精品解析：福建省莆田第二中学2026--2027学年高一上学期10月质量检测数学卷

莆田二中2026级高一10月阶段质量检测 数学试题 命题人：高一数学备课组 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 在数轴上表示出集合和集合，由图可知. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】命题，则是. 故选：B. 3. 若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法可得答案. 【详解】若， 则. 故选：B. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将绝对值不等式化简，即可得到结果. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将分式不等式等价转化为整式高次不等式，通过区间符号验证求解，需排除分母为0的情况. 【详解】不等式，其等价于分子分母同号且分母不为0，即：， 整理不等式可得：， 两边同乘，不等号方向改变，得：， 该整式的零点为，将数轴分为四个区间，逐段验证符号： 当时，，三者乘积为负，满足，符合条件； 当时，，三者乘积为正，不满足条件； 当时，，三者乘积为负，满足，符合条件； 当时，，三者乘积为正，不满足条件， 结合分母不为0的限制，最终解集为. 6. 若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得. 【详解】由集合有6个非空真子集，得集合中有3个元素，为， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 7. 设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用基本不等式，用表示式子的最小值，再令该最小值不大于9，求的取值范围即可. 【详解】，，， （当且仅当时取等号， 又有解，，解得：. 故选：C 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质及可求解AD，举反例即可求解BC. 【详解】A项，因为，所以，故，又，由同向不等式的可加性得，故A项正确； B项，取，，，，满足，，但，故B项错误； C项，，不成立，故C项错误； D项，由，又，所以，在两端同乘以可得，化简得：，故D项正确. 故选：AD 10. 如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是. B. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或. C. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. D. 若，则的最小值为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于C，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立. 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故B正确； 对于C，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故C错误；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是得，B选项的关键是得，C选项的关键是得在上恒成立，D选项的关键是利用基本不等式得，然后适当变形即可求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据“存在，”为真命题，讨论，，求解. 【详解】命题“对任意的，都有”为假命题， 则“存在，”为真命题， 当时，满足； 当时，满足； 当时，需，解得； 综上：. 故答案为： 13. 已知，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可. 【详解】设，因此得：，， ， 因为，所以，因此， 所以. 故答案为： 14. 已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解，结合韦达定理求出，再利用1的妙用求出最小值，进而求解一元二次不等式即可. 【详解】由不等式的解集为或， 得和是方程的两个实数根且，则，解得， 于是，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或，或. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，由补集定义计算，利用集合的基本运算即可得到结果. （2）根据条件得到，计算和时的取值范围即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，∴或， ∴或，或. 【小问2详解】 ∵，∴. 当时，，解得. 当时，，解得或. 综上得，的取值范围为或. 16. 已知集合，． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件，得到为的真子集，从而得到不等式组，求出答案； （2）分和两种情况，得到不等关系，求出答案 【小问1详解】 ， 故等价于，解得， 故， ，是的充分不必要条件，故为的真子集， 故或，解得； 【小问2详解】 为真命题，若，则，解得， 若，需满足或， 解得或， 综上，实数的取值范围是或. 17. 已知函数． （1）解不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，原不等式解集为，当时，原不等式无解，当时，原不等式解集为， （2） 【解析】 【分析】（1）依据一元二次方程根的情况对参数进行讨论，求解一元二次不等式即可. （2）运用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 首先，令，解得或， 当时，解，得到， 当时，，此时原不等式无解， 当时，解，得到， 综上，当时，原不等式解集为， 当时，原不等式无解， 当时，原不等式解集为， 【小问2详解】 因为对任意的，恒成立， 所以恒成立， 故，即， 因为，所以，， 即，故，令， 从而，又， ， 当且仅当时取等，此时解得(负根舍去)， 故，即实数的取值范围为. 18. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围： （3）当时，若关于的方程有两个不同的实数根和，且满足，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，求出结果即可； （2）根据一元二次恒成立的条件，判断判别式和开口方向，列出不等式，求出结果即可； （3）根据判别式和韦达定理，根据题意，列出不等式，求出结果即可； 【小问1详解】 此时，不等式即． 通过因式分解可得， 二次函数图象开口向上，零点为 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 当时，，显然对于任意恒成立，满足的解集为． 当时：函数是二次函数，的解集为， 则二次函数图象开口向下且与轴最多有一个交点． 即，由，结合，解得． 综上，实数的取值范围是． 【小问3详解】 有两个不同的实数根和，则， 即，解得， 由可得：， 此时，所以有， 则，解得． 所以实数的取值范围是． 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田二中2026级高一10月阶段质量检测 数学试题 命题人：高一数学备课组 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是. B. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或. C. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. D. 若，则的最小值为. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为_______. 13. 已知，则的取值范围是_____． 14. 已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知集合，． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）解不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围： （3）当时，若关于的方程有两个不同的实数根和，且满足，求实数的取值范围． 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $