第3章幂、指数与对数单元复习（ 提高篇） 讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第3章幂、指数与对数单元复习（提高篇） 知识点一、根式 1.n次方根的定义 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且。 特殊结论： ①当为奇数时：正数的次方根为正数，负数的次方根为负数，的次方根记作。 ②当为偶数时：正数的次方根有两个，互为相反数。正的方根称为次算术根，负的方根，合并写作。 ③负数没有偶次方根。 ④的任何次方根都是，记作。 2.根式概念 式子叫做根式；称为根指数，称为被开方数。 （1）为奇数：，均有意义； （2）为偶数：仅当时，才有意义。 3.与的区别 ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点二、分数指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【注意】1．零指数漏条件： 需 ； 2．负指数忘限制： 需 ； 3．符号混淆：（－a） 与 不分； 4．负底数无意义。 知识点三、幂的基本不等式 定理 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过倒数 进行调整；无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过相反数 进行调整．将条件调整到底数大于 1 ，指数大于 0 ，进而应用幂的基本不等式． 知识点四、对数的概念 1.对数的定义 在 ，且 的条件下，唯一满足 的数 ，称为 以 为底的对数，并用符号 表示，而 称为真数 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数e(e的值约为2.71828…) 为底的对数 3.指数式与对数式互化 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ，如 不可转化为对数式． （2）两个式子是同一数量关系的两种不同表现形式，它们互为逆运算． 4、对数基础性质（） （1）负数和零没有对数，即真数； （2），； （3）对数恒等式：。 知识点五、对数运算性质 设，且，对数核心运算性质如下： ① ② ③（） ④（） 知识六、对数换底公式 换底公式： 重要推论： （倒数关系） 考点01 根式的概念及性质 【例1】下列说法： 的运算结果是 的次方根是 当为大于的偶数时，只有当时才有意义 当为大于的奇数时，对任意都有意义． 正确的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查根式运算与性质，属于中档题． 利用，可得的次方根，结合的奇偶性，即可判断错误，正确． 【解答】 解：对于，偶次根式的结果只能是正数，错误 对于，偶次方根的结果有正有负，错误； 根据指数幂的运算法则可知正确则正确的个数为， 故选C． 【例2】若有意义，则的取值范围是（  ） A． B．∪ C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，解得.故选：D 【跟踪训练】 1．以下说法正确的是(　　) A．正数的n次方根是正数 B．负数的n次方根是负数 C．0的n次方根是0(n∈N*) D．a的n次方根是 【答案】　C 解析：当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误； 当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误； 当n∈N*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，无意义， 故D错误． [答案]　C 2．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， ，解得. 3．有意义，则实数x的取值范围为______． 【答案】 解析：∵根指数为6，∴，∴．故答案为：． 考点02 根式的化简与计算 【例3】若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【解答过程】由，得， 所以. 故选：C. 【跟踪训练】 1. 化简： ． 【答案】 【分析】由根式的计算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 2. 下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】由根式和指数幂的运算性质逐项判断. 【详解】对A：因为，故错误； 对B：因为无意义，故错误； 对C：因为，故错误； 对D：因为，故正确； 故选：D. 3. 下列等式中，一定成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查将根式化为分数指数幂的公式． 注意分数指数幂法则使用的范围，将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算法则化简根式是解题的关键． 【解答】 解： ，错，  ，错  中，错  ，D正确． 故选D． 考点03 根式与指数幂的相互转化 【例4】设，用有理数指数幂的形式表示 ． 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】利用分数指数幂的意义及运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 【跟踪训练】 1.将化为有理数指数幂的形式为　 　． 【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 2.将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 考点04 指数幂的化简与计算 【例5】计算： . 【答案】/0.5 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 【例6】已知实数，，化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂运算即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 【跟踪训练】 1. 计算： . 【答案】 【分析】利用有理数指数幂的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 2. 已知，化简 . 【答案】 【分析】利用分数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 3. 已知，则关于的表达式 ． 【答案】4 【分析】将根式转化为分数指数幂，结合指数幂运算性质计算即可. 【详解】原式， 故答案为：4. 考点05 由给定条件求指数式的求值 【例7】已知，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确. 故选：C 【跟踪训练】 1. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 2．已知，则 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 3.计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)4 (2) 【解题思路】（1）根据分数指数幂和根式运算法则得到答案； （2）两边平方求出，两边平方求出，从而得到的值. 【解答过程】（1）原式. （2）因为， 所以， ， 所以. 考点06 对数的概念 【例8】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求. 【解答过程】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D. 【例9】，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【答案】C 【解题思路】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【解答过程】，，. 故选：C. 【跟踪训练】 1. 若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【解析】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 2. 若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于的不等式组，即可解得实数的值. 【解析】对于等式，有，解得且， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 3. 计算： ． 【答案】120 【分析】由幂的运算性质及即可求解. 【解析】解：， 故答案为：120. 考点07 指数式与对数式的互化 【例10】将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 【跟踪训练】 1．若logam＝2，b3＝m，则logm（ab）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】对数运算求值；指数式与对数式的互化．版权所有 【分析】先根据指数式和对数式互换得出logbm＝3；再根据对数的运算法则及换底公式可求解． 【解答】解：由b3＝m可得：logbm＝3， 则logm（ab）＝logma+logmb． 故选：C． 【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题． 2. 已知，则 ．（用m，n表示） 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用指数式和对数式的互换得到，，然后利用对数运算公式计算即可. 【详解】由题意得，，所以. 故答案为：. 3. 已知，，则 . 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 4. 已知，且，则 . 【答案】 【分析】将指数式化为对数式得，，然后利用换底公式和对数的运算律得出，即可计算出的值. 【详解】由题意得，，又由，得，即，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数与对数的互化，同时也考查了换底公式与对数运算律的应用，考查计算能力，属于中等题. 5. 若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将对数化为指数，结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，则，， 所以． 故答案为：. 考点08 对数运算法则 【例11】1. ． 【答案】 【解析】由题意可得. 2. . 【答案】 【分析】应用对数的运算性质化简求值即可. 【详解】 故答案为： 【跟踪训练】 1. ． 【答案】 【分析】利用对数运算性质求解． 【详解】 故答案为：． 2．化简（log62）2+log62•log63+2log63的值为（　　） A．﹣log62 B．﹣log63 C．log63 D．﹣1 【考点】对数运算求值．版权所有 【分析】由已知结合对数运算性质进行化简即可求解． 【解答】解：（log62）2+log62•log63+2log63 ＝（log62）2+log62•（1﹣log62）+2（1﹣log62）﹣2 ＝（log62）2+log62﹣（log62）2+2﹣2log62﹣2 ＝﹣log62． 故选：A． 【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题． 3.已知实数，满足，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】，，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值． 【解答】解：，，，， 故，两边同时除以，得， 故， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：． 4.计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用对数运算性质化简求解即可． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． 考点09 利用换底公式化简与求值 【例12】 . 【答案】 【解析】 【例13】已知正数，，满足，则下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题关键在于：利用对数运算和不等式性质对各选项进行推导与判断即可. 【详解】设，则，，， 因为，故选项A正确． 因为，，所以，即，故选项B不正确． 因为，故选项C正确． 因为，故选项D正确． 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【解答过程】由题意，. 故选：B． 2.已知，则 　 　． 【答案】2024． 【分析】利用对数的运算性质计算即得． 【解答】解：． 故答案为：2024． 3.已知，，则　 　． 【答案】． 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值． 【解答】解：因为，， 则． 故答案为：． 4.已知实数，满足，则 . 【答案】1 【分析】先利用指对互化得到m，n，再利用换底公式和运算法则求解. 【详解】解：因为实数，满足， 所以，则， 所以， 故答案为：1 考点10 利用对数解决实际问题 【例14】大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数．已知海拔为、两地的大气压强分别为、，若测得某地的大气压强为，则该地海拔为（    ）． A．2415 B．2053 C．2871 D．3025 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据已知及函数关系式列方程得、，再将其代入求即可. 【详解】由题意可得，两式相除得，两边取对得， 所以，则，可得， 由，则，可得， 两边取对得， 则m. 故选：C 【跟踪训练】 1.科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时散发出来的相对能量程度，则里氏震级度量r可定义为，则7.8级地震和6.9级地震的相对能量比值为 （结果精确到个位）. 【答案】22 【分析】利用已知条件结合对数的运算性质求出即可． 【解析】设级时能量为，级时能量为， 则， 两式相减得， 所以，所以. 故答案为：. 2. 里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）与观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（）比值的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（    ）（参考数据：） A．25 B．31.6 C．250 D．316 【答案】D 【分析】结合题意，利用对指数互化与指数运算进行计算即可得解． 【解析】由题意得，，， 从而，， 因此． 故选：D． 3. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的. 假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是. 一年后“进步者”是“退步者”的倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 【答案】B 【解析】 【分析】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 考点11 指数、对数方程与不等式 【例15】解下列关于的方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2）时，，时， 或，当时，． 【分析】（1）结合对数的运算性质即可求解； （2）结合指数的运算性质及指数的含义即可求解． 【解答】解：（1）令， 则可化为， 整理得，， 解得，或， 所以或； （2）， 所以， 所以或， 当，则 无解，此时； 当，则； 当，则 无解，此时； 综上，时，，时， 或，当时，． 【例16】关于的方程的解集为 ． 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.方程的解集是 【答案】 【分析】根据题意，先把转化为，且，然后再化简求值即可． 【详解】原方程可化为：，即，解得：． 2.对于方程组，其中、，则方程组的解为　 　 ． 【答案】或． 【分析】设，，则原不等式等价于，消去可得关于的方程，解方程即可． 【解答】解：设，，则，， 因为，所以， 所以方程组等价于， 即，所以，所以， 解得或， 当时，，此时，， 当时，，此时，． 故答案为：或． 3.方程的解为 　 　． 【答案】． 【分析】由题意可得，结合函数在上单调递增，可得，且，从而求出的值． 【解答】解：方程可化为， 又因为函数在上单调递增， 所以，且， 解得， 即方程的解为． 故答案为：． 4. 解下列方程或不等式. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1）由得， 所以，解得：， 所以原方程的解为： （2）由可得：， 因为在单调递增， 所以 即可得， 所以原不等式的解集为： 5. 方程的解是__________． 【答案】 【详解】 ，，由，得，换元. 由，可得出，则有， 解得或（舍去），，解得. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第3章幂、指数与对数单元复习（提高篇） 知识点一、根式 1.n次方根的定义 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且。 特殊结论： ①当为奇数时：正数的次方根为正数，负数的次方根为负数，的次方根记作。 ②当为偶数时：正数的次方根有两个，互为相反数。正的方根称为次算术根，负的方根，合并写作。 ③负数没有偶次方根。 ④的任何次方根都是，记作。 2.根式概念 式子叫做根式；称为根指数，称为被开方数。 （1）为奇数：，均有意义； （2）为偶数：仅当时，才有意义。 3.与的区别 ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点二、分数指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【注意】1．零指数漏条件： 需 ； 2．负指数忘限制： 需 ； 3．符号混淆：（－a） 与 不分； 4．负底数无意义。 知识点三、幂的基本不等式 定理 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过倒数 进行调整；无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过相反数 进行调整．将条件调整到底数大于 1 ，指数大于 0 ，进而应用幂的基本不等式． 知识点四、对数的概念 1.对数的定义 在 ，且 的条件下，唯一满足 的数 ，称为 以 为底的对数，并用符号 表示，而 称为真数 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数e(e的值约为2.71828…) 为底的对数 3.指数式与对数式互化 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ，如 不可转化为对数式． （2）两个式子是同一数量关系的两种不同表现形式，它们互为逆运算． 4、对数基础性质（） （1）负数和零没有对数，即真数； （2），； （3）对数恒等式：。 知识点五、对数运算性质 设，且，对数核心运算性质如下： ① ② ③（） ④（） 知识六、对数换底公式 换底公式： 重要推论： （倒数关系） 考点01 根式的概念及性质 【例1】下列说法： 的运算结果是 的次方根是 当为大于的偶数时，只有当时才有意义 当为大于的奇数时，对任意都有意义． 正确的个数为(    ) A. B. C. D. 【例2】若有意义，则的取值范围是（  ） A． B．∪ C． D． 【跟踪训练】 1．以下说法正确的是(　　) A．正数的n次方根是正数 B．负数的n次方根是负数 C．0的n次方根是0(n∈N*) D．a的n次方根是 2．若，则实数的取值范围是 ． 3．有意义，则实数x的取值范围为______． 考点02 根式的化简与计算 【例3】若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【跟踪训练】 1. 化简： ． 2. 下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3. 下列等式中，一定成立的是(    ) A. B. C. D. 考点03 根式与指数幂的相互转化 【例4】设，用有理数指数幂的形式表示 ． 【跟踪训练】 1.将化为有理数指数幂的形式为　 　． 2.将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)；(2)；(3)；(4). 考点04 指数幂的化简与计算 【例5】计算： . 【例6】已知实数，，化简： . 【跟踪训练】 1. 计算： . 2. 已知，化简 . 3. 已知，则关于的表达式 ． 考点05 由给定条件求指数式的求值 【例7】已知，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则 . 3.计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 考点06 对数的概念 【例8】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例9】，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【跟踪训练】 1. 若对数有意义，则的取值范围是 ． 2. 若，则的取值范围是 . 3. 计算： ． 考点07 指数式与对数式的互化 【例10】将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)；(3)；(4)． 【跟踪训练】 1．若logam＝2，b3＝m，则logm（ab）＝（　　） A． B． C． D． 2. 已知，则 ．（用m，n表示） 3. 已知，，则 . 4. 已知，且，则 . 5. 若，，则的值为 ． 考点08 对数运算法则 【例11】1. ． 2. . 【跟踪训练】 1. ． 2．化简（log62）2+log62•log63+2log63的值为（　　） A．﹣log62 B．﹣log63 C．log63 D．﹣1 3.已知实数，满足，则的最小值为 　　． 4.计算下列各式的值： (1)； (2)． 考点09 利用换底公式化简与求值 【例12】 . 【例13】已知正数，，满足，则下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，则 　 　． 3.已知，，则　 　． 4.已知实数，满足，则 . 考点10 利用对数解决实际问题 【例14】大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数．已知海拔为、两地的大气压强分别为、，若测得某地的大气压强为，则该地海拔为（    ）． A．2415 B．2053 C．2871 D．3025 【跟踪训练】 1.科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时散发出来的相对能量程度，则里氏震级度量r可定义为，则7.8级地震和6.9级地震的相对能量比值为 （结果精确到个位）. 2. 里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）与观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（）比值的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（    ）（参考数据：） A．25 B．31.6 C．250 D．316 3. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的. 假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是. 一年后“进步者”是“退步者”的倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 考点11 指数、对数方程与不等式 【例15】解下列关于的方程： （1）； （2）． 【例16】关于的方程的解集为 ． 【跟踪训练】 1.方程的解集是 2.对于方程组，其中、，则方程组的解为　 　 ． 3.方程的解为 　 　． 4. 解下列方程或不等式. （1）； （2）. 5. 方程的解是__________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $