第15章轴对称单元检测卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

2026-2027学年八年级数学上学期 第15章轴对称单元检测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 评卷人 得分 一、单选题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列图形不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D．以上都不对 3．下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（     ） A．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称 B．线段的对称轴只有一条 C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D．等边三角形有三条对称轴 5．已知的三边长，，满足等式，则的形状是（     ） A．等边三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 6．如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 8．如图①，②，③，下列3个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 9．如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．15 10．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．已知，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 12．如图，在等边三角形中，是边的中点，于点，是上的动点，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是________．（填序号） 14．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 15．如图，的边，的垂直平分线，相交于点，点，在边上．若，则________． 16．如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 17．如图，将一张长方形纸片沿着线段折叠，已知B到的距离为，若重叠部分的的面积是，则线段的长为______． 18．如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一个动点，则的最小值为_________． 评卷人 得分 三、解答题（本大题共8个小题，共66分） 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形． (2)写出点，，的坐标． 20．如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 21．如图，在中，，，为的垂直平分线，求证：． 22．按要求解题： (1)练江北岸有A、B两个村，现要在江边（图中直线l处）建一座抽水站P，使抽水站到两个村的水管总长最短．在图中作出点P的位置（保留作图痕迹，写出简要作法）． (2)若按此方案作图后量得（为点A关于直线l的对称点），求水管总长的最小值，并说明理由． 23．如图，在中，是的垂直平分线，，为的中点．求证：． 24．如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 25．已知点在内． (1)如图①，点关于射线的对称点是点，点关于射线的对称点是点，连接，，． （Ⅰ）若，则________； （Ⅱ）若，连接，请说明当为多少度时，． (2)如图②，若，，分别是射线，上的任意一点，当的周长最小时，请直接写出的度数． 26．数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ 作法是：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠，使得到村庄的距离最短．可过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． (1)示例1中所包含的数学原理是（   ）；示例2中所包含的数学原理是（   ）． A．两点之间，线段最短    B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形中，是的中线． (2)直接写出与的数量关系________． (3)若，为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值． 【活动三】迁移拓展，综合应用 (4)如图（5），在中，，，点在斜边上，且，是的角平分线，，分别为，上一点，请直接写出的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D A B A D D D 题号 11 12 答案 C C 1．B 【分析】根据“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴”，分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案. 【详解】解：A.A选项图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故A选项不符合题意． B. B选项图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故B选项符合题意． C. C选项图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故C选项不符合题意． D. D选项图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故D选项不符合题意． 2．B 【分析】根据轴对称得出，即可得出的度数． 【详解】解：与关于直线对称， ， ． 3．C 【详解】解：A、该尺规作图是作角平分线，不符合题意； B、该尺规作图是作垂线，不符合题意； C、该尺规作图是作线段的垂直平分线，符合题意； D、该尺规作图是作线段，不符合题意． 4．D 【详解】选项A，全等三角形仅表示两个三角形形状、大小完全相同，与位置无关，轴对称要求两个图形沿某条直线折叠后完全重合，对位置有要求，因此两个全等三角形不一定关于某条直线成轴对称，选项错误，不符合题意； 选项B分析：线段的对称轴有2条，分别是线段本身所在的直线、线段的垂直平分线，并非只有1条，选项错误，不符合题意； 选项C，对称轴是直线，等腰三角形底边上的中线是线段，不符合对称轴的定义，应为等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，选项错误，不符合题意； 选项D，等边三角形的三条高（或三条角平分线、三条中线）所在的直线都是它的对称轴，共3条，选项正确，符合题意． 5．A 【分析】利用非负数和为0的性质列方程求出三边长，再判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，，， 将代入，得， ∴，， ∴ ， 故为等边三角形． 6．B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再根据与的周长之差为列式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵与的周长之差为， ∴， ∴， ∴． 7．A 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，故可得出，即，由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，， 中，，， ． 是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴， ，即． 在中， ，， ， ∴． 8．D 【详解】解：如图，图②和图③满足题意，图①不能分成两个小等腰三角形. 9．D 【分析】连接，由等腰三角形可得，，根据线段垂直平分线可得，则的周长，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：    连接 等腰的底边长为6，点为边的中点， ，， 是腰的垂直平分线， ， 此时的周长， ， ， ， ， ∴的周长最小值为． 10．D 【分析】先根据得出，再根据，推出，从而得出，结合折叠，得出，最后根据是的外角，根据即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴，即， 由折叠性质可知：， ∵是的外角， ∴， ∴． 11．C 【分析】证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：在等边三角形中，∵是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，与相等的线段条数为7． 12．C 【分析】连接，，由等边三角形的性质可得，，，则，故当三点共线时，的最小值为的长，然后通过等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∵于点，是边的中点， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，的最小值为的长，如图， ∵， ∴，即的最小值为． 13．①②③ 【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重叠，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重叠，则：折痕即为边上的高； 故上述三条线段中能通过折纸折出的是①②③． 14．13 【分析】首先根据垂直平分线的定义和性质可得，，再由的周长为7，易得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为7，即， ∴， ∴的周长． 15．/80度 【分析】由垂直平分线得到等腰三角形，可得，，利用三角形内角和求出，再在直角三角形中求出，最后在中算出． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 16． 【分析】过点P作于点D，则，根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点D，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 17． 5 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质可得，进而得到，然后利用三角形的面积公式求出即可解决问题． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵到的距离为， ∴点到的距离为， ∵重叠部分的面积是， ∴ ， ∴， ∴． 18． 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段的长即可得到答案． 【详解】解：连接，如图， ∵的垂直平分线交于点F， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵的边的长为，面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为． 19．(1)解：根据轴对称的性质，作图如下： 则即为所求． (2)，， 【分析】（1）根据轴对称的性质，作图即可． （2）根据图形求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：由，，， 得，，． 20．证明：， ， ． ， ， ， 是等腰三角形. 【分析】先证明，进而得到，等量代换结合等角对等边，推出，即可得证． 【详解】略 21．证明：如图，连接． 为的垂直平分线， ， ． 又，， ， ， ， ． 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，确定，，再利用直角三角形的性质，证明即可． 【详解】证明：略． 22．(1) (2)解：水管总长的最小值为． 理由：由轴对称的性质得， ∴， 故最小值为． 【详解】（1）略 （2）略 23．证明：如图，连接， 是的垂直平分线， ． ，为的中点， 是的垂直平分线， ， ， ． 【分析】根据垂直平分线的性质推出，利用垂直平分线的判定和性质推出，通过等量代换即可证明． 【详解】略 24．(1)证明：是的中点， ， ，， 在和中， ， ， 点在的平分线上， 平分． (2)证明：由（1）知， 在和中， ， ， 又， 垂直平分． 【分析】（1）由是的中点，可得，利用可证，可得，利用角平分线的判定定理可证平分； （2）根据垂直平分线的判定方法，证明，即可． 【详解】（1）略 （2）略 25．(1)（Ⅰ） （Ⅱ）当时，，理由如下： 由轴对称的性质可得，， 同理（1）可得，当时，， ∴点，，在同一直线上， ∴． (2)的度数为 【分析】（1）（Ⅰ）利用轴对称的性质可得，，由等量代换可得； （Ⅱ）由轴对称的性质可得，，则点，，在同一直线上时，，计算此时的度数即可； （2）分别作点关于，的对称点，，连接，，，，交，于点，，连接，，则此时的周长最小，且等于的长．由（1）可知，结合等腰三角形的性质可得，，求和即可得出． 【详解】（1）解：（Ⅰ）∵点与点关于射线对称，点与点关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴； （Ⅱ）略 （2）解：如图，分别作点关于，的对称点，，连接，，，，交，于点，，连接，， ∴，，此时的周长最小，且等于的长， 由对称性可得，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 26．(1)A；B (2) (3)如图①，点即为所求． 的最小值为4 (4)的最小值为 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”求解即可； （2）根据三线合一得到，，即可得到； （3）连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； （4）在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：示例1中所包含的数学原理是两点之间，线段最短；示例2中所包含的数学原理是垂线段最短． （2）解：∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于点F，连接， ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴ （4）解：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $