北京市东直门中学2026-2027学年高三上学期10月阶段考试数学试题

北京市东直门中学2026-2027学年度第一学期阶段考试 高三数学 2026.10 考试时间：120分钟总分150分 班级 姓名 学号 第一部分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。 1.已知集合A={xx2+5x-6<0},B={xx>-2},则AnB= A.(-2,+∞) B.(-6,-2) C.（-2,1) D.(-2,6) 2.若复数z满足(1+)z=1一，则z的虚部为 A.-V2i B.-V2 C.- D.-竖 3.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是 Ay=月 B.y=-x3 C.y=xlx D y=logix 4.已知m,n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A.若ml/a,n//,则m//m B.若m⊥a,nca,则m⊥n C若m⊥a,m⊥n,则n/a D.若m/a,m⊥n,则n⊥a 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4-a2卡4,4，a2,4成等比数列，则S,= A.28 B.42 C.56 D.112、 6.已知d,为非零向量，则“+与d-共线”是“与共线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1k6 7.在生活中，人们常用声强级y(单位：dB)来表示声强度/（单位：W/m2)的相对大小， 具体关系式为y=10lg(),其中基准值lo=10-12w/m2.若声强度为，时的声强级为60dB, 那么当声强度变为4l时的声强级约为（参考数据：g2≈0.3) A.63dB B.66dB C.72dB D.76dB 8.已知函数g(x)=V3si(ωx+p),g(x)图象上每点的横坐标缩短到原来的与，得到f() 的图象，f(x)的部分图象如图所示，若A正.配=|AE?,则ω等于 A豆 B. c D.8 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的 动点，则下列结论正确的有 ①存在点Q,使得PQ//BD1 ②存在点Q,使得PQ⊥平面AB1C1D ③三棱锥A一PDQ的体积是定值 ④不存在点Q,使得PQ与AD所成的角为号 A.①② B.②③ C②④ D.①④ 10.设函数f(x)=e*(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数xo使得f(xo)<0, 则a的取值范围是 A【-品 B品别 c层引 D.层) 26 第二部分 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.在(x+2y)4展开式中，x3y的系数为 12.一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则此几何体的表面积为」 13.已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，E,F分别是AB,AD的中点，则 EF.EA= ;若M,N是对角线AC上的动点，且IMNI=2,则EM.EN的最小 值为 14.设函数f(x)= c+1)c-a,x<1?当a=1时，函数f(x)的最小值为 1gx+a,x≥1 若f(x)无最小值，则实数a的取值范围是 15.已知△An BnCn((n=1,2,…)是直角三角形，An是直角，内角An,Bn,Cn所对的边分别为 a,b,c,面积为S,b哈+1=g号，品1=+近给出下列四个结论： 3 3 ①当b1=3,c1=4时，a1=5; ②n∈N",an=an+1i ③存在b1≠c1,使得3n∈N,△AnBn Cn为等腰直角三角形； ④任取b1≠c1,{Sn)为递增数列. 其中所有正确的结论是 3/6 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD, 0为AD中点，AB=1,AD=2,AC=CD=V5. (1)证明：直线AB/平面PC0: (2)求二面角P-CD-A的余弦值. D B 17.在AABC中，acosB+bc0SA=4 ccosA. (1)求cosA的值； (2)若a=2√10，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 △ABC存在，求BC边上的高. 条件①：B= 条件②：b=6; 条件③：cosC= 4 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答， 按第一个解答计分 18.为测试A、B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1 到100编号后随机分配给这两款软件测试.每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： A软件 B软件 试题类别 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 (1)估计B软件能正确解答数学问题的概率； (2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同）， 其中函数2道，几何1道：使用A软件解答2道函数试题，使用B软件解答1道几何试题；每道 试题只用其中一款软件解答一次.假设用频率估计概率，且每次解答相互独立.用X表示3 道类似试题被正确解答的个数，求X的分布列与数学期望； (3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题 基本相同)，但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为号，几何题的概 率为假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不 要求证明) 19.己知椭圆c:号 ?=1短轴长为2，过其右焦点R,且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B 两点，且AB=23 31 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线：y=kx一与椭圆C交于B,F两点，线段EF中点为Q,在y轴上是否存在定点 P,使得∠EQP=2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 5/6 20.已知函数f(x)的定义域为（侵，+∞），f(1)=1,函数g(x)=xn(2x-1).对t∈（侵，+o), 曲线y=f(x)在点A(七，f(t)处的切线方程为y-f(t)=g(t)(x-t). (1)求f(x)的最小值： (2)讨论g(x)的单调性： (3)已知f(3)<31n5+1,求过点(2,1)且与曲线y=f(x)相切的直线条数. 21.已知各项均为正整数的有穷数列An:1,a2…an(n>3)满足：1≤i<j≤n,有a:卡 4:若an等于a4十ay(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数，则称数列An具有性质P. (1)分别判断下列数列是否具有性质P; ①A43,1,7,5; ②A5:2,4,8,16,32. (2)已知数列A6:2,4,8,16,32,m具有性质P,求出m的所有可能取值； (3)若一个数列A2024:a1,a2,,a2024具有性质P,则a2024是否存在最小值？若存在，求出 这个最小值，并写出一个符合条件的数列：若不存在，请说明理由.