精品解析：宁夏回族自治区银川一中2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

银川一中2026/2027学年度(上)高一第一次月考 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（ ） A. 菱形是矩形 B. 存在一个菱形，它是矩形 C. 存在菱形不是矩形 D. 存在不是菱形的矩形 2. 已知，且，则（ ） A. 0 B. C. 0或3 D. 或3 3. 若函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列命题是真命题的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. ， B. 与 C. 与 D. 与 7. 二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下与的关系中，其中是关于的函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. 集合中含有4个元素 C. 若函数满足，则 D. 若函数的值域为，则 11. 已知，且，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数若，则m的取值范围是______． 13. 已知，则的取值范围是__________. 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 16. 已知函数的定义域为 （1）求实数的取值集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 某工厂计划建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：墙面报价每平方米200元，屋顶和地面报价共7200元，总报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元，（）. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）试用表示方案一的总报价，并求的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 19. 某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设，是任意两个非空集合，则称集合，为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． （1）若，，求与； （2）若，，求； （3）若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2026/2027学年度(上)高一第一次月考 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（ ） A. 菱形是矩形 B. 存在一个菱形，它是矩形 C. 存在菱形不是矩形 D. 存在不是菱形的矩形 【答案】B 【解析】 【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题， 所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形. 2. 已知，且，则（ ） A. 0 B. C. 0或3 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】分，两种情况解方程，可求的值. 【详解】由题意知n为方程的根，当时，； 当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得， 此时，即． 综上所述：或． 故选：D． 3. 若函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 4. 已知均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 5. 下列命题是真命题的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质，及不等式同向可加性和同向同正可乘性，以及作差法比较大小，即可求解. 【详解】当时，若，则，这是真命题，但是当时，显然，故A错误； 由可得，，利用同向不等式可加性得：，故B错误； 由， 因为，所以，即，故C正确； 若，则，这里，不妨取， 则，与相矛盾，故D错误； 故选：C. 6. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. ， B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出两个函数的定义域，根据定义域不同排除BCD，对于A再分析解析式即可判断. 【详解】对于选项A：函数、的定义域均为，且， 可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故A正确． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为， 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故D错误． 7. 二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 8. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用拼凑法将已知等价转化为，再利用“1”的灵活代换及基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意，， 故 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题 （1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； （3）拆项､添项应注意检验利用基本不等式的前提. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下与的关系中，其中是关于的函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的定义进行判断. 【详解】根据函数定义，A选项，对于任意的，只有唯一确定的与其对应，满足函数定义，A正确； B选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，B正确； C选项，对于，有和与其对应，不是函数，C错误； D选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，D正确. 故选：ABD 10. 下列结论正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. 集合中含有4个元素 C. 若函数满足，则 D. 若函数的值域为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，把分式不等式等价变形即得；选项B，分别对进行赋值即得；选项C，利用解方程法求解析式即得；选项D，由题可得，进而即得. 【详解】对于A选项，， ，等价于，且， 解得或，所以原不等式的解集为或，故A错误. 对于B，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，-3，故B正确. 对于C，由，，则， 即， 所以，即，，则，故C正确； 对于D，由函数的值域为， 则函数的值域包含， 所以，解得或，故D错误. 11. 已知，且，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式可判断AB，利用代换后再由基本不等式可判断C，平方后再由基本不等式可判断D. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时等号成立，最小值是，选项B错误； 由，，，得，且， 则， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； ，故，当且仅当时等号成立，即的最大值为，选项D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数若，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】讨论的取值范围，解不等式可得结果. 【详解】当，即时，由得，解得， 当，即时，由得，无解， ∴m的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 【答案】; 【解析】 【分析】根据时，，由值域为判断出，再求出时的范围，从而 ，解不等式即可. 【详解】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． 【小问1详解】 令，则， 于是有，所以； 【小问2详解】 设， 所以，解得，所以． 16. 已知函数的定义域为 （1）求实数的取值集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，再结合判别式，可求得的取值集合； （2）由题意得到是的真子集，分类讨论和两种情况得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 由题意得不等式的解集为： 当时，恒成立，满足题意； 当时，则由解集为可得，解得：， 综上可得：； 【小问2详解】 由是的必要不充分条件可得：是的真子集， 当时，满足题意，此时有，解得：； 当时，则，解得， 综上，的取值范围是. 17. 某工厂计划建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：墙面报价每平方米200元，屋顶和地面报价共7200元，总报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元，（）. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）试用表示方案一的总报价，并求的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】（1）18 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【小问1详解】 宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. 【小问2详解】 设底面长为，， 所以墙面面积为，， ，当时取等， 所以，最小值为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 而，当且仅当，即时，即时取等号. 所以， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由为方程的两个不等实数根，根据韦达定理求解，然后解一元二次不等式即可； （2）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集列不等式组求解. 【小问1详解】 由题意，为方程的两个不等实数根， ，所以不等式为 ， 解得或，所以不等式解集为. 【小问2详解】 对恒成立， 令，即对恒成立， 因为函数开口向上，故只需满足， 解得，所以的取值范围为 【小问3详解】 当时，，开口向上，对称轴为 当时，，，， 时，，由题意， 对任意，总存在，使成立， 即函数的值域是函数的值域的子集， 即，， 解得，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解函数的存在性与恒成立问题一般可用以下的方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法. 19. 某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设，是任意两个非空集合，则称集合，为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． （1）若，，求与； （2）若，，求； （3）若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的，． 【答案】（1），，，，，，，，，，，． （2） （3）6，，． 【解析】 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）根据所给定义计算可得； （3）首先分析可得，，或，，分两种情况讨论，分别求出或的最小值，即可求出的取值范围，进而可得出符合题意的.. 【小问1详解】 因为，，且，， 所以，，，，，， ，，，，，． 【小问2详解】 因为，，所以，，，， 所以，，，， 故． 【小问3详解】 因为，，且为素数， 所以，或，． 当，时，，又， 当且仅当，即时，取等号， 又为素数，所以等号不成立； 当，时，， 当且仅当，即时，取等号． 所以当时，取得最大值6． 此时符合条件的一组集合是：，． （答案不唯一，只要满足，即可）． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $