辽宁省朝阳市朝阳一中联盟校 2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

九年级数学学科作业反思调研 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （为常数） C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 四个角都相等的四边形是正方形 3. 如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（ ） A. 28 B. 56 C. 112 D. 224 4. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的长是( ) A. B. C. D. 5. 如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（ ） A. 30 B. 15 C. 5 D. 10 6. 若是一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 7. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 10. 如图1，在边长为4的正方形中，点，分别是正方形的边，上的点，且，若，求的长．利用旋转的方法，把绕点逆时针旋转，得到，参考图2，可得的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值为___________． 12. 如图，在矩形中，E是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，矩形的面积为___________． 13. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是___________． 14. 若，则的值是__________． 15. 如图，正方形的边长为，是的中点，点是边上一个动点，连接，，则的最小值是___________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，当售价是15元时，能卖600本．通过前几天的销售发现，每涨价一元就少卖20本．设该书每天的销售量为y（单位：本），销售单价为x（单位：元/本） （1）请写出y关于x的函数关系式，不用写x的取值范围； （2）若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价； （3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由． 18. 如图，菱形的对角线交于点O，且，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 19. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长是的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，各留一个宽的门． （1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为； （2）所围矩形猪舍的面积能是吗？请说明理由． 20. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 21. 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）【初步思考】若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． （2）【尝试应用】若关于x的一元二次方程为，求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； （3）【拓展提高】已知不论为何值，关于x的方程：的衍生点G始终在直线上，求b，c的值． 22. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法： 项目背景 901班在社团活动时，研究了教材第40页的“一元二次方程的几何解法”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．这种构图法有我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家花剌子米两种不同方法．该社团以方程为例，分别展示． 材料一 赵爽构图法可以看成是一个长为，宽为x，面积为39的矩形．用4个长都是，宽都是 x的相同矩形构造成图(1)的大正方形． 材料二 花剌子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形． 问题解决： （1）任务一：材料一中，大正方形的面积可以表示为(用含 x的代数式表示)；另一方面它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于 ．故可得到方程 （2）任务二：材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程为 （3）任务三：请通过上述其中一种构造图形的方法来解一元二次方程：．你选择的是 构图法(填写①或②，①为赵爽构图法，②为花剌子米构图法)．请你构造出相应图形，并在图中标注出相关线段的长；并根据所画图形，求方程 的解．最后列出方程为 ． 23. 我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接． 【特例感知】 （1）试证明：． （2）如图1，延长到点G，使得，连接．图中与的数量关系是_______. 【结论探索】 （3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 九年级数学学科作业反思调研 一、选择题（每题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】48 【13题答案】 【答案】 且 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题（共8小题，共75分） 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， 【17题答案】 【答案】（1） （2）20元 （3）销售该书每天的利润不能达到8000元，理由如下： 根据题意得：，即，， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴销售该书每天的利润不能达到8000元． 【18题答案】 【答案】（1） 解：四边形是矩形．理由如下： ， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴， 即， ∴四边形是矩形； （2）6 【19题答案】 【答案】（1）所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为 （2）解：所围矩形猪舍的面积不能是，理由如下： 设与住房墙平行的矩形边长为，则与住房墙垂直的矩形边长为， 由题意得：， 解得或， ∵猪舍的一边利用长是的住房墙， ∴， ∴和均不符合题意， ∴所围矩形猪舍的面积不能是． 【20题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）． 【21题答案】 【答案】（1） （2）证明：， ∴， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； 该方程的衍生点M的坐标为； （3）， 【22题答案】 【答案】（1），，， （2）5，25 （3）选择①，图形为： 方程的解为，，； 或选择②，图形为： 方程的解为，， 【23题答案】 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2） （3）存在， 理由：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $