第14讲：幂函数讲义【知识梳理+8个题型归纳+方法总结】-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第14讲：幂函数】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心定义 形如（为常数，）的函数称为幂函数，其中底数是自变量，指数是常数。 二、定义域与值域 1.定义域 当为正整数时，定义域为； 当为负整数时，定义域为； 当（为正整数）： 若为奇数，定义域为； 若为偶数，定义域为； 当为分数（为互质整数，）： 若为奇数，定义域为（时需排除）； 若为偶数，定义域为（时仍为）。 2.值域 当： 若定义域包含非负数，值域为（如）； 若定义域为，值域为（如）； 当： 若定义域为，值域为； 若定义域为，值域为（如）。 三、图像与性质 1.过定点 所有幂函数都过定点；当时，还过定点。 2.奇偶性 若为整数： 为偶数时，函数为偶函数； 为奇数时，函数为奇函数； 若（互质）： 若均为奇数，函数为奇函数； 若为偶数，函数非奇非偶； 若为偶数，为奇数，函数为偶函数。 3.单调性 当：在上单调递增； 当：在上单调递减。 4.图像分布 ：图像在第一象限从左下到右上，指数越大，图像在部分越靠近轴上方； ：图像在第一象限从左上到右下，呈反比例函数型，指数绝对值越大，图像在部分越靠近轴。 四、常考结论 1.比较大小技巧： 同底数不同指数：利用幂函数单调性（如，因递增）； 同指数不同底数：利用幂函数单调性（如，因在递增）； 不同底数不同指数：找中间量（如）过渡（如）。 2.图像特征结论： 幂函数在第一象限的图像必过，且越大，图像在段上升越快； 当时，函数为（），图像是除去点的水平直线。 3.特殊指数性质： ：是过原点的正比例函数，既是奇函数也是增函数； ：是偶函数，在递减，递增； ：是奇函数，在和上分别递减（不可说在定义域上递减）； ：定义域为，非奇非偶，单调递增。 4.易错结论： 幂函数与指数函数的区别：幂函数底数为自变量，指数函数指数为自变量（如是指数函数，是幂函数）； 当时，幂函数在处无定义，图像与轴无交点。 常见幂函数的图象和性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增 上减，上增 增 上减，上减 增 定点 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：由幂函数解析式求参数的值】 【解题策略】 一、核心依据 紧扣幂函数定义：形如（为常数，底数仅为，系数为1，无其他常数项或含参项）。 二、解题步骤 1.定定义条件：根据定义列方程/不等式，确保函数严格符合形式： 系数必须为1； 底数只能是自变量，不能含参数或常数项； 指数为常数（可含参数，需通过其他条件求解）。 2.用附加条件：结合题目给出的性质（奇偶性、单调性、过定点、定义域等）进一步缩小参数范围： 过定点：代入定点坐标列方程； 奇偶性：根据奇偶性的指数特征筛选参数； 单调性：利用“在递增，在递减”列条件； 定义域/值域：根据指数类型（整数、分数）的定义域要求限制参数。 3.验最终结果：将求得的参数代入原函数，验证是否满足所有条件（避免漏解或增解）。 三、常考条件处理技巧 1.系数含参：令系数等于1，直接求解参数（如，需满足，得）； 2.指数含参：结合奇偶性/单调性确定指数的取值： 若函数为偶函数，为偶数或分子为偶数、分母为奇数的分数； 若函数在递增，需； 3.过定点含参：代入定点（如恒过，若过其他点如，则，解得）。 四、易错点提醒 1.忽略幂函数系数为1的核心条件，误将指数函数当作幂函数； 2.未验证参数是否满足定义域要求（如分数指数中分母为偶数时，定义域需非负）； 3.仅根据单一条件求解，未验证是否符合所有附加性质（如仅满足奇偶性但不满足单调性） 例题精选 【例题1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段练习）已知幂函数的图像经过点和点则 . 【例题2】（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知幂函数在上单调递减．的值为 ． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·河南·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 【相似题2】（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知幂函数在上是减函数，则 ． 【题型2：与幂函数有关的定义域】 【解题策略】 一、核心原则 根据幂函数解析式中指数的类型（整数、分数、负数等），结合“分母不为0”“偶次根号下非负”“零指数幂底数不为0”的基本要求，确定自变量的取值范围。 二、解题步骤 1.化简指数形式：将指数化为最简形式（如分数化为既约分数，，）； 2.分类列限制条件： 若为正整数：无额外限制，定义域为； 若为负整数：需满足，定义域为； 若（，互质）： 当为奇数：定义域为（若，需补充）； 当为偶数：需满足（若，需补充）； 3.结合复合条件：若幂函数与其他函数复合（如含根号、分式、对数），需叠加对应限制条件，取所有条件的交集； 4.表示定义域：用集合或区间形式规范表达结果。 三、常考类型与结论 1.分数指数幂： （）：定义域为； （）：定义域为； （）：定义域为。 2.负分数指数幂： （）：定义域为； （）：定义域为。 3.复合函数定义域： 如：先将视为整体，按上述规则确定的取值范围，再解关于的不等式。 四、易错点提醒 1.忽略分数指数分母的奇偶性对定义域的影响（如误将的定义域写为）； 2.负指数幂忘记排除的情况； 3.复合函数中未将内层函数整体代入限制条件，直接对自变量列条件。 例题精选 【例题1】（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为 . 【例题2】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（20-21高一上·福建泉州·期中）已知函数，若a>0，则f（x）的定义域是 ；若f（x）在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . 【相似题2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 【题型3：与幂函数有关的值域问题】 【解题策略】 一、核心原则 幂函数的值域由定义域和指数的取值共同决定，需结合函数的单调性、奇偶性及图像特征分析： 定义域是值域的“前提”：不同定义域下，同一幂函数的值域可能不同（如在上的值域为，在上的值域为）； 指数是值域的“关键”：的符号（正/负）、类型（整数/分数）直接决定函数的单调性和最值特征。 二、解题步骤 1.确定定义域：先根据幂函数解析式（或复合条件）求出自变量的取值范围（参考“定义域解题思路”）； 2.分析指数的性质：明确的符号（或）、类型（整数/分数，分母奇偶性等），判断函数在定义域内的单调性、奇偶性； 3.结合单调性求值域： 若函数在定义域上单调递增（减），则值域为定义域端点对应的函数值构成的区间； 若定义域含对称区间（如、），可利用奇偶性简化分析（如偶函数只需分析正半轴，再对称到负半轴）； 4.规范表示结果：用区间或集合形式写出值域（注意端点是否可取）。 三、分类解析（基于指数的类型） 1.时的值域 核心特征：在上单调递增，图像过和。 若定义域为（如等，分母为奇数的正分数）： 函数在上单调递增，值域为（如，时，）。 若定义域为（如等，分母为偶数的正分数）： 函数在上单调递增，值域为（如，时，）。 若定义域为有限区间（如，）： 利用单调性，值域为（如，时，值域为）。 2.时的值域 核心特征：在上单调递减，图像不过原点，与坐标轴无交点。 若定义域为（如等，分母为偶数的负分数）： 函数在上单调递减，当时，；当时，，故值域为（如，时，）。 若定义域为（如等，分母为奇数的负整数/分数）： 函数为奇函数，在和上分别单调递减。在上值域为，在上值域为，故整体值域为（如，值域为）。 若定义域为有限区间（如，）： 利用单调性，值域为（如，时，值域为）。 3.特殊指数时的值域 解析式为（），定义域为，值域为。 四、复合函数的值域（如） 1.分层处理：先求内层函数的值域； 2.转化为基础幂函数：求幂函数在定义域上的值域，即原复合函数的值域。 示例：求的值域。 第一步：求内层的范围，且需满足（因指数为，分母为偶数且指数负，定义域要求），故； 第二步：求在上的值域，得。 五、易错点提醒 1.忽略定义域对值域的影响：同一幂函数，定义域不同值域可能完全不同（如在上的值域为，而非）； 2.复合函数内层值域错误：求时，未先确定内层的取值范围是否符合幂函数定义域（如中，需先保证，再求值域）； 3.奇偶性误用：奇函数在对称区间上的值域需合并两侧结果（如在上的值域为，而非单一区间）。 例题精选 【例题1】（21-22高二下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【例题2】【多选题】（22-23高二下·山东烟台·阶段练习）下列关于函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．的值域为 相似练习 【相似题1】【多选题】（23-24高一上·福建厦门·期中）某小组在研究性学习中发现：函数不全为0的图象可由反比例函数的图象通过平移得到．已知函数，则（    ） A．是增函数 B．的值域为 C．没有对称轴 D．的图象关于点对称 【相似题2】（21-22高一上·湖南·阶段练习）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 【题型4：与幂函数有关的单调性问题】 【解题策略】 一、核心原则 幂函数的单调性由指数的符号和定义域区间共同决定，核心规律： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 其他区间的单调性需结合函数奇偶性推导。 二、解题步骤 1.确定定义域：根据幂函数指数类型（整数、分数）求出定义域，明确分析的区间范围； 2.判断指数符号：确定或，初步锁定第一象限的单调性； 3.结合奇偶性拓展区间： 若函数为奇函数，在关于原点对称的区间上单调性一致（如在递增，则在也递增）； 若函数为偶函数，在关于原点对称的区间上单调性相反（如在递增，则在递减）； 4.验证区间连续性：若定义域为不连续区间（如），需分别说明各区间单调性，不可合并表述； 5.总结结论：规范写出函数在各定义域区间上的单调性。 三、分类解析 1.的单调性 定义域为（如）：函数在上单调递增； 定义域为（如）：函数在上单调递增，无其他区间； 定义域为有限区间（如，）：在该区间上单调递增，值域为端点函数值构成的区间。 2.的单调性 定义域为（如）：函数在上单调递减； 定义域为（如）：函数为奇函数，在和上分别单调递减，不可说在定义域上整体递减； 定义域为有限区间（如，）：在该区间上单调递减，值域为端点函数值反向构成的区间。 3.复合函数单调性（如） 遵循“同增异减”原则： 1.求内层函数的定义域和单调区间； 2.确定幂函数在对应的取值区间上的单调性； 3.若内外层函数在同一区间上单调性相同，则复合函数单调递增；反之则单调递减。 四、常考结论 1.幂函数在第一象限的单调性仅由符号决定，与其他因素无关； 2.当为正分数时，若分母为奇数，定义域为，整体单调递增；若分母为偶数，定义域为，仅在该区间单调递增； 3.当为负分数时，若分母为奇数，在和上分别单调递减；若分母为偶数，仅在上单调递减； 4.常考特殊幂函数单调性： ：上递增； ：递减，递增； ：和上分别递减； ：上递增。 五、易错点提醒 1.忽略定义域的不连续性，误将分段单调的函数表述为整体单调（如不可说在上递减）； 2.复合函数中未先确定内层函数的值域是否符合幂函数的定义域，直接判断单调性； 3.混淆指数符号对单调性的影响（如误将的幂函数判断为递增）； 4.偶函数的单调性判断错误，未注意对称区间上的单调性相反。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】【多选】（24-25高一上·江西景德镇·期中）关于函数的性质描述，正确的有（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【题型5：与幂函数有关的奇偶性问题】 【解题策略】 一、核心原则 1.奇偶性前提：函数定义域必须关于原点对称，否则非奇非偶； 2.幂函数的奇偶性由指数的类型（整数、最简分数）决定，结合定义域对称性判断。 二、解题步骤 1.求定义域：根据的类型确定定义域，判断是否关于原点对称（不对称则直接判定非奇非偶）； 2.化简指数：将化为最简形式（分数化为互质的，，）； 3.分类判断奇偶性：依据指数类型结合奇偶性定义（为偶函数，为奇函数）分析； 4.总结结论：明确函数是奇函数、偶函数或非奇非偶。 三、分类解析 1.为整数 若为偶数：定义域关于原点对称时，为偶函数（如，）； 若为奇数：定义域关于原点对称时，为奇函数（如，；，）； 特殊情况：，函数为（），定义域关于原点对称，为偶函数。 2.（互质，） 若为偶数：定义域为或，不关于原点对称，非奇非偶（如，）； 若为奇数： 为偶数：定义域关于原点对称时，为偶函数（如，）； 为奇数：定义域关于原点对称时，为奇函数（如，；，）。 四、常考结论 1.幂函数为奇函数的充要条件：是奇数或分子分母均为奇数的正/负分数，且定义域关于原点对称； 2.幂函数为偶函数的充要条件：是偶数或分子为偶数、分母为奇数的正/负分数，且定义域关于原点对称； 3.常见特殊幂函数奇偶性： ：奇函数；：偶函数；：奇函数； ：奇函数；：非奇非偶；：偶函数。 五、易错点提醒 1.未先判断定义域对称性，直接根据指数判断奇偶性； 2.分数指数未化为最简互质形式，导致判断错误（如将直接按分子偶数判断，忽略需化简为）； 3.误将为偶数的分数指数幂函数判定为偶函数（因定义域不关于原点对称，实际非奇非偶）； 4.忽略负分数指数幂的定义域限制（如，定义域为，非奇非偶） 例题精选 【例题1】【多选】（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D．是奇函数 【例题2】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数是幂函数，且是奇函数，则 ． 【题型6：由幂函数的单调性解不等式】 【解题策略】 一、核心原则 利用幂函数的单调性解不等式的关键是：将不等式转化为“同指数幂的大小比较”，再根据的符号确定单调性，进而去掉幂的形式，转化为基础不等式求解。 当时，在上单调递增，即：若，则； 当时，在上单调递减，即：若，则。 二、解题步骤 1.确定幂函数解析式：明确不等式中幂函数的指数，判断其符号（或），确定在上的单调性； 2.统一指数形式：将不等式化为（表示$>$、$<$、、）的形式，确保两边指数相同； 3.限定定义域：根据幂函数的定义域要求（如偶次根式底数非负、负指数底数不为0等），列出和的取值范围（即定义域限制条件）； 4.结合单调性去幂： 若，且在单调递增区间内，则； 若，且在单调递减区间内，则（为的反向符号，如$>$变$<$）； 5.处理对称区间：若幂函数为奇/偶函数，需结合奇偶性拓展到对称区间（如偶函数，需考虑和的正负对单调性的影响）； 6.求交集得解集：将定义域限制条件与去幂后的不等式解集取交集，即为最终解集。 三、分类解析 1.时的不等式（以为例） 核心：在上递增，需保证底数在定义域内，且直接传递不等号。 例1：解 步骤：，在上递增； 去幂：； 解集：。 例2：解（即） 步骤：，定义域为，在上递增； 定义域限制：； 去幂：； 交集：。 2.时的不等式（以为例） 核心：在上递减，去幂时需反向不等号，且底数不能为0。 例3：解（即） 步骤：，在和上分别递减，定义域； 分类讨论： 当时，去幂（递减性）：（不等号反向）； 当时，恒成立； 解集：。 例4：解（即） 步骤：，在上递减，定义域，且为偶函数； 定义域限制：； 去幂：（因递减性，不等号反向，且底数绝对值在）； 解绝对值不等式：且且； 解集：。 3.含奇偶性的不等式（以偶函数为例） 核心：偶函数在递减、递增，可转化为绝对值不等式。 例5：解 步骤：，是偶函数，在递增； 转化：； 解集：。 四、易错点提醒 1.忽略定义域限制：如解时，虽定义域为，但解时，必须先保证； 2.时不等号方向错误：如（），应转化为（因递减性，不等号反向），而非； 3.偶函数未考虑对称区间：如解时，漏解，仅得； 4.复合函数内层范围错误：如解时，未先确保且，直接去幂导致增解。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 【相似题2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 【题型7：与幂函数有关的比较大小问题】 【解题策略】 一、核心原则 利用幂函数的单调性（由指数符号决定）和特殊中间量（如），将不同形式的幂转化为可直接比较的类型，核心逻辑： 同指数（同幂函数）：用单调性比较底数； 同底数：用单调性比较指数； 不同底数不同指数：用中间量搭桥过渡。 二、解题步骤 1.判断类型：明确比较对象的底数、指数关系（同指数/同底数/均不同）； 2.确定工具： 同指数：锁定对应幂函数，判断其在对应区间的单调性； 同底数：若底数在幂函数定义域内，直接用该幂函数单调性； 均不同：选取中间量（优先），将两边分别与中间量比较； 3.转化比较：根据单调性或中间量得出大小关系； 4.验证合理性：检查是否满足幂函数定义域及单调性适用区间。 三、分类解析 1.同指数（与） 方法：利用的单调性，关键看符号和底数所在区间： 若，在递增，则； 若，在递减，则； 含负数：先利用奇偶性转化为正数（如是奇函数，），再比较。 2.同底数（与） 方法：视底数为常数，将式子看作幂函数在处的函数值，比较指数与： 若，且在处随递增（因时，越大越大），则； 若，同理，。 3.不同底数不同指数（与，且） 方法：优先用中间量或过渡： 若一方大于，另一方小于，直接得出大小； 若均大于或均小于，可尝试找其他中间量（如等），或转化为同指数形式（利用指数运算法则）。 四、常考结论 1.第一象限幂函数图像规律：时，指数越大，部分图像越靠上（即时，）；时，指数绝对值越大，部分图像越靠下（即时，）； 2.特殊值速判： 任何正数的正指数幂大于，负指数幂大于； 当底数在时，正指数幂小于，负指数幂大于； 当底数大于时，正指数幂大于，负指数幂小于。 五、易错点提醒 1.忽略底数的正负对幂的符号影响（如，但）； 2.误用单调性区间（如在和分别递减，不能直接比较与的单调性，需先看符号）； 3.中间量选择不当（如比较与，优先用过渡，而非复杂数值）； 4.未验证幂的存在性（如比较与，需先注意前者无意义）。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型8：幂函数的综合性质大题】 【解题策略】 一、核心解题框架 1.锁定解析式：通过幂函数定义（系数为1、底数为x）及已知条件（过定点、奇偶性、单调性等）确定指数（或含参解析式中的参数）； 2.分析基础性质：基于解析式，依次求解定义域→判断奇偶性→分析单调性（分区间讨论）； 3.解决综合问题：利用上述性质处理不等式、比较大小、求最值等衍生问题； 4.验证与总结：确保每一步结论符合定义域限制及题目条件，避免漏解或增解。 二、分步解析与关键技巧 步骤1：确定幂函数解析式（含参数时优先突破） 核心依据：幂函数严格形如（系数为1，底数仅为x），结合已知条件列方程/不等式求。 若已知过定点：代入得，解指数方程（如过，则）； 若已知奇偶性：根据奇偶性对的要求（如偶函数需为偶数或分子偶、分母奇的分数）缩小范围； 若已知单调性：利用“在递增，在递减”列条件； 含参数时需分类讨论（如为整数/分数，正/负），并验证是否满足所有条件。 步骤2：分析定义域与奇偶性 （1）定义域求解 根据的类型（整数/最简分数）确定： 整数：正整数为，负整数为； 分数（互质，）：奇为（时），偶为（时）。 （2）奇偶性判断 前提：定义域必须关于原点对称（否则直接判定非奇非偶）； 核心：根据的最简形式： 整数：偶则偶，奇则奇； 分数：偶→非奇非偶；奇时，偶则偶，奇则奇。 步骤3：分析单调性 基础规律：在递增；在递减； 拓展到对称区间： 奇函数：在与单调性一致（如在递增）； 偶函数：在与单调性相反（如在递减，递增）； 注意：定义域不连续时（如），需分别描述各区间单调性，不可合并。 步骤4：解决综合问题（不等式、比较大小等） （1）解幂函数不等式 原则：利用单调性“去幂”，结合定义域和奇偶性转化为基础不等式； 步骤： 1.确保不等式两边为同指数幂（如）； 2.限定定义域（如偶次根式底数非负、负指数底数非0）； 3.按符号和单调性去幂（不等号不变，反向）； 4.偶函数需转化为绝对值不等式（如）。 （2）比较大小 同指数：用对应幂函数单调性（如与，因且，故）； 不同指数/底数：用中间量（0或1）过渡（如与，前者，后者，再细化分析）。 （3）求值域或最值 结合定义域和单调性：单调区间端点即为最值点（如在上，最小值0，最大值4）； 奇函数/偶函数：对称区间上的值域可通过单侧区间推导（如在上的值域为）。 三、典型例题解析 例题：已知幂函数的图像过点，且在上单调递减。 （1）求的解析式； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）解不等式。 解析步骤： 1.求解析式： 代入点得：。 验证单调性：，在上递减，符合条件。故。 2.判断奇偶性： 定义域：（因，分母为偶数且负指数），不关于原点对称，故非奇非偶。 3.解不等式： 定义域限制：； 单调性：，在递减，故； 去幂得：； 交集：，即解集为。 四、易错点提醒 1.参数求解遗漏条件：如求时仅满足过定点，未验证单调性或奇偶性，导致增解； 2.定义域忽略：解不等式时未先限定定义域（如中未保证）； 3.单调性表述错误：将不连续区间的单调性合并（如不可说在上递减）； 4.奇偶性前提遗忘：未先判断定义域对称性，直接根据类型下结论。 通过“定解析式→析性质→解问题”的步骤，可系统拆解幂函数综合题，关键是每一步都紧扣定义和性质，确保逻辑严谨。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【例题2】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 【相似题2】（23-24高一上·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）若，则（    ） A．1 B．0 C．2 D． 二、多选题 3．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数，则（   ） A．当时，是奇函数 B．当时，定义域为R C．当时，值域为 D．当时，在R上单调递减 4．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 5．（25-26高三上·海南·阶段练习）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．的图象关于y轴对称 D．若，则 6．（24-25高一上·江西·期中）若函数在区间上的值域为，则称为函数的“保值区间”，下列说法正确的是（    ） A．函数存在保值区间 B．函数存在保值区间 C．若一次函数存在保值区间，则或 D．若函数存在保值区间，则实数的取值范围为 三、填空题 7．（22-23高一上·河南·期中）已知函数满足下列3个条件： ①函数的图象关于轴对称； ②函数在上单调递增； ③函数无最值． 请写出一个满足题意的函数的解析式： ． 8．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 9．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 10．（22-23高二下·江西·期中）已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是 ． 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ． 12．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若，则 ，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ． 13．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则 . 14．（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）若幂函数在上是增函数，则实数 ． 四、解答题 15．（22-23高一上·云南玉溪·阶段练习）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数. (1)求函数的解析式. (2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. 16．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的图象经过点，函数． (1)证明：，均为幂函数. (2)判断函数的奇偶性，说明你的理由. (3)若，求的最小值. 17．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 19．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 20．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第14讲：幂函数】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心定义 形如（为常数，）的函数称为幂函数，其中底数是自变量，指数是常数。 二、定义域与值域 1.定义域 当为正整数时，定义域为； 当为负整数时，定义域为； 当（为正整数）： 若为奇数，定义域为； 若为偶数，定义域为； 当为分数（为互质整数，）： 若为奇数，定义域为（时需排除）； 若为偶数，定义域为（时仍为）。 2.值域 当： 若定义域包含非负数，值域为（如）； 若定义域为，值域为（如）； 当： 若定义域为，值域为； 若定义域为，值域为（如）。 三、图像与性质 1.过定点 所有幂函数都过定点；当时，还过定点。 2.奇偶性 若为整数： 为偶数时，函数为偶函数； 为奇数时，函数为奇函数； 若（互质）： 若均为奇数，函数为奇函数； 若为偶数，函数非奇非偶； 若为偶数，为奇数，函数为偶函数。 3.单调性 当：在上单调递增； 当：在上单调递减。 4.图像分布 ：图像在第一象限从左下到右上，指数越大，图像在部分越靠近轴上方； ：图像在第一象限从左上到右下，呈反比例函数型，指数绝对值越大，图像在部分越靠近轴。 四、常考结论 1.比较大小技巧： 同底数不同指数：利用幂函数单调性（如，因递增）； 同指数不同底数：利用幂函数单调性（如，因在递增）； 不同底数不同指数：找中间量（如）过渡（如）。 2.图像特征结论： 幂函数在第一象限的图像必过，且越大，图像在段上升越快； 当时，函数为（），图像是除去点的水平直线。 3.特殊指数性质： ：是过原点的正比例函数，既是奇函数也是增函数； ：是偶函数，在递减，递增； ：是奇函数，在和上分别递减（不可说在定义域上递减）； ：定义域为，非奇非偶，单调递增。 4.易错结论： 幂函数与指数函数的区别：幂函数底数为自变量，指数函数指数为自变量（如是指数函数，是幂函数）； 当时，幂函数在处无定义，图像与轴无交点。 常见幂函数的图象和性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增 上减，上增 增 上减，上减 增 定点 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：由幂函数解析式求参数的值】 【解题策略】 一、核心依据 紧扣幂函数定义：形如（为常数，底数仅为，系数为1，无其他常数项或含参项）。 二、解题步骤 1.定定义条件：根据定义列方程/不等式，确保函数严格符合形式： 系数必须为1； 底数只能是自变量，不能含参数或常数项； 指数为常数（可含参数，需通过其他条件求解）。 2.用附加条件：结合题目给出的性质（奇偶性、单调性、过定点、定义域等）进一步缩小参数范围： 过定点：代入定点坐标列方程； 奇偶性：根据奇偶性的指数特征筛选参数； 单调性：利用“在递增，在递减”列条件； 定义域/值域：根据指数类型（整数、分数）的定义域要求限制参数。 3.验最终结果：将求得的参数代入原函数，验证是否满足所有条件（避免漏解或增解）。 三、常考条件处理技巧 1.系数含参：令系数等于1，直接求解参数（如，需满足，得）； 2.指数含参：结合奇偶性/单调性确定指数的取值： 若函数为偶函数，为偶数或分子为偶数、分母为奇数的分数； 若函数在递增，需； 3.过定点含参：代入定点（如恒过，若过其他点如，则，解得）。 四、易错点提醒 1.忽略幂函数系数为1的核心条件，误将指数函数当作幂函数； 2.未验证参数是否满足定义域要求（如分数指数中分母为偶数时，定义域需非负）； 3.仅根据单一条件求解，未验证是否符合所有附加性质（如仅满足奇偶性但不满足单调性） 例题精选 【例题1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段练习）已知幂函数的图像经过点和点则 . 【答案】3 【分析】依次代入点和点即可求解. 【详解】， ， . 故答案为：3 【例题2】（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知幂函数在上单调递减．的值为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递减， 当时，在上单调递增，不满足题意， 故． 故答案为： 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·河南·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【分析】由函数是幂函数解得或，再检验即可. 【详解】由题意，解得或， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域不为，不符合题意， 综上，. 故选：C. 【相似题2】（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知幂函数在上是减函数，则 ． 【答案】/ 【分析】根据幂函数的性质求出，进而求解. 【详解】由题，可得，解得， ，则. 故答案为：. 【题型2：与幂函数有关的定义域】 【解题策略】 一、核心原则 根据幂函数解析式中指数的类型（整数、分数、负数等），结合“分母不为0”“偶次根号下非负”“零指数幂底数不为0”的基本要求，确定自变量的取值范围。 二、解题步骤 1.化简指数形式：将指数化为最简形式（如分数化为既约分数，，）； 2.分类列限制条件： 若为正整数：无额外限制，定义域为； 若为负整数：需满足，定义域为； 若（，互质）： 当为奇数：定义域为（若，需补充）； 当为偶数：需满足（若，需补充）； 3.结合复合条件：若幂函数与其他函数复合（如含根号、分式、对数），需叠加对应限制条件，取所有条件的交集； 4.表示定义域：用集合或区间形式规范表达结果。 三、常考类型与结论 1.分数指数幂： （）：定义域为； （）：定义域为； （）：定义域为。 2.负分数指数幂： （）：定义域为； （）：定义域为。 3.复合函数定义域： 如：先将视为整体，按上述规则确定的取值范围，再解关于的不等式。 四、易错点提醒 1.忽略分数指数分母的奇偶性对定义域的影响（如误将的定义域写为）； 2.负指数幂忘记排除的情况； 3.复合函数中未将内层函数整体代入限制条件，直接对自变量列条件。 例题精选 【例题1】（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 【例题2】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 相似练习 【相似题1】（20-21高一上·福建泉州·期中）已知函数，若a>0，则f（x）的定义域是 ；若f（x）在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】（1）由当a>0且a≠1，再由负数不能开偶次方根，有3-ax≥0求解. （2）先看分母，当a-1>0，即a>1时，要使“f（x）在上是减函数”，则分子是减函数，且成立：当a-1<0，即a<1时，要“使f（x）在上是减函数”则分子是增函数，且-a>0成立，两种情况的结果最后取并集. 【详解】解：（1）当a>0且a≠1时，由3-ax≥0得， 即此时函数f（x）的定义域是； （2）当a-1>0，即a>1时，要使f（x）在上是减函数，则需3-a×1≥0，此时， 当a-1<0，即a<1时，要使f（x）在上是减函数，则需-a>0，此时a<0， 综上所述，所求实数a的取值范围是. 故答案为：（1）；（2） 【相似题2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 【题型3：与幂函数有关的值域问题】 【解题策略】 一、核心原则 幂函数的值域由定义域和指数的取值共同决定，需结合函数的单调性、奇偶性及图像特征分析： 定义域是值域的“前提”：不同定义域下，同一幂函数的值域可能不同（如在上的值域为，在上的值域为）； 指数是值域的“关键”：的符号（正/负）、类型（整数/分数）直接决定函数的单调性和最值特征。 二、解题步骤 1.确定定义域：先根据幂函数解析式（或复合条件）求出自变量的取值范围（参考“定义域解题思路”）； 2.分析指数的性质：明确的符号（或）、类型（整数/分数，分母奇偶性等），判断函数在定义域内的单调性、奇偶性； 3.结合单调性求值域： 若函数在定义域上单调递增（减），则值域为定义域端点对应的函数值构成的区间； 若定义域含对称区间（如、），可利用奇偶性简化分析（如偶函数只需分析正半轴，再对称到负半轴）； 4.规范表示结果：用区间或集合形式写出值域（注意端点是否可取）。 三、分类解析（基于指数的类型） 1.时的值域 核心特征：在上单调递增，图像过和。 若定义域为（如等，分母为奇数的正分数）： 函数在上单调递增，值域为（如，时，）。 若定义域为（如等，分母为偶数的正分数）： 函数在上单调递增，值域为（如，时，）。 若定义域为有限区间（如，）： 利用单调性，值域为（如，时，值域为）。 2.时的值域 核心特征：在上单调递减，图像不过原点，与坐标轴无交点。 若定义域为（如等，分母为偶数的负分数）： 函数在上单调递减，当时，；当时，，故值域为（如，时，）。 若定义域为（如等，分母为奇数的负整数/分数）： 函数为奇函数，在和上分别单调递减。在上值域为，在上值域为，故整体值域为（如，值域为）。 若定义域为有限区间（如，）： 利用单调性，值域为（如，时，值域为）。 3.特殊指数时的值域 解析式为（），定义域为，值域为。 四、复合函数的值域（如） 1.分层处理：先求内层函数的值域； 2.转化为基础幂函数：求幂函数在定义域上的值域，即原复合函数的值域。 示例：求的值域。 第一步：求内层的范围，且需满足（因指数为，分母为偶数且指数负，定义域要求），故； 第二步：求在上的值域，得。 五、易错点提醒 1.忽略定义域对值域的影响：同一幂函数，定义域不同值域可能完全不同（如在上的值域为，而非）； 2.复合函数内层值域错误：求时，未先确定内层的取值范围是否符合幂函数定义域（如中，需先保证，再求值域）； 3.奇偶性误用：奇函数在对称区间上的值域需合并两侧结果（如在上的值域为，而非单一区间）。 例题精选 【例题1】（21-22高二下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题目条件代入即可求得，从而求出，即可求出的解析式. （2）由（1）可知，，由二次函数求值域即可求出函数在上的值域. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 【例题2】【多选题】（22-23高二下·山东烟台·阶段练习）下列关于函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A；去绝对值分离常数可得函数的单调性即可判断B；根据单调性与奇偶性可判断C、D. 【详解】由题意,为偶函数，选项A正确． 当时，为单调递减函数，选项B正确． 当时，为单调递减函数，则， 因为函数为偶函数，当时，，选项D正确，C不正确． 故选：ABD． 相似练习 【相似题1】【多选题】（23-24高一上·福建厦门·期中）某小组在研究性学习中发现：函数不全为0的图象可由反比例函数的图象通过平移得到．已知函数，则（    ） A．是增函数 B．的值域为 C．没有对称轴 D．的图象关于点对称 【答案】BD 【分析】通过常数分离法找到可平移的反比例函数，结合反比例函数知识可得． 【详解】， 所以的图象可由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 的定义域是，它在和上是增函数，值域是，直线和都是它的对称轴，关于原点对称， 经过平移可知，在和上是增函数，在定义域内不是增函数，值域是，直线和都是它的对称轴，的图象关于点对称， 故选：BD． 【相似题2】（21-22高一上·湖南·阶段练习）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，进而根据换元法求解即可； （2）结合函数的单调性得，进而将问题转化为对任意，不等式恒成立，再求解恒成立问题即可. 【详解】（1）解：令，则， 则， 故． （2）解：由（1）可得． 因为函数和函数均在上单调递增， 所以在上单调递增． 故． 对任意，，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 则解得或． 故的取值范围是． 【题型4：与幂函数有关的单调性问题】 【解题策略】 一、核心原则 幂函数的单调性由指数的符号和定义域区间共同决定，核心规律： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 其他区间的单调性需结合函数奇偶性推导。 二、解题步骤 1.确定定义域：根据幂函数指数类型（整数、分数）求出定义域，明确分析的区间范围； 2.判断指数符号：确定或，初步锁定第一象限的单调性； 3.结合奇偶性拓展区间： 若函数为奇函数，在关于原点对称的区间上单调性一致（如在递增，则在也递增）； 若函数为偶函数，在关于原点对称的区间上单调性相反（如在递增，则在递减）； 4.验证区间连续性：若定义域为不连续区间（如），需分别说明各区间单调性，不可合并表述； 5.总结结论：规范写出函数在各定义域区间上的单调性。 三、分类解析 1.的单调性 定义域为（如）：函数在上单调递增； 定义域为（如）：函数在上单调递增，无其他区间； 定义域为有限区间（如，）：在该区间上单调递增，值域为端点函数值构成的区间。 2.的单调性 定义域为（如）：函数在上单调递减； 定义域为（如）：函数为奇函数，在和上分别单调递减，不可说在定义域上整体递减； 定义域为有限区间（如，）：在该区间上单调递减，值域为端点函数值反向构成的区间。 3.复合函数单调性（如） 遵循“同增异减”原则： 1.求内层函数的定义域和单调区间； 2.确定幂函数在对应的取值区间上的单调性； 3.若内外层函数在同一区间上单调性相同，则复合函数单调递增；反之则单调递减。 四、常考结论 1.幂函数在第一象限的单调性仅由符号决定，与其他因素无关； 2.当为正分数时，若分母为奇数，定义域为，整体单调递增；若分母为偶数，定义域为，仅在该区间单调递增； 3.当为负分数时，若分母为奇数，在和上分别单调递减；若分母为偶数，仅在上单调递减； 4.常考特殊幂函数单调性： ：上递增； ：递减，递增； ：和上分别递减； ：上递增。 五、易错点提醒 1.忽略定义域的不连续性，误将分段单调的函数表述为整体单调（如不可说在上递减）； 2.复合函数中未先确定内层函数的值域是否符合幂函数的定义域，直接判断单调性； 3.混淆指数符号对单调性的影响（如误将的幂函数判断为递增）； 4.偶函数的单调性判断错误，未注意对称区间上的单调性相反。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相关幂函数及复合函数性质得，，在上单调递增，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增， 所以，即. 故选：D. 【例题2】（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数， ∵函数区间上单调递减， ∴，解得， ∴a的取值范围是. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 【相似题2】【多选】（24-25高一上·江西景德镇·期中）关于函数的性质描述，正确的有（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BC 【分析】对AB：根据函数奇偶性的定义，直接判断即可；对C：根据幂函数单调性和复合函数单调性，直接判断即可；对D：根据函数奇偶性和单调性，直接求函数值域即可. 【详解】对AB：若使得函数有意义，则，解得，定义域关于原点对称； 当时，，又， 故为偶函数，A错误，B正确； 对C：当时，，令， 又在单调递减，，在单调递增， 根据复合函数单调性，在单调递减，故在单调递增，故C正确； 对D：根据C中所求，在单调递增，又， 故在的值域为，又为偶函数，故的值域为，故D错误. 故选：BC. 【题型5：与幂函数有关的奇偶性问题】 【解题策略】 一、核心原则 1.奇偶性前提：函数定义域必须关于原点对称，否则非奇非偶； 2.幂函数的奇偶性由指数的类型（整数、最简分数）决定，结合定义域对称性判断。 二、解题步骤 1.求定义域：根据的类型确定定义域，判断是否关于原点对称（不对称则直接判定非奇非偶）； 2.化简指数：将化为最简形式（分数化为互质的，，）； 3.分类判断奇偶性：依据指数类型结合奇偶性定义（为偶函数，为奇函数）分析； 4.总结结论：明确函数是奇函数、偶函数或非奇非偶。 三、分类解析 1.为整数 若为偶数：定义域关于原点对称时，为偶函数（如，）； 若为奇数：定义域关于原点对称时，为奇函数（如，；，）； 特殊情况：，函数为（），定义域关于原点对称，为偶函数。 2.（互质，） 若为偶数：定义域为或，不关于原点对称，非奇非偶（如，）； 若为奇数： 为偶数：定义域关于原点对称时，为偶函数（如，）； 为奇数：定义域关于原点对称时，为奇函数（如，；，）。 四、常考结论 1.幂函数为奇函数的充要条件：是奇数或分子分母均为奇数的正/负分数，且定义域关于原点对称； 2.幂函数为偶函数的充要条件：是偶数或分子为偶数、分母为奇数的正/负分数，且定义域关于原点对称； 3.常见特殊幂函数奇偶性： ：奇函数；：偶函数；：奇函数； ：奇函数；：非奇非偶；：偶函数。 五、易错点提醒 1.未先判断定义域对称性，直接根据指数判断奇偶性； 2.分数指数未化为最简互质形式，导致判断错误（如将直接按分子偶数判断，忽略需化简为）； 3.误将为偶数的分数指数幂函数判定为偶函数（因定义域不关于原点对称，实际非奇非偶）； 4.忽略负分数指数幂的定义域限制（如，定义域为，非奇非偶） 例题精选 【例题1】【多选】（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】由为幂函数，有，可判断BC选项；由的值得函数解析式判断AD选项. 【详解】函数是幂函数，则有， 所以，解得或，B选项正确，C选项错误； 或，则有是奇函数，，AD选项正确. 故选：ABD. 【例题2】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质确定出值作答. 【详解】举例，即，其定义域为R， 又，所以为奇函数，其图象关于原点对称， 且在上单调递增，所以满足题意. 故答案为：3.（答案不唯一） 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 【相似题2】（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数是幂函数，且是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由幂函数由求参数值，再由幂函数为奇函数确定参数m即可. 【详解】由题设，可得，则或， 当，则为奇函数，满足题设； 当，则为偶函数，不满足题设. 所以. 故答案为： 【题型6：由幂函数的单调性解不等式】 【解题策略】 一、核心原则 利用幂函数的单调性解不等式的关键是：将不等式转化为“同指数幂的大小比较”，再根据的符号确定单调性，进而去掉幂的形式，转化为基础不等式求解。 当时，在上单调递增，即：若，则； 当时，在上单调递减，即：若，则。 二、解题步骤 1.确定幂函数解析式：明确不等式中幂函数的指数，判断其符号（或），确定在上的单调性； 2.统一指数形式：将不等式化为（表示$>$、$<$、、）的形式，确保两边指数相同； 3.限定定义域：根据幂函数的定义域要求（如偶次根式底数非负、负指数底数不为0等），列出和的取值范围（即定义域限制条件）； 4.结合单调性去幂： 若，且在单调递增区间内，则； 若，且在单调递减区间内，则（为的反向符号，如$>$变$<$）； 5.处理对称区间：若幂函数为奇/偶函数，需结合奇偶性拓展到对称区间（如偶函数，需考虑和的正负对单调性的影响）； 6.求交集得解集：将定义域限制条件与去幂后的不等式解集取交集，即为最终解集。 三、分类解析 1.时的不等式（以为例） 核心：在上递增，需保证底数在定义域内，且直接传递不等号。 例1：解 步骤：，在上递增； 去幂：； 解集：。 例2：解（即） 步骤：，定义域为，在上递增； 定义域限制：； 去幂：； 交集：。 2.时的不等式（以为例） 核心：在上递减，去幂时需反向不等号，且底数不能为0。 例3：解（即） 步骤：，在和上分别递减，定义域； 分类讨论： 当时，去幂（递减性）：（不等号反向）； 当时，恒成立； 解集：。 例4：解（即） 步骤：，在上递减，定义域，且为偶函数； 定义域限制：； 去幂：（因递减性，不等号反向，且底数绝对值在）； 解绝对值不等式：且且； 解集：。 3.含奇偶性的不等式（以偶函数为例） 核心：偶函数在递减、递增，可转化为绝对值不等式。 例5：解 步骤：，是偶函数，在递增； 转化：； 解集：。 四、易错点提醒 1.忽略定义域限制：如解时，虽定义域为，但解时，必须先保证； 2.时不等号方向错误：如（），应转化为（因递减性，不等号反向），而非； 3.偶函数未考虑对称区间：如解时，漏解，仅得； 4.复合函数内层范围错误：如解时，未先确保且，直接去幂导致增解。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 【例题2】（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性求出，则等价于，令，再根据幂函数的单调性和奇偶性列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得， 因为，所以或2或3， 当时，；当时，；当时，， 因为幂函数为偶函数，故， 因此等价于， 因为幂函数满足，所以为偶函数， 又由幂指数得在上单调递减，则在单调递增， 所以可转化为， 又是正数，所以解得或， 故的取值范围是. 【相似题2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性以及奇偶性可求解，即可根据的单调性求解. 【详解】由于幂函数在上单调递减， ，解得． 或． 当时，为偶函数，满足条件， 当时，为奇函数，不满足条件， 则，不等式，即 在上为增函数，，解得． 故答案为： 【题型7：与幂函数有关的比较大小问题】 【解题策略】 一、核心原则 利用幂函数的单调性（由指数符号决定）和特殊中间量（如），将不同形式的幂转化为可直接比较的类型，核心逻辑： 同指数（同幂函数）：用单调性比较底数； 同底数：用单调性比较指数； 不同底数不同指数：用中间量搭桥过渡。 二、解题步骤 1.判断类型：明确比较对象的底数、指数关系（同指数/同底数/均不同）； 2.确定工具： 同指数：锁定对应幂函数，判断其在对应区间的单调性； 同底数：若底数在幂函数定义域内，直接用该幂函数单调性； 均不同：选取中间量（优先），将两边分别与中间量比较； 3.转化比较：根据单调性或中间量得出大小关系； 4.验证合理性：检查是否满足幂函数定义域及单调性适用区间。 三、分类解析 1.同指数（与） 方法：利用的单调性，关键看符号和底数所在区间： 若，在递增，则； 若，在递减，则； 含负数：先利用奇偶性转化为正数（如是奇函数，），再比较。 2.同底数（与） 方法：视底数为常数，将式子看作幂函数在处的函数值，比较指数与： 若，且在处随递增（因时，越大越大），则； 若，同理，。 3.不同底数不同指数（与，且） 方法：优先用中间量或过渡： 若一方大于，另一方小于，直接得出大小； 若均大于或均小于，可尝试找其他中间量（如等），或转化为同指数形式（利用指数运算法则）。 四、常考结论 1.第一象限幂函数图像规律：时，指数越大，部分图像越靠上（即时，）；时，指数绝对值越大，部分图像越靠下（即时，）； 2.特殊值速判： 任何正数的正指数幂大于，负指数幂大于； 当底数在时，正指数幂小于，负指数幂大于； 当底数大于时，正指数幂大于，负指数幂小于。 五、易错点提醒 1.忽略底数的正负对幂的符号影响（如，但）； 2.误用单调性区间（如在和分别递减，不能直接比较与的单调性，需先看符号）； 3.中间量选择不当（如比较与，优先用过渡，而非复杂数值）； 4.未验证幂的存在性（如比较与，需先注意前者无意义）。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 【例题2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 【相似题2】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 【题型8：幂函数的综合性质大题】 【解题策略】 一、核心解题框架 1.锁定解析式：通过幂函数定义（系数为1、底数为x）及已知条件（过定点、奇偶性、单调性等）确定指数（或含参解析式中的参数）； 2.分析基础性质：基于解析式，依次求解定义域→判断奇偶性→分析单调性（分区间讨论）； 3.解决综合问题：利用上述性质处理不等式、比较大小、求最值等衍生问题； 4.验证与总结：确保每一步结论符合定义域限制及题目条件，避免漏解或增解。 二、分步解析与关键技巧 步骤1：确定幂函数解析式（含参数时优先突破） 核心依据：幂函数严格形如（系数为1，底数仅为x），结合已知条件列方程/不等式求。 若已知过定点：代入得，解指数方程（如过，则）； 若已知奇偶性：根据奇偶性对的要求（如偶函数需为偶数或分子偶、分母奇的分数）缩小范围； 若已知单调性：利用“在递增，在递减”列条件； 含参数时需分类讨论（如为整数/分数，正/负），并验证是否满足所有条件。 步骤2：分析定义域与奇偶性 （1）定义域求解 根据的类型（整数/最简分数）确定： 整数：正整数为，负整数为； 分数（互质，）：奇为（时），偶为（时）。 （2）奇偶性判断 前提：定义域必须关于原点对称（否则直接判定非奇非偶）； 核心：根据的最简形式： 整数：偶则偶，奇则奇； 分数：偶→非奇非偶；奇时，偶则偶，奇则奇。 步骤3：分析单调性 基础规律：在递增；在递减； 拓展到对称区间： 奇函数：在与单调性一致（如在递增）； 偶函数：在与单调性相反（如在递减，递增）； 注意：定义域不连续时（如），需分别描述各区间单调性，不可合并。 步骤4：解决综合问题（不等式、比较大小等） （1）解幂函数不等式 原则：利用单调性“去幂”，结合定义域和奇偶性转化为基础不等式； 步骤： 1.确保不等式两边为同指数幂（如）； 2.限定定义域（如偶次根式底数非负、负指数底数非0）； 3.按符号和单调性去幂（不等号不变，反向）； 4.偶函数需转化为绝对值不等式（如）。 （2）比较大小 同指数：用对应幂函数单调性（如与，因且，故）； 不同指数/底数：用中间量（0或1）过渡（如与，前者，后者，再细化分析）。 （3）求值域或最值 结合定义域和单调性：单调区间端点即为最值点（如在上，最小值0，最大值4）； 奇函数/偶函数：对称区间上的值域可通过单侧区间推导（如在上的值域为）。 三、典型例题解析 例题：已知幂函数的图像过点，且在上单调递减。 （1）求的解析式； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）解不等式。 解析步骤： 1.求解析式： 代入点得：。 验证单调性：，在上递减，符合条件。故。 2.判断奇偶性： 定义域：（因，分母为偶数且负指数），不关于原点对称，故非奇非偶。 3.解不等式： 定义域限制：； 单调性：，在递减，故； 去幂得：； 交集：，即解集为。 四、易错点提醒 1.参数求解遗漏条件：如求时仅满足过定点，未验证单调性或奇偶性，导致增解； 2.定义域忽略：解不等式时未先限定定义域（如中未保证）； 3.单调性表述错误：将不连续区间的单调性合并（如不可说在上递减）； 4.奇偶性前提遗忘：未先判断定义域对称性，直接根据类型下结论。 通过“定解析式→析性质→解问题”的步骤，可系统拆解幂函数综合题，关键是每一步都紧扣定义和性质，确保逻辑严谨。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)① ；② 【分析】（1）由幂函数定义求解； （2）取值-做差-变形-判断符号-结论； （3）①由单调性求解；②分离参数，利用基本不等式求最值得范围. 【详解】（1）由题意得，解得，则． （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数． （3）①由（2）知，在上是减函数． 因为，则， 解得，所以实数的取值范围． ②因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 令． 当且仅当，即时等号成立， 则，所以，则实数的取值范围是． 【例题2】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由幂函数的性质即可列方程求解； （2）由题意得，由对勾函数性质可判断在上单调递增，再结合定义法证明即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 因为在上单调递增，所以，所以，则. （2）由（1）可知，则，故在上单调递增. 证明如下： 任取，，且， 则. 因为，所以. 因为，，所以，所以， 所以，即， 所以，即在上单调递增. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用幂函数的定义即可求解参数，再利用幂函数的性质，进行检验参数值即可得解； （2）利用分类讨论思想判断二次函数在闭区间上的最小值的取值情况，即可求解参数； （3）利用函数的单调性由定义域和值域对应关系组成方程组，再利用消元思想，得到的函数关系，最后通过研究定义域，即可求出的值域. 【详解】（1）∵是幂函数，∴得，解得：或， 当时，，不满足， 当时，，满足， ∴故得，函数的解析式为； （2）由函数，即，令， ∵，∴，记，其对称轴在， ①当，即时，则， 解得：，此时满足，保留； ②当时，即， 则，解得：，此时不满足，舍去； ③当时，即时， 则，解得：，此时不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为0； （3）由函数在定义域内为单调递减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， 由两式相减可得： ， 所以有，代入可得： ，令， 因为，， 即，， 所以，即，则， 而．故得实数的取值范围. 【相似题2】（23-24高一上·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由条件得到求解即可； （2）由条件得到的值域为值域的子集.再分类讨论求解； 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 解得：， 所以. （2）， 当时，， 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集. ， ①当时，， 则； ②当时，， 则； ③当时，，不符合题意. 综上，或. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）若，则（    ） A．1 B．0 C．2 D． 二、多选题 3．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数，则（   ） A．当时，是奇函数 B．当时，定义域为R C．当时，值域为 D．当时，在R上单调递减 4．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 5．（25-26高三上·海南·阶段练习）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．的图象关于y轴对称 D．若，则 6．（24-25高一上·江西·期中）若函数在区间上的值域为，则称为函数的“保值区间”，下列说法正确的是（    ） A．函数存在保值区间 B．函数存在保值区间 C．若一次函数存在保值区间，则或 D．若函数存在保值区间，则实数的取值范围为 三、填空题 7．（22-23高一上·河南·期中）已知函数满足下列3个条件： ①函数的图象关于轴对称； ②函数在上单调递增； ③函数无最值． 请写出一个满足题意的函数的解析式： ． 8．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 9．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 10．（22-23高二下·江西·期中）已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是 ． 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ． 12．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若，则 ，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ． 13．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则 . 14．（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）若幂函数在上是增函数，则实数 ． 四、解答题 15．（22-23高一上·云南玉溪·阶段练习）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数. (1)求函数的解析式. (2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. 16．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的图象经过点，函数． (1)证明：，均为幂函数. (2)判断函数的奇偶性，说明你的理由. (3)若，求的最小值. 17．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 19．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 20．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B ABC ABD BCD ACD 1．B 【分析】先对每个数变形，再利用幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，， 所以，又因为， 且幂函数在上单调递增.所以. 故选：B 2．B 【分析】由，构造函数，可得，再结合的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】构造函数， 由， 可得， ，且定义域为， 是奇函数， ， 又易得为上的单调递增函数，, ， . 故选：B 3．ABC 【分析】根据相关幂函数的性质及奇偶性定义判断各项的正误即可. 【详解】A：由，其定义域为且，函数为奇函数，对； B：，显然定义域为R，对； C：，易知其值域为，对； D：，根据相关幂函数的性质知函数在R上单调递增，错. 故选：ABC 4．ABD 【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D. 【详解】由是幂函数知，所以或-2， 所以或，所以，，AB正确； 当时，，是奇函数，C错误； 对于，当时，， 对于，当时，不成立，故当时，，D正确 故选：ABD. 5．BCD 【分析】根据幂函数的定义求得或，进而有或，结合幂函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由是幂函数，则， 所以或，故或，A错， 所以或，B对， 显然、都是偶函数，C对， 由，而，故，D对. 故选：BCD 6．ACD 【分析】利用二次函数、反比例函数、一次函数等幂函数的图象与性质结合新定义一一判定选项即可. 【详解】对于A，函数在区间上的值域为，故函数存在保值区间，A正确； 对于B，当时，；当时，， 故函数不存在保值区间，B错误； 对于C，当时，若函数存在保值区间，则有，解得； 当时，若函数存在保值区间，则有 解得，所以或，C正确； 对于D，函数在上单调递增， 若函数存在保值区间，则有 即关于的方程有两个不相等的实数根， 令，则，所以， 结合二次函数的图象可知，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：所谓“保值区间”可通过判定该函数的单调性，分类讨论代入定义域端点建立方程组计算求解即可. 7．（答案不唯一） 【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解. 【详解】由的图象关于轴对称知为偶函数，在上单调递增，无最值， 根据幂函数的性质可知满足题意的一个函数为. 故答案为：（答案不唯一） 8． （区间开闭均可） 【分析】根据偶函数的性质求出的值，再求出函数的定义域，由复合函数的单调性求出的单调递增区间. 【详解】因为函数是偶函数， 则，即，所以恒成立， 所以； 所以，则定义域为，又在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：；（区间开闭均可） 9． 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 10． 【分析】由奇函数的定义判断出为奇函数，结合时单调递减得出在上单调递减，结合已知求解即可． 【详解】当时，； 当时，，； 当时，，所以对任意的， 所以函数为奇函数， 又当时，单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以不等式， 解得， 由已知对任意的有恒成立， 所以,即， 故答案为：． 11．1或3或5 【分析】由题意，令求出k的范围，再根据，以及幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，由此求出k的值． 【详解】由题意，令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当k＝4时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 综上，k的值为1或3或5． 故答案为：1或3或5． 12． 【分析】代入数据计算，平方得到，再计算得到答案，设，得到 ，变换得到，计算最值得到答案. 【详解】，，故， . ，即， 设，，在上单调递减，在上单调递增， 故，， 故，故， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，故. 故答案为：；. 13．4 【分析】根据函数是幂函数得出参数，再代入计算求出函数值. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以或， 又因为函数的定义域为， 当时，定义域为不符合题意； 当时，符合题意； 所以，则。 故答案为：4. 14． 【分析】结合幂函数的定义以及单调性求值. 【详解】是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上递增，符合题意； 当时，，在上递减，不符合题意； 综上所述，. 故答案为： 15．(1) (2)是， 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可； （2）首先得到的解析式，即可判断函数的单调性，再根据题意得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为幂函数在内是单调增函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为． （2）由（1）知，，函数的定义域为， 又，所以函数的值域为， 因为在上单调递增， 若存在，使得在上的值域为， 则函数在上单调递增， 有，解得或，或， 显然，所以，， 即存在，使得在上的值域为， 故函数为“佳”函数. “佳”函数的区间为； 16．(1)证明见解析； (2)偶函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由函数的图象经过点求出，然后根据幂函数的概念判断； （2）根据偶函数的定义判断； （3）由条件得，然后利用基本不等式求的最小值． 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 所以16，解得， 所以，所以均为幂函数. （2），由解得或， 所以的定义域为，定义域关于原点对称. 因为， 所以为偶函数. （3）因为，所以，且， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17．(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，解出的值，再根据幂函数的单调性检验，即可得到答案； （2）分离变量，再结合基本不等式可得的范围； （3）代入，化简，因式分解，按两根的大小关系分类讨论，即得答案. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 18．(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 19．B 【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性即可求得函数的最值. 【详解】因为，所以定义域为， 由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，. 故选：B. 20．B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $