精品解析：辽宁盘锦市兴隆台区辽河中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九上数学质量检测 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 给出下列说法： ①相等的两个圆心角所对的弦相等； ②同弧或等弧所对的圆周角相等； ③三点确定一个圆； ④平分弦的直径垂直于弦； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数． 其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4. 如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（ ） A. 同弧或等弧所对的圆周角相等 B. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 直径所对的圆周角是直角 D. 圆的切线垂直于过切点的半径 5. 在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的长方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点均在格点上．在网格中找到格点，连接，，使得，则满足条件的格点有( )． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 12. 如图，图1是边长为2的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是________． 13. 如图，四边形是的内接四边形，弦．若，则的度数为_____． 14. 如图，直线与双曲线交于第一象限的点，与轴交于点，过点作轴于点，连接．若的面积为2，则的值为________． 15. 是的内接三角形，，若的半径为5，圆心到的距离为3，则的长度为_____． 三．解答题（共75分） 16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）画出将绕原点按逆时针旋转所得的； （3）在（2）旋转中，线段扫过的图形的面积为________． （4）与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标________． 17. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），赵州桥是我国古代石拱桥的代表．图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，，为半径，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 18. 如图，、是的切线，切于点，的周长为12，． （1）求的长； （2）求的度数． 19. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积和周长． 20. 某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． （1）若每月租出辆汽车（），则每辆汽车月租费增加________元，每辆汽车的月收益________元； （2）若出租公司的月收益为元，求与的函数关系式？ （3）为了尽可能多地占领市场，该公司决定每月出租车辆数不低于80，每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 21. 如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 【问题背景】小明同学利用两个大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点，使边，分别落在边，上，容易发现且． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （2）如图3，小明研究发现：连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角的度数________． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （3）在旋转过程中，当落在射线上时，求线段的长； 23. 如图1，抛物线的对称轴为直线，分别与轴，轴交于，两点，为的中点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，过点作的垂线，交于点，交抛物线于点，连接，求的面积； （3）点为线段上一动点（点除外），将线段绕点顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段，并求点的坐标，试判断点是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点是第四象限的一动点，且，连接，当点运动时，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上数学质量检测 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 给出下列说法： ①相等的两个圆心角所对的弦相等； ②同弧或等弧所对的圆周角相等； ③三点确定一个圆； ④平分弦的直径垂直于弦； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数． 其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的基本性质和相关概念逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的弦相等，故①说法错误； ②同弧或等弧所对的圆周角相等，故②说法正确； ③不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，故③说法错误； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故④说法错误； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，故⑤说法错误； 综上所述，正确的有个． 3. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 4. 如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（ ） A. 同弧或等弧所对的圆周角相等 B. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 直径所对的圆周角是直角 D. 圆的切线垂直于过切点的半径 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角．根据“直径所对的圆周角是直角”解答即可． 【详解】解：由作图知，是的直径， ∴，， ∴得到，均为直角的依据是直径所对的圆周角是直角， 故选：C． 5. 在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理得，过点作于点，利用三角形的面积可得，再结合图形解答即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 当时，与线段相切，只有一个交点，如图； 当时，与线段有两个交点； 当时，与线段只有一个交点； 当时，与线段没有交点； ∴当与线段有且只有两个公共点时，的取值范围是． 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，求出，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】反比例函数 中 ，即 ，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，根据 ，可知点位于不同象限，因此 ，而 ，，且由 可得 ，从而比较大小． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 函数 在第一、三象限内 y 随 x 增大而减小； ∵ ， ∴ ； ∵ ，，且 ， ∴ ，，且 ； 又 ∵ ，， ∴ ． 故选：D． 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在的长方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点均在格点上．在网格中找到格点，连接，，使得，则满足条件的格点有( )． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查找格点三角形外接圆的圆心，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，轴对称等知识，掌握圆周角定理是解题的关键．取格点，则，则点C是的外接圆的圆心，满足，假设直角坐标系中有一点P，满足，P不一定是格点，根据同弧所对的圆周角相等和对称性可知点P的轨迹是劣弧和 (两弧均不含点O和点B)组成的两条曲线，其中，从而确定符合条件的格点只有和，共两个． 【详解】解：取格点，则， ∴点C是的外接圆的圆心，满足， 假设直角坐标系中有一点P，满足，P不一定是格点， 则保持这个关系，则点P可在过点O、C、B的圆弧上移动(不含点O和点B)， 根据对称性，点P可以在这段弧关于对称的对称图形上，其中点C关于对称的对称是， 即点P的轨迹是劣弧和 (两弧均不含点O和点B)组成的两条曲线． 由于点P的轨迹上只有两个格点，即和， ∴符合条件的格点只有和，共两个． 故选：B． 10. 如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值. 【详解】如图，连接BP， 由对称性得：OA=OB， ∵Q是AP的中点， ∴OQ=BP， ∵OQ长的最大值为， ∴BP长的最大值为×2=3， 如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D， ∵CP=1， ∴BC=2， ∵B在直线y=2x上， 设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2， ∴22=（t+2）2+（﹣2t）2， t=0（舍）或t=﹣， ∴B（﹣，﹣）， ∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上， ∴k=﹣×（-）=， 故选C． 【点睛】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键. 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意可得为的直径，，，求出扇形的对应半径为，弧的长为，设圆锥的底面圆半径为，则，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得为的直径，，， ∴，即扇形的对应半径为， ∴弧的长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． 12. 如图，图1是边长为2的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵， ， 扇形的面积是. 13. 如图，四边形是的内接四边形，弦．若，则的度数为_____． 【答案】##42度 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 如图，连接，首先求出，然后由求出，进而利用同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 14. 如图，直线与双曲线交于第一象限的点，与轴交于点，过点作轴于点，连接．若的面积为2，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】作轴于D，如图，则，然后根据k的几何意义确定k的值． 【详解】解：作轴于D，如图， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 由图象位于第一象限得， ∴． 15. 是的内接三角形，，若的半径为5，圆心到的距离为3，则的长度为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理并分情况讨论是解题的关键．本题需要先根据垂径定理求出的一半，再分圆心在三角形内部和外部两种情况，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：连接并延长交于点，连接． ∵，， ∴垂直平分， ∴，． ∵圆心到的距离为，即，的半径， ∴． 当圆心在内部时，， ∴； 当圆心在外部时，， ∴． 故答案为：或． 三．解答题（共75分） 16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）画出将绕原点按逆时针旋转所得的； （3）在（2）旋转中，线段扫过的图形的面积为________． （4）与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标________． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3） （4）与成中心对称，对称中心为. 【解析】 【分析】（1）作出A、B、C关于x轴的对称点，然后顺次连接即可得到； （2）把A、B、C绕原点按逆时针旋转90度得到对应点，然后顺次连接即可； （3）结合旋转可得，进一步求解面积即可； （4）结合图形可得与成中心对称，连接各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 由旋转可得：，，，， ∴， ∴线段扫过的图形的面积为：. 【小问4详解】 解：如图， ∵，；，；，； ∴的中点坐标为，的中点坐标为,的中点坐标为， ∴与成中心对称，对称中心为. 17. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），赵州桥是我国古代石拱桥的代表．图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，，为半径，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】这座石拱桥主桥拱的半径为 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 设这座石拱桥主桥拱的半径为，由垂径定理，结合已知可得，根据勾股定理，即可得这座石拱桥主桥拱的半径． 【详解】解：设这座石拱桥主桥拱的半径为， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． 18. 如图，、是的切线，切于点，的周长为12，． （1）求的长； （2）求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线长定理． （1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于的结论，即可求出的长； （2）根据三角形的内角和求出和的度数和，然后根据切线长定理，得出和的度数和，再根据三角形的内角和求出的度数． 【小问1详解】 解：，都是圆的切线， ， 同理，， 三角形的周长， 即的长为6； 【小问2详解】 解：， ， ， ，是圆的切线， ； 同理：， ， ． 19. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积和周长． 【答案】（1）证明：连接，如图： ∵为直径， ， ∵， ， 又， ∴为的中位线， ； ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线； （2）面积为；周长为 【解析】 【分析】（1）连接，可证明，则可证明，可推出为的中位线，进而证明，据此可证明是的切线； （2）由直角三角形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到；过点O作于点G，则，，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 如图所示，过点O作于点G，则， ∴， ∴阴影部分面积， 阴影部分的周长． 20. 某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． （1）若每月租出辆汽车（），则每辆汽车月租费增加________元，每辆汽车的月收益________元； （2）若出租公司的月收益为元，求与的函数关系式？ （3）为了尽可能多地占领市场，该公司决定每月出租车辆数不低于80，每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】（1）； （2）（，且x为整数） （3）每月租出80辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304000元 【解析】 【分析】（1）根据每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车列式求解即可； （2）根据总月收益等于每辆汽车的月收益月租出汽车量列式求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车， ∴每辆汽车月租费增加元； ∵每辆汽车月租费为元， ∴每辆汽车的月收益元； 【小问2详解】 解：由题意得，（，且x为整数）； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而减小， 根据题意可得，且x为整数， ∴当时，w有最大值，最大值为； 答：每月租出80辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304000元． 21. 如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，垂足为点， ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ， 的半径为． 22. 【问题背景】小明同学利用两个大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点，使边，分别落在边，上，容易发现且． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （2）如图3，小明研究发现：连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角的度数________． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （3）在旋转过程中，当落在射线上时，求线段的长； 【答案】（1）解：成立，理由如下： ∵边长为4的正方形，边长为2的正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交于点M，交于点N， 则， ∴， ∴， ∴， 故. （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，继而得到，证明，可得；延长，二线交于点M，与交于点N，利用全等三角形的性质，对顶角性质，余角的性质，可证明． （2）画图分类计算即可． （3）连接，交于点M或N，利用正方形的性质，勾股定理分类计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，∵， ∴， ∴， 故； 如图，∵， ∴， ∴， ∴， 故． ． 【小问3详解】 解：当A，G，E三点在的右侧且在同一条直线上时， 连接交于点M， ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，，,, ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，,, ∴， ∴； 当A，G，E三点在的左侧且在同一条直线上时， 连接，交于点N， 同理可证，，，， ∴； 综上所述，的长为或. 23. 如图1，抛物线的对称轴为直线，分别与轴，轴交于，两点，为的中点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，过点作的垂线，交于点，交抛物线于点，连接，求的面积； （3）点为线段上一动点（点除外），将线段绕点顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段，并求点的坐标，试判断点是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点是第四象限的一动点，且，连接，当点运动时，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①如图，线段即为所求； ；点在抛物线上， 理由如下： 连接，作于点， 由题意得，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∴， 对于，当时，， ∴点在抛物线上； ② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可； （3）①根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，根据直角三角形斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同①可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于 ∴抛物线与轴另一个交点为，即 设 把代入可得， 解得 ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入得： 解得， ∴， ∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D， ∴把分别代入和中得，， ∴，， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， 同①可得，， ∴点在射线上运动， ∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $