精品解析：甘肃省部分校2026-2027学年高一第一学期第一阶段考试 高一数学试题

2026～2027学年度第一学期第一阶段考试 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：湘教版必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列研究的对象能构成集合的是（ ）． A. 我不喜欢的人 B. 中国所有的5A级景区 C. 好吃的西瓜 D. 高大的山 2. 当时，的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 已知全集为，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 4. 若且，则的值与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知均为实数，下列不等关系推导成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 末位数字是3的整数一定会被3整除 C. 若，则 D. 当时，关于的一元二次方程一定有一个大于1的根 10. 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 或 11. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定为______. 13. 集合的真子集的个数是__________． 14. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，并写出的所有子集． 16. （1）已知，求的最小值﹔ （2）已知，，且，求的最小值. 17. 已知全集. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 18. 已知关于的不等式． （1）若该不等式的解集为或，求实数的值； （2）解该不等式． 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期第一阶段考试 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：湘教版必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列研究的对象能构成集合的是（ ）． A. 我不喜欢的人 B. 中国所有的5A级景区 C. 好吃的西瓜 D. 高大的山 【答案】B 【解析】 【详解】集合中的元素具有确定性。我不喜欢的人，好吃的西瓜，高大的山都没有明确界定范围，不符合集合的确定性要求，而中国所有的5A级景区符合集合的确定性要求 2. 当时，的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为2． 故选：C． 3. 已知全集为，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形可得，阴影部分表示的集合为，求出即可. 【详解】根据图形可得，阴影部分表示的集合为， ， . 故选：B. 4. 若且，则的值与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】借助作差法及配方法比大小即可得. 【详解】， 由且，故，即. 故选：C. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得或， 因此“若，则”是假命题，“若，则”是假命题， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D 6. 已知均为实数，下列不等关系推导成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，举反例即可判断；对于D，由同号同向不等式的可乘性即可判断. 【详解】由，可得，则选项A判断错误； 由，可得，则选项B判断错误； 令，但是.则选项C判断错误； 由，可得，又，则，则.则选项D判断正确. 故选：D. 7. 已知集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ． 因为可以表示偶数,不能表示奇数，而可以表示全部整数．所以，D正确. 对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C，因为，，故C错误. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据确定的取值范围，初步判断在不等式的解集内，不在不等式的解集内，进而确定不等式解集内的整数，列出不等式，可求出结果. 【详解】由题意，且，且，解得，则， 设不等式的解集为. 因为时，不成立，所以；因为时，，所以. 又因为中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3. 由. 综上所述. 故选：C 【点睛】关键点点睛：不等式中所含有的整数解必定是连续的整数，弄清楚1，2，3满足不等式后，还要注意0，4不满足原不等式. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 末位数字是3的整数一定会被3整除 C. 若，则 D. 当时，关于的一元二次方程一定有一个大于1的根 【答案】AD 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义即可判断A； 容易判断B； 根据不等式的性质可以判断C； 根据题意解出方程根，进而判断D. 【详解】对于A选项，若，，则，但不满足.而由可得且，可知A选项正确； 对于B选项，如13就不被3整除，故B选项错误； 对于C选项，当时，与的关系不确定，故C选项错误； 对于D选项，方程可化为，由，解得，可得，故选项正确. 故选：AD. 10. 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】AB 【解析】 【详解】已知，不等式，则， 而方程的两根是， 当，即时，不等式的解集为，对应选项A； 当，即时，不等式变为，无解； 当，即 时，不等式的解集为，对应选项B. 综上所述，结合选项可知AB正确. 11. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断. 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定为______. 【答案】， 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定求解. 【详解】由于全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定为“，”. 故答案为：， 13. 集合的真子集的个数是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】．先根据题意写出集合的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可. 【详解】因为， 则的元素个数为，故A有个真子集． 故答案为：. 14. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______. 【答案】或 【解析】 【分析】设方程的两个不相等的实数根为，由题得，解不等式即得解. 【详解】设方程的两个不相等的实数根为， 由题得或. 由题得. 综合得或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，并写出的所有子集． 【答案】（1） （2）；的所有子集为，，， 【解析】 【分析】（1）联立二元一次方程组，求出交点即可得解；（2）联立二元一次方程和一元二次函数即可得解. 【小问1详解】 由得， 所以； 【小问2详解】 由解得或， 所以． 所以的所有子集为，，，． 16. （1）已知，求的最小值﹔ （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）变换，再利用均值不等式计算得到答案. （2）变换，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）， 当且仅当，即时等号成立 （2）， 当且仅当，即，时等号成立. 17. 已知全集. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，利用集合的运算即可求出结果； （2）由题意转化为恒成立，利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 若， 所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递减， 所以，解得或， 即实数的取值范围是. 18. 已知关于的不等式． （1）若该不等式的解集为或，求实数的值； （2）解该不等式． 【答案】（1），； （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据2是方程的根可得，即可代入不等式求解， （2）对分类讨论，即可结合一元二次不等式的性质求解. 【小问1详解】 由题意知，2是方程的一个根， 所以，解得， 所以，解得或，所以； 【小问2详解】 若，解得，所以该不等式的解集为； 若，当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，，该不等式的解集为； 当，即时，的两个根分别为，，所以该不等式的解集为或； 若时，当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，的两个根分别为，，所以该不等式的解集为． 综上， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和3 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，即，则， 解得，，所以不动点为和3. 【小问2详解】 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. 【小问3详解】 由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $