精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2026-2027学年高二上学期9月份预习效果检测数学试题

2026年秋期高二年级9月份预习效果检测 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2. 若椭圆的焦距是2，则实数的值为（ ） A. B. 5 C. 3 D. 3或5 【答案】D 【解析】 【详解】已知椭圆的焦距是2，因为 当焦点在轴上，，，所以，， 当焦点在轴上，，所以，， 综上或. 3. 已知是两两垂直的单位向量，则（ ） A. 14 B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】已知是两两垂直的单位向量，所以，且，所以. 4. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 5. 已知正方形，则以点为焦点，且经过两点的椭圆的离心率为（） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形的边长为，则由题意可得，从而可求出椭圆的离心率． 【详解】设正方形的边长为，则， ∵椭圆过两点， ∴椭圆的离心率. 6. 在的二面角的一个面内有一点，它到棱的距离是，那么它到另一个面的距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，，， ∴． 故选． 7. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 【答案】D 【解析】 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 8. 已知直线与椭圆交于，两点，以弦为直径的圆恰好过原点，此时直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线和椭圆方程，利用韦达定理以及得出的值，进而得出直线的方程． 【详解】由，得 设，则①，② 由题意可知，所以，即 因为在直线l上，所以 所以，即③ 将①②代入③中，得，解得 所以直线l的方程为或. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量 B. 一个平面的所有法向量互相平行 C. 如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D. 如果向量、与平面共面，且向量满足，，那么就是平面的一个法向量 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据法向量的定义可判断A、B选项的正误；利用空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可判断C选项的正误；根据线面垂直的判定定理可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，A选项正确； 对于B选项，一个平面的所有法向量互相平行，B选项正确； 对于C选项，由空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可知，如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直，C选项正确； 对于D选项，只有当、不共线时，才能得出结论，依据是线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直，D选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面法向量定义的应用，同时也考查了平面间的位置关系与法向量之间的关系，考查推理能力，属于基础题. 10. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的一个方向向量为 B. 在轴上的截距等于 C. 与直线垂直 D. 与直线平行 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线方程，由直线方程直接判断D，由直线方程得一法向量，由法向量与方向向量的关系判断A，直线方程中令，解出为横截距，判断B，由两直线垂直的关系判断C． 【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，它与直线平行，D正确； 直线的一个法向量是，而，因此是直线的一个方向向量，A正确； 在直线方程中令得，B错误； 由于，C正确． 故选：ACD． 11. 已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（ ） A. 当时，直线与双曲线只有一个公共点 B. 直线与双曲线只有一个公共点时，或 C. 当或时，直线与双曲线没有公共点 D. 当时，直线与双曲线有两个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】联立直线与双曲线得到关于x的一元二次方程，应用判别式并结合双曲线性质判断不同参数范围对应直线与双曲线的交点个数，即可得答案. 【详解】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点， 联立直线与双曲线，得，则， 当，即时直线与双曲线相切， 当，即或时没有公共点， 当且，即或或时两个公共点. 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是直线上的两点，若，求__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件先求出，再利用两点间的距离公式计算即得. 【详解】因为，在直线l上，所以，. 由已知，得， 由两点间的距离公式，得. 故答案为：. 13. 经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 【答案】 【解析】 【详解】设圆心为 ，因为圆心在直线 上，故. 圆经过 、，所以圆心到两点的距离相等，可得， 两边平方得， 展开得， 化简， 代入 ，得. 所以圆心为 ，半径​. 故圆的标准方程为​. 14. 若直线与椭圆总有公共点，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线方程可知直线恒过点，要使直线与椭圆恒有公共点，需在椭圆上或椭圆内，注意椭圆的参数范围，进而求得的范围． 【详解】直线恒过点， 由直线与椭圆恒有公共点， 所以在椭圆上或椭圆内， 又椭圆且． 故实数的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知椭圆的离心率为，其左焦点F到直线的距离为，求此椭圆方程. （2）求渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质和点到直线的距离公式，分别求得和，进而求得的值，即可求解； （2）根据题意，设双曲线方程为，将点代入双曲线的方程，求得的值，即可求解. 【详解】解：（1）因为椭圆的离心率为， 可得 ，即，可得， 又因为左焦点到直线的距离为， 可得 ，解得 ，即， 联立方程组，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，可得，解得， 所以双曲线的方程为. 16. 讨论方程表示的是怎样的图形． 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，化简原方程，即可得出原方程所表示的图形. 【详解】解：（1）当时，方程化为，表示直线； （2）当时，方程化为， 当时，方程化为，表示点； 当时，原方程无解，原方程不表示任何图形； 当且时，方程表示圆心为，半径为的圆． 综上所述：当时，方程表示直线； 当时，方程表示点； 当时，方程不表示任何图形； 当且时，方程表示圆心为，半径为的圆． 17. 已知直线经过点，圆． （1）若直线经过圆C的圆心，求直线的方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程； （3）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由两点式可求解得答案； （2）对直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，根据点到直线的距离公式即可求解.； （3）对直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，根据点到直线的距离公式及弦长公式即可求解.. 【小问1详解】 将圆化为标准方程为：， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 所以直线经过点，，由两点式可得直线的方程为：，化简整理得直线的方程为：. 【小问2详解】 由（1）可知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【小问3详解】 因为直线l被圆C所截得的弦长为，所以圆C的圆心到直线l的距离为. 由（2）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得或. 故直线l的方程为或. 18. 已知：如图，为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且，点是的中点． （1）求证：平面ABC； （2）求证：． 【答案】（1） 取AB的中点G，连接FG，CG， 又点F是BE的中点，可得，. 因为平面，平面，所以，又， 所以，，是平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2） 因为是正三角形，所以，所以. 因为平面，平面，所以，所以， ，平面，所以平面， 因为平面，所以. 在中，因为，为的中点，所以. 因为，平面，平面，所以平面， 又平面，所以. 【解析】 【分析】（1）取AB的中点G，连接FG，CG，证明是平行四边形，然后由线面平行的判定定理得证； （2）先证平面ABE，得，然后证明平面BDE，得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. （1）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程； （2）已知点分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线的方程. 【答案】（1）或；（2）面积的最大值为；直线的方程为. 【解析】 【分析】(1) 距离条件要对横坐标分正负讨论，符合抛物线定义，时得到 轴负半轴，轨迹是抛物线加射线，切勿漏掉: (2) 过 轴上定点的直线，设可避开斜率不存在讨论；面积转化为，换元后用对勾函数求最值. 【详解】(1)当点横坐标大于等于时，由题意可转化为点到点的距离等于点到的距离， 设，所以点的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点的轨迹方程为； 当点横坐标小于时，因为点到轴的距离为， 所以点在轴上，即点的轨迹方程为； 所以点的轨迹方程为或. (2)由题知，， 所以当直线与轴重合时，不满足条件， 因为直线经过点，故设直线，， 所以联立方程得，所以， 所以 令，则由对勾函数性质得函数为单调递增函数， 所以，此时，， 所以当时，的面积取得最大值，此时直线的方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期高二年级9月份预习效果检测 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 2. 若椭圆的焦距是2，则实数的值为（ ） A. B. 5 C. 3 D. 3或5 3. 已知是两两垂直的单位向量，则（ ） A. 14 B. C. 4 D. 2 4. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知正方形，则以点为焦点，且经过两点的椭圆的离心率为（） A. B. 1 C. D. 6. 在的二面角的一个面内有一点，它到棱的距离是，那么它到另一个面的距离是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 8. 已知直线与椭圆交于，两点，以弦为直径的圆恰好过原点，此时直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量 B. 一个平面的所有法向量互相平行 C. 如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D. 如果向量、与平面共面，且向量满足，，那么就是平面的一个法向量 10. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的一个方向向量为 B. 在轴上的截距等于 C. 与直线垂直 D. 与直线平行 11. 已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（ ） A. 当时，直线与双曲线只有一个公共点 B. 直线与双曲线只有一个公共点时，或 C. 当或时，直线与双曲线没有公共点 D. 当时，直线与双曲线有两个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是直线上的两点，若，求__________. 13. 经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 14. 若直线与椭圆总有公共点，则实数的取值范围为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知椭圆的离心率为，其左焦点F到直线的距离为，求此椭圆方程. （2）求渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程. 16. 讨论方程表示的是怎样的图形． 17. 已知直线经过点，圆． （1）若直线经过圆C的圆心，求直线的方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程； （3）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 18. 已知：如图，为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且，点是的中点． （1）求证：平面ABC； （2）求证：． 19. （1）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程； （2）已知点分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $