2）设每天盈利为y元，根据题意列出y关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设每台电暖器应降价x元， 根据题意得， 解得，， 答：每台电暖器应降价15元或20元； 【小问2详解】 略 21. 蜜柚是平和县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对蜜柚种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，年蜜柚平均每株产量是千克，年达到了千克，每年的增长率基本相同． 素材二 蜜柚一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：求蜜柚平均每株产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的蜜柚，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． （1）设蜜柚平均每株产量的年平均增长率为，根据连续年增长后每株产量增长为千克，列方程求解； （2）设裁掉的正方形的边长为，则长方体纸盒的底面长为，宽为，根据长方体纸盒底面积为，列方程求出裁掉的正方形的边长，正方形的边长即为长方体的高． 【小问1详解】 解：设蜜柚平均每株产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：蜜柚平均每株产量的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设裁掉的正方形的边长为，则长方体纸盒的底面长为，宽为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：此时长方体纸盒的高为． 22. 如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）求的面积． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）4 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为，再将点代入求出的值，即可得抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴； （2）先由已知得，进而可得、的值，再根据计算即可； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，由待定系数法求出直线的解析式，再根据点的横坐标为3，可求其纵坐标． 【小问1详解】 解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． 23. 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： （1）若方程的两个实数根为，，则 ． （2）已知实数m，n满足，，且，求 的值． （3）已知实数p，q满足，，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，熟练掌握根与系数的关系． （1）根据根与系数得，，再将所求式子变形为，即可整体代入求值； （2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得到，，接着把利多项式乘多项式法则展开，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则p、可看作方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，，然后将所求式子变形为，利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ，，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ； 【小问3详解】 解：，即， ， ∴方程两边除以得：， ，即，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； （3）点、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，求出 ， 即可得到函数解析式； （2）过点 作 于点 ， 作 于点 ， 交 于点 ， 根据等腰直角三角形的性质， 求出 ， 根据抛物线求出对称轴， 求出点 的坐标， 根据两点间的距离公式求出 ， 要使 的值最大， 则需 取到最大值， 即可； 设过点 与 平行的直线的解析式为： ， 当直线： 与抛物线相切时，有最大值；联立可得：，分别求出点 ， 点 的坐标， 求出 ， 根据勾股定理求出 ， 即可得到三角形的面积； （3）设点 ， ， 分类讨论： ① 当 为边时， 四边形 是平行四边形， ② 当 为对角线时， 四边形 是平行四边形， 求出 的坐标， 即可． 【小问1详解】 解： 的图象与x轴交于点和点， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：过点M作于点Q，作于点F，交于点E， ∵ ， ∵轴， ∴， 抛物线的对称轴为：， ∴， ∴点， ∵点， ， ， ∴要使 的值最大，则需取到最大值，即可； 设过点M与平行的直线的解析式为：， 当直线：与抛物线只有一个交点时，取到最大值，即 取到最大值； ， 整理得：， 由得， ， 解得：， ， 解得：； 当 ， ， 即点； 当， ， 即点； ， 设， ， 解得：， ， ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵点P在对称轴上， ∴设点； ∵点Q在二次函数图象上， ∴设 ； ①当为边时，四边形是平行四边形， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， 解得： ∴当时， ， ∴点； 当时， ∴点； ②当为对角线时，四边形是平行四边形， ， 解得：， ， ∴点； 综上可得：点Q的坐标为或或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $