重难点12 对数八种常考题型归纳 讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点12 对数八种常考题型归纳 题型一：对数概念辨析与求值 【例1】若，则的取值范围是 . 【跟踪训练】 1. 对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4). 题型二：指数式与对数式的互化 【例2】将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)；(3)；(4)． 【跟踪训练】 1. 将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)；(3)；(4)． 2. 化为对数式是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 4．若实数、满足、，则 ． 5. 已知，，则的值为 . 题型三：对数运算 【例3】计算： (1) (2)； 【跟踪训练】 1. 计算： (1) (2). 2.计算： (1)； (2)； (3)． 3．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四：换底公式的应用 【例4】已知，，则________．（用，表示）． 【跟踪训练】 1. 已知，，则（　　） A． B． C． D． 2. 若，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3. 若，则______． 4. 设，，，，，证明：，. 5. （1）求值：； （2）已知，，请用、表示. 6. 计算：. 题型五：对数方程的求解 【例5】已知，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．若，则 . 2.若，则 ． 3.若，则 . 4. 方程的解 ． 5. 方程解的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 题型六：已知对数式求值 【例6】求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【例7】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【例8】(1)已知，求的值。 （2）已知，且，求的值。 【跟踪训练】 1．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 2．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3.若，则_____． 4. 已知（）且，则实数的值为_______________. 题型七：利用对数解决实际问题 【例9】我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 【跟踪训练】 1. 星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 2. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 3. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 4. 人类目前暂时无法准确预报地震，但地震学家通过研究，已经对地震有一定的了解，如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．由此可以知道，里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是里氏5.8级地震发生时所释放出的能量的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 题型八：对数有关的综合题 【例10】已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【跟踪训练】 1. 已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 2.（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点12 对数八种常考题型归纳 题型一：对数概念辨析与求值 【例1】若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于的不等式组，即可解得实数的值. 【详解】对于等式，有，解得且， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1. 对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 2．使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 3．在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选:D. 4．求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】利用对数的运算性质，换底公式，对数恒等式等性质计算即可. 【详解】（1）. （2）根据换底公式，. （3）根据换底公式，. （4）根据对数恒等式，. 题型二：指数式与对数式的互化 【例2】将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【跟踪训练】 1. 将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)；(3)；(4)． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 2. 化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化直接求解即可. 【详解】因为，所以. 3．已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 4．若实数、满足、，则 ． 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的关系，将转化为指数式，再根据指数运算公式求值. 【详解】由，得， 所以， 故答案为：. 5. 已知，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】将对数式化成指数式，利用指数幂的运算计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为:##. 题型三：对数运算 【例3】计算： (1) (2)； 【解析】（1）由题意得 . （2）由题意得 ． 【跟踪训练】 1. 计算： (1) (2). 【答案】(1) (2)0 【详解】（1） . （2）. 2.计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . 3．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】根据对数以及指数运算法则计算即可得到结果； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 题型四：换底公式的应用 【例4】已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 【跟踪训练】 1. 已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数的运算法则和换底公式即可求解. 【解答过程】由，得， 所以， 又， 所以 . 故选：D． 2. 若，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解题思路】首先根据换底公式得到，从而得到或，得或，再结合，即可得到答案. 【解答过程】因为，所以， ，解得或， 得或， 当时，由，得， 得，由于，得，则，得， 当时，由，得， 得，由于，得，则，得， 综上知，． 故选：C. 3. 若，则______． 【答案】 【解析】由换底公式可得， 整理可得，解得，故，符合题意. 故答案为：. 4. 设，，，，，证明：，. 【解析】设 ， 因为，所以, 由对数的定义得到， 所以； 因为，所以，即 5. （1）求值：； （2）已知，，请用、表示. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用对数、指数的运算性质计算可得出所求代数式的值； （2）由已知条件得出，结合换底公式、对数的运算性质可将用、表示. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以，则， 又因为，. 6. 计算：. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及性质计算得解. 【详解】. 题型五：对数方程的求解 【例5】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得．因为， 所以， 得． 【跟踪训练】 1．若，则 . 【答案】 【解析】利用对数为0，真数为1，底数的对数为1，即可得答案； 【详解】，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查对数的概念及运算，属于基础题. 2.若，则 ． 【答案】 【分析】利用对数运算法则直接计算即可. 【详解】，则，故. 故答案为：. 3.若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 4. 方程的解 ． 【答案】4 【分析】由对数的运算有,即，求解方程，再根据对数的真数大于,即可得出的解. 【详解】因为 所以 即, 解得或, 又因为对数的真数大于0,即, 所以. 故答案为：4 5. 方程解的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 【答案】A 【分析】根据对数符号有意义得到且，再根据真数相等解方程可得答案. 【详解】根据对数符号有意义可得，即且， 再根据题意可得，即， 解得或， 因为和均不满足且， 所以原方程解的个数为0. 故选：A. 【点睛】本题考查了对数底数和真数的范围，考查了求方程的解的个数，属于基础题. 题型六：已知对数式求值 【例6】求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解. （2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【解答过程】（1）由，，得， 所以. （2）由，得， 所以. 【例7】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【解题思路】先利用指对互化，再利用换底公式化简. 【解答过程】（1）由已知，， 所以. （2）因为，所以，解得， ，解得， 所以. 【例8】(1)已知，求的值。 （2）已知，且，求的值。 【答案】（1）/ （2）/ 【详解】（1）由，可得，， 则. （2）因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. .【跟踪训练】 1．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】由指数函数运算性质可得，由对数函数的性质可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 2．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 由得， 因为实数，为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 此时的最小值为6. 3.若，则_____． 【答案】0 【分析】首先进行指对互化，再由换底公式得出、、的值，代入求解即可. 【详解】设， 则， 所以， ， 所以. 故答案为：. 4. 已知（）且，则实数的值为_______________. 【答案】 【详解】由题可知， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，即. 题型七：利用对数解决实际问题 【例9】我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍，根据题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为，则，即， 则, 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. 【跟踪训练】 1. 星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 【答案】D 【解题思路】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为，根据定义得到即可． 【解答过程】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为， 则 ， ． 故选：D． 2. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【答案】D 【解题思路】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解. 【解答过程】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， 所以， 故选：D. 3. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【解题思路】利用公式及一杯的热水降至大约用时1分钟求得，再将数据代入得方程，利用对数的运算律计算即可得到答案. 【解答过程】由题意知，因为一杯的热水降至大约用时1分钟， ∴，即； 设水温从降至，需要的时间为t分钟， ∴，即， ∴， ∴ ∴水温从降至，大约还需要10分钟． 故选：B． 4. 人类目前暂时无法准确预报地震，但地震学家通过研究，已经对地震有一定的了解，如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．由此可以知道，里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是里氏5.8级地震发生时所释放出的能量的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【解题思路】利用已知关系式结合已知条件建立对数关系，再利用对数运算法则计算求解． 【解答过程】设里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是，里氏5.8级地震发生时所释放出的能量是， ， ， ，解得，故D正确． 故选：D． 题型八：对数有关的综合题 【例10】已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】解：（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 【跟踪训练】 1. 已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 2.（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 【答案】（1）①； ②； （2）①；② 【分析】（1）①直接写出换底公式；②利用对数换底公式证明； （2）①利用换底公式求值；②由已知得，再利用换底公式和对数运算性质求值. 【详解】（1）①对数的换底公式：； ②略 （2）①； ②因为，则， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $