精品解析：河南省淮滨高级中学本部2026-2027学年高二上学期9月份教学质量检测数学试卷

淮滨高中2026-2027学年上期本部二年级9月份教学质量检测 数 学 试 卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.每个选项中只有一个符合题目要求的. 1. 已知向量 ，则（　　） A. B. 5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】向量 ，则. 2. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 3. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 4. 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 5. 盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，在组随机数中，恰好第三次结束时就停止有、、、、，共有组， 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 则恰好第三次结束时就停止的概率，故C正确. 6. 在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 7. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由定义得出两直线的法向量，数量积公式求出法向量的夹角余弦值. 【详解】由题意，平面和平面的法向量分别是 ，， 设平面和平面的夹角为， 故选：B. 8. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 与为相互独立事件 B. 与为互斥事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件 【答案】A 【解析】 【分析】列出样本空间，再对各选项的事件列出其基本事件，根据独立事件的定义判断AC，根据互斥事件、对立事件的定义判断BD. 【详解】由题意样本空间， ，，，， 对于A：由古典概率概率公式可知，，， 则，故与为相互独立事件，正确； 对于C：，，，则， 故与不是相互独立事件，错误； 对于B：当第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取出的卡片上的数字为4时， 事件与同时发生，故两个事件不是互斥事件，错误； 对于D：因为，，所以与不是对立事件，错误. 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分，每个小题的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则事件与B相互独立 C. 若A发生时B一定发生，则 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错误； 对于B，因为，，则， 因为， 所以事件与B相互独立，故B正确； 对于C，若A发生时B一定发生，则，则，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，故D正确． 11. 已知平面的一个法向量为，，，则（ ） A. 若与共线，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 点到平面的距离为1 D. 直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A，通过向量共线的性质设求解.B，通过投影向量求解公式求解.C，利用法向量，通过距离公式求解.D，根据线面角的向量求法可求得. 【详解】因为，所以，解得. 对于选项A，若与共线，设，则，，，解得，，，所以，正确. 对于选项B，投影向量为，正确. 对于选项C，，正确. 对于选项D，因为， 所以，错误. 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知点和点，则两点之间的距离为______.． 【答案】 【解析】 【详解】因为点和点， 所以， 所以两点之间的距离为. 13. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 14. 如图，两条异面直线，所成角为；在直线上，分别取点，和点A，，使且.已知，，，则线段的长为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据空间向量的加法，利用向量数量积的性质计算模长，建立方程，可得答案. 【详解】因为， 所以， 由于，则， 又因为两条异面直线a，b所成角为，所以或， 故，可得或. 故答案为： 或. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知坐标平面内两点． （1）当直线MN的斜率不存在时，求的值； （2）当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】（1） （2）直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【小问1详解】 直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； 【小问2详解】 直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【小问1详解】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； 【小问2详解】 设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 17. 已知向量. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以,  所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， ​，， 设与的夹角为， 则， 又，得； 【小问3详解】 因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）若为的中点，证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）如图，的中点，连接，， 在中，，分别为，的中点， ∴且，又且， ∴且，∴四边形是平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先构造平行四边形，再利用线面平行判定定理证明即可. （2）先取的中点，建立空间直角坐标系，再分别求出两个面的法向量，最后利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取的中点为，连接，作， 又已知平面，所以两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， ，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面与平面所成的角为， 则，由同角三角函数的基本关系得， 故二面角的正弦值为． 19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记（）． （1）求的长； （2）为何值时，的长最小？并求出的最小值. （3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）时，的长最小，的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用参数表示的坐标，利用两点间距离公式求解； （2）根号内是的二次三项式，利用二次函数的图像和性质求解； （3）求出平面和平面的法向量，利用向量的数量积求解. 【小问1详解】 因为两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直， 所以两两互相垂直， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，且，所以，， 设，，， 因为，所以， 所以，则， 设，，， 因为，所以， 所以，则， 则. 【小问2详解】 由 (1) 得，即， 当且仅当时取等号，且，符合题意.此时的最小值为. 【小问3详解】 当的长最小时，，此时，， ，， 设平面 的法向量为， 则，即，取，则， 则， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 则， 设平面与平面的夹角为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮滨高中2026-2027学年上期本部二年级9月份教学质量检测 数 学 试 卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.每个选项中只有一个符合题目要求的. 1. 已知向量 ，则（　　） A. B. 5 C. D. 4 2. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 3. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ） A. B. C. D. 5. 盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 与为相互独立事件 B. 与为互斥事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分，每个小题的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则事件与B相互独立 C. 若A发生时B一定发生，则 D. 11. 已知平面的一个法向量为，，，则（ ） A. 若与共线，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 点到平面的距离为1 D. 直线与平面所成角的余弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知点和点，则两点之间的距离为______.． 13. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 14. 如图，两条异面直线，所成角为；在直线上，分别取点，和点A，，使且.已知，，，则线段的长为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知坐标平面内两点． （1）当直线MN的斜率不存在时，求的值； （2）当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 17. 已知向量. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数t的值． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）若为的中点，证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记（）． （1）求的长； （2）为何值时，的长最小？并求出的最小值. （3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $