精品解析：山东淄博市周村区第一中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

数学试卷 一、选择题（共10小题，每题5分，共50分） 1. 如图曲线中不能表示是的函数的是（ 　　） A. B. C. D. 2. 在Rt中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 4. 如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（ ）米． A. B. C. D. 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 7. 若函数的图象过点 、、，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 如图，在矩形中，，点E在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点D恰好落在上的点F处，则的值是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；其中所有正确的结论是（　　） A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（共5小题，每题5分，共25分） 11. 如果，那么锐角的度数是_______ 12. 函数中自变量的取值范围是__________. 13. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣，③y=﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是______（填序号） 14. 如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点A，，都在格点上，则的值为__________. 15. 如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为___________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形． 18. 如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点． （1）求A，B两点的坐标； （2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值． 19. 已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）求此抛物线的解析式； （2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． （1）求点的坐标及该拋物线的对称轴； （2）当时，的最大值是，求当时，的最小值． 21. 阅读与思考 请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 圭表是度量日影长度的一种天文仪器．古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动． 如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天． 工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图．其中，点A为夏至线所在的位置，点B为冬至线所在的位置，，点O，A，B，P在同一竖直平面内，点O，A，B在同一条直线上．据调查，该地冬至正午时分的太阳高度角为，夏至正午时分的太阳高度角为．（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角） 任务： （1）求和的长． （2）已知该地春分正午时分的太阳高度角是，工人师傅想在图2中之间标出春分线的位置，请直接写出的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，，．） 22. 如图，已知二次函数的图像过点，和，与轴的另一个交点为． （1）求该二次函数的解析式； （2）求三角形的面积； （3）若为拋物线上一点，且的面积是的倍，求点的坐标． 23. 已知，抛物线y＝x2+bx﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其中点A在x轴的负半轴上，且tan∠ACO． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使∠PCB＝∠ACO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，在y轴上有一动点G，作直线GA，GB，分别交抛物线于点M，N，若M，N两点的横坐标分别为m，n，试探究m，n之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题5分，共50分） 1. 如图曲线中不能表示是的函数的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念，对于自变量 x的每一个值，因变量 y都有唯一确定的值与它对应，即可解答． 【详解】解：A、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故A不符合题意； B、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故B不符合题意； C、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故C符合题意； D、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故D不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 2. 在Rt中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象平移变换规则：左加右减，上加下减，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴所得到的抛物线的表达式为， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换-平移，熟练掌握图象平移变换规则：左加右减，上加下减是解答的关键． 4. 如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，注意直角三角形中斜边上画出高，图中会有相等的角，若，则． 利用三角函数的定义结合图形，注意题目中相等的角在不同三角形中三角函数的表示不同． 【详解】解：∵在中，，， ∴， A．，故A选项错误，符合题意； B．因为，所以，故B选项正确，不符合题意； C．，故C选项正确，不符合题意； D．因为，所以，故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（ ）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和直角三角形的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 【详解】解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，米， （米），（米）， 在中，， 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 7. 若函数的图象过点 、、，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求得抛物线的对称轴为，进而可得关于对称轴的对称点的坐标为：，再根据抛物线的开口向上，且，即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为：， 关于对称轴的对称点的坐标为：， 抛物线的开口向上，且， ， 故选A． 8. 二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向，对称轴以及图象与轴的交点判断、、的符号即可求解． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ，则， 图象与轴的交于负半轴， ， ，，， 故选：C． 9. 如图，在矩形中，，点E在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点D恰好落在上的点F处，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到，，，设，则，勾股定理求出，然后得出，然后求出，然后利用代数求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵ ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，求角的正弦值，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；其中所有正确的结论是（　　） A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论； ②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论； ③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论； ④根据点（，0）和对称轴方程即可得结论． 【详解】解：①观察图象可知： a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0， 所以①正确； ②当x＝时，y＝0， 即a+b+c＝0， ∴a+2b+4c＝0， ∴a+4c＝﹣2b， ∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0， 所以②正确； ③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0）， 所以与x轴的另一个交点为（﹣，0）， 当x＝﹣时，a﹣b+c＝0， ∴25a﹣10b+4c＝0． 所以③正确； ④当x＝时，a+2b+4c＝0， 又对称轴：﹣＝﹣1， ∴b＝2a，a＝b， b+2b+4c＝0， ∴b＝﹣c． ∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0， ∴3b+2c＜0． 所以④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用抛物线判断式子正负，正确读懂抛物线的信息，判断式子正负是解题的关键 二、填空题（共5小题，每题5分，共25分） 11. 如果，那么锐角的度数是_______ 【答案】##60度 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴锐角的度数为． 故答案为：． 12. 函数中自变量的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【详解】根据题意得： 解得：且. 故答案为且. 【点睛】二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零. 13. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣，③y=﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是______（填序号） 【答案】① ③ ② 【解析】 【详解】①y=−3x²，②y=−x²，③y=−x²中,二次项系数a分别为−3、−、−1， ∵|−3|>|−1|>，∴抛物线②y=−x²的开口最宽,抛物线①y=−3x²的开口最窄． 故答案为①③②． 点睛：本题考查了二次函数的图象与性质，关键是找到开口大小与a的关系，对于二次函数，二次项系数|a|越大，其开口越小，反之越大． 14. 如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点A，，都在格点上，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形. 延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为．在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用角平分线的定义可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用三角形内角和定理求出，从而可得，最后利用等角对等边即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为． 在中，，， ． 在中，， ． 平分， ， ． ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）根据乘方运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形． 【答案】AB＝4，∠A＝30°，∠B＝60° 【解析】 【分析】由勾股定理求得AB的长，再由锐角三角函数定义得到∠A的度数，然后求出∠B的度数即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2， ∴AB＝＝4， ∵tanA＝， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义和勾股定理的知识解答． 18. 如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点． （1）求A，B两点的坐标； （2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值． 【答案】（1）A（-1，0），B（2，0）；（2）m的值为0或1． 【解析】 【分析】（1）解方程x2-x-2=0可得A，B两点的坐标； （2）把P（m，-2）代入y=x2-x-2得m2-m-2=-2，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：（1）当y＝0时，x2-x-2=0，解得x1＝-1，x2＝2， ∴A（-1，0），B（2，0）； （2）把P（m，-2）代入y=x2-x-2得m2-m-2=-2， 解得m1＝0，m2＝1， ∴m的值为0或1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 19. 已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）求此抛物线的解析式； （2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象性质等知识点，解决此题关键是能根据表格里的数据得到对称轴． （1）根据表格里的数据得到对称轴，可设抛物线解析式，再找一个组值代入即可； （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系里描出点，用平滑的曲线连接即可；根据图象的性质，即可得到时，y的范围． 【小问1详解】 解：由表格可知对称轴为，所以可设抛物线的解析式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：函数图象如图所示 由（1）可知，对称轴为， 所以令时，， 当时， ∴能取到最小值， 即． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． （1）求点的坐标及该拋物线的对称轴； （2）当时，的最大值是，求当时，的最小值． 【答案】（1），直线； （2）． 【解析】 【分析】（）将代入解析式求点坐标，由抛物线对称轴为直线，可得抛物线的对称轴； （）由可得时取最大值，从而可得的值，进而求解； 此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 【小问1详解】 解：∵点是拋物线与轴的交点， ∴将代入得，， ∴点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 【小问2详解】 抛物线的顶点坐标为 ∵当时，的最大值是， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线顶点的纵坐标即为的最大值， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴当时，有时，取得最小值为． 21. 阅读与思考 请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 圭表是度量日影长度的一种天文仪器．古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动． 如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天． 工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图．其中，点A为夏至线所在的位置，点B为冬至线所在的位置，，点O，A，B，P在同一竖直平面内，点O，A，B在同一条直线上．据调查，该地冬至正午时分的太阳高度角为，夏至正午时分的太阳高度角为．（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角） 任务： （1）求和的长． （2）已知该地春分正午时分的太阳高度角是，工人师傅想在图2中之间标出春分线的位置，请直接写出的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，，．） 【答案】（1）的长为，的长． （2）． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）先求出，，再利用正切函数的定义求出和的长即即可； （2）连接，由题意得：，根据正切的定义即可求出的长． 【小问1详解】 解： 由题中太阳高度角的定义可知：，， ， ， ，是直角三角形， ∵， ∴， ∴， 即的长为，的长． 【小问2详解】 如图，连接，由题意得：， ， 是直角三角形， ， 即的长度是． 22. 如图，已知二次函数的图像过点，和，与轴的另一个交点为． （1）求该二次函数的解析式； （2）求三角形的面积； （3）若为拋物线上一点，且的面积是的倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合，涉及一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，三角形的面积，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线与轴交于点，先根据二次函数求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，得到，最后根据即可求解； （3）过点作轴，交直线于点，先求出直线的解析为，设，则，得到，进而得到，最后根据的面积是的倍列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，和代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 设直线与轴交于点， 在中，令，则， 解得：或， 二次函数与轴的另一个交点， 设直线的解析式为：， 将和代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， ， ； 【小问3详解】 如图，过点作轴，交直线于点， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 的面积是的倍，， ， 解得：或， 点的坐标为或． 23. 已知，抛物线y＝x2+bx﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其中点A在x轴的负半轴上，且tan∠ACO． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使∠PCB＝∠ACO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，在y轴上有一动点G，作直线GA，GB，分别交抛物线于点M，N，若M，N两点的横坐标分别为m，n，试探究m，n之间的数量关系． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2）存在，P（4，5） （3）3n+m＝0 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的解析式得到C点坐标，再根据三角函数值求出A点坐标，代入解析式即可求出二次函数的解析式． （2）由题目中所给的坐标得到△BOC是等腰直角三角形，再由∠PCB＝∠ACO得到∠ACB＝∠AQC，就可以证明△ACB∽△AQC，根据比例关系求出Q点坐标，这样CP的解析式就算出来了，最后再将两个函数联立就可以算出P点坐标了． （3）设出G点坐标，表示GA和GB的解析式,再分别和二次函数联立，即可解出M、N点的横坐标，最后表示m、n之间的关系． 【小问1详解】 由题意得：C（0，﹣3）， ∴CO＝3， ∴AO＝CO•tan∠ACO＝1， ∴A（﹣1，0）， 则， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3①； 【小问2详解】 存在，理由： 如图1，记AB与PC的交点为点Q， ∵C（0，﹣3），B（3，0）， ∴BO＝CO＝3，∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵∠PCB＝∠ACO， ∴∠PCB+45°＝∠ACO+45°， 即∠ACB＝∠AQC， ∴△ACB∽△AQC， ∴,即， ∴AQ＝2.5， ∴Q（1.5，0）， ∴直线CP解析式为：y＝2x﹣3②， 联立①②并解得或（舍去）， ∴P（4，5）； 【小问3详解】 设G（0，a）， 则直线GA解析式为：y＝ax+a，直线GB解析式为：y=， 联立直线GA和抛物线的解析式得：， 即x2﹣（a+2）x﹣3﹣a＝0， 则有：xA•xM＝﹣3﹣a， 即xM＝m＝3+a， 联立直线GB和抛物线的解析式得：， 即x2+x﹣2x﹣3﹣a＝0， 则有：xB•xN＝﹣3﹣a， 即3n＝﹣3﹣a， ∴3n+m＝0． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，三角函数值求出点坐标，相似三角形求出点坐标、联立二次函数和一次函数的解析式求解．灵活运用相似三角形的判定和联立两个函数进行求解是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $