微专题 对数运算性质与结论的理解与应用（含七种题型）讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

【原卷版】 微专题 对数运算性质与结论的理解与应用 对数是指数的逆运算，【沪教版】高中数学中对数的核心运算性质建立在同底对数的基础之上；主要性质：性质，，， 使用前提为： ，解题极易忽略真数大于零这一隐含条件，会造成增根错误； 换底公式是最重要的结论，它打通了不同底数对数之间的转换通道，衍生出倒数关系；② 等推论； 应用层面，对数性质主要用于化简求值、解对数方程、比较对数大小。化简时可实现积、商、幂与对数和差倍的互化；解对数方程最后一定要检验真数；比较大小时常借助换底统一底数，结合对数函数单调性判断；学习时不能死记公式，要从指数与对数互化的根源理解性质，避免出现：这类典型误区。 1、对数的概念 在 ， ，且 的条件下，唯一满足数，称为以为底的对数，并用符号 表示，而称为真数； 2、对数的性质 当（，且）时； ①零和负数没有对数；②；③；④；⑤； 3、常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…) 为底的对数 4、对数与指数的关系 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ，如 不可转化为对数式． （2）两个式子是同一数量关系的两种不同表现形式，它们互为逆运算； 5、对数的运算性质 当，（，且，，）时； 性质1：当 时， ； 推广：； 性质2：当 时， ； 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ； 6、对数的换底公式 当（，且，，）时； 【说明】 （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义； （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算及证明； （3）换底公式在实际应用中应当根据已知的条件选择适当的“底”，一般换成以10或e为底的对数； 7、对数运算的一些结论 ① ；② ；③ ； 题型1、依据对数运算性质与结论辨析 例1、下列结论中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、现有下列计算式：①；②；③； ④；⑤；其中正确的序号是 题型2、利用对数运算性质与结论求值 例3、求值： ________　. 例4、计算：__________． 题型3、对数运算性质及其相关结论的推导与证明 例5、（1）当，且，时，证明：。 （2）当，且，时，证明：。 例6、（1）当，且，，时，证明：。 （2）当，且，，，且时，证明：。 题型4、利用对数运算性质证明相关对数结论 例7、已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， （1）求证：； （2）设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 例8、数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限;没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数幂运算是两类重要的运算； （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法；请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么; （2）请你运用上述对数运算性质计算的值； （3）因为，所以的位数为4(一个自然数数位的个数，叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数，(注)。 题型5、利用对数运算性质与结论根据条件表示对数 例9、若，则 ． 例10、已知，，则a，b表示 ． 题型6、利用对数运算性质与结论解决实际问题 例11、科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时散发出来的相对能量程度，则里氏震级度量r可定义为，则7.8级地震和6.9级地震的相对能量比值为 （结果精确到个位）. 例12、“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是 天（四舍五入精确）（参考数据：）. 题型7、对数运算性质与结论与其他数学知识的交汇 例13、对不同正数a、b，若，则的范围是__________． 例14、甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________. 1、对数的运算性质 当，且，，时 ①正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；； 推广：； ②两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；； ③正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；； 2、对数的换底公式 3、换底公式的常用推论 （1）; （2）；（3）;（4）； 【说明】换底公式的作用：1、换底公式是进行对数运算的重要基础，利用它可以将对数运算转化为我们所需要的对数来计算；2、对数的运算性质都是在同底之下成立的，对数的换底公式是把异底的对数化成同底的对数，在不同底的对数之间建立了一座桥梁； 1．下列计算恒成立的是（ ） A． B． C． D． 2．若，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．8 D．4 3．设和是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．设且且，若，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．16 5．已知，则的值为 ． 6．计算： . 7．已知，，则用a、b表示 . 8．已知，，试用、表示 ． 9．若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 10．已知a，b为方程的两个根，则______． 11．（1）设，求的值； （2）若是方程的两个实根，求的值。 12．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． （1）试利用对数运算性质计算的值； （2）已知为正数，若，求的值； （3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【解析版】 微专题 对数运算性质与结论的理解与应用 对数是指数的逆运算，【沪教版】高中数学中对数的核心运算性质建立在同底对数的基础之上；主要性质：性质，，， 使用前提为： ，解题极易忽略真数大于零这一隐含条件，会造成增根错误； 换底公式是最重要的结论，它打通了不同底数对数之间的转换通道，衍生出倒数关系；② 等推论； 应用层面，对数性质主要用于化简求值、解对数方程、比较对数大小。化简时可实现积、商、幂与对数和差倍的互化；解对数方程最后一定要检验真数；比较大小时常借助换底统一底数，结合对数函数单调性判断；学习时不能死记公式，要从指数与对数互化的根源理解性质，避免出现：这类典型误区。 1、对数的概念 在 ， ，且 的条件下，唯一满足数，称为以为底的对数，并用符号 表示，而称为真数； 2、对数的性质 当（，且）时； ①零和负数没有对数；②；③；④；⑤； 3、常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…) 为底的对数 4、对数与指数的关系 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ，如 不可转化为对数式． （2）两个式子是同一数量关系的两种不同表现形式，它们互为逆运算； 5、对数的运算性质 当，（，且，，）时； 性质1：当 时， ； 推广：； 性质2：当 时， ； 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ； 6、对数的换底公式 当（，且，，）时； 【说明】 （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义； （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算及证明； （3）换底公式在实际应用中应当根据已知的条件选择适当的“底”，一般换成以10或e为底的对数； 7、对数运算的一些结论 ① ；② ；③ ； 题型1、依据对数运算性质与结论辨析 例1、下列结论中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 【提示】利用对数的运算性质，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果； 【答案】C； 【解析】对于选项A，由对数的运算性质知，所以选项A正确； 对于选项B，因为，所以选项B正确； 对于选项C，因为，所以选项C错误； 对于选项D，因为，所以选项D正确； 故选：C； 【说明】本题考查对对数运算性质的理解与正确应用； 例2、现有下列计算式：①；②；③； ④；⑤；其中正确的序号是 【提示】由对数的运算性质与换底公式依次判断即可； 【答案】④⑤； 【解析】①右边， 当时，左边无意义，右边，故不成立； ②当时，，故不成立； ③，故不成立； ④由对数的运算性质，，式子成立； ⑤由换底公式，，故式子成立. 其中正确的是④⑤； 【说明】本题考查对对数运算性质与对数换底公式的理解与正确应用； 题型2、利用对数运算性质与结论求值 例3、求值： ________　. 【提示】根据对数换底公式化简求解即可； 【答案】3； 【解析】； 【说明】本题考查了对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算； 例4、计算：__________． 【提示】分别计算有理数乘方、对数式、含对数的指数式，再合并结果即可； 【答案】； 【解析】根据乘方运算法则，， 利用对数运算性质可得： ， 再化简指数：， 然后根据对数恒等式可得： ， 所以； 【说明】本题综合考查了对数的运算、指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算；对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数； 题型3、对数运算性质及其相关结论的推导与证明 例5、（1）当，且，时，证明：。 【提示】注意：指数、对数灵活互化； 【证明】不妨设：，，则，； 方法1、由，在，即， 再由对数的定义，得，等式成立； 方法2、由，结合对数的性质（），得， 则，即， 则，即，等式成立； 【说明】本题说明遇对数问题中的求值与证明等式问题，指数、对数灵活互化与利用指数、对数定义中等式是关键。 （2）当，且，时，证明：。 【提示】注意：除法是乘法的逆运算； 【证明】方法1、由，据“”， 得，移项整理，得，等式成立；； 又不妨设：，，则，； 方法1、由，在，即， 再由对数的定义，得，等式成立； 方法3、由，结合对数的性质（），得， 则，即， 则，即，等式成立； 【说明】本题证明可以利用“除法是乘法的逆运算”，模仿例1证之；也可以用“代换”结合例1结论简洁证明。 例6、（1）当，且，，时，证明：。 【提示】注意：指数幂运算性质； 【证明】方法1、不妨设，则，且， 由对数的定义，得，即，所以，等式成立； 方法2、若时，等式显然成立； 若时，设，则，根据指数运算法则有: ，即， 所以，所以，所以，等式成立； 【说明】本题再次说明，在有关对数问题的求解中，灵活运用指数、对数互化与理解对数的定义，非常关键。 （2）当，且，，，且时，证明：。 【提示】注意：指数幂运算性质； 【证明】方法1、不妨设，则，变形得， 所以，所以，所以；所以，等式成立； 方法2、令，有，则由对数定义得：，则， 即，所以；所以，等式成立； 【说明】本题说明，在有关对数换底公式的推导中，灵活运用指数、对数互化与对数运算法则，则可简捷证之。 题型4、利用对数运算性质证明相关对数结论 例7、已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， （1）求证：； （2）设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【提示】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明； 【解析】（1）证明:，得证； （2）推广：，证明如下： 证明：． 【说明】本题考查了运用换底公式证明对数恒等式； 例8、数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限;没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数幂运算是两类重要的运算； （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法；请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么; （2）请你运用上述对数运算性质计算的值； （3）因为，所以的位数为4(一个自然数数位的个数，叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数，(注)。 【提示】（1）根据指数与对数的转换证明即可； （2）根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可； （3）分析的值的范围再判断位数即可； 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的位数为6677； 【详解】（1）方法一：设 所以，所以 所以，得证； 方法二；设 所以 所以 所以 所以 所以； 方法三：因为 所以 所以得证； （2）方法一： . 方法二： ； （3）方法一：设， 所以 所以 所以 所以 因为 所以 所以的位数为6677； 方法二：设 所以 所以 所以 所以 因为， 所以有6677位数，即的位数为6677； 【说明】本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题，需要取对数分析对数值进行分析； 题型5、利用对数运算性质与结论根据条件表示对数 例9、若，则 ． 【提示】利用对数的运算性质和换底公式求解； 【答案】； 【解析】因为，，，所以，， 所以， ， 故答案为：； 【说明】本题综合考查了利用对数的运算性质与换底公式，用已知对数表示所求对数； 例10、已知，，则a，b表示 ． 【提示】先根据指数式与对数式的互化求出，再根据对数的运算性质计算即可； 【答案】； 【解析】由，得， 则. 故答案为：； 【说明】本题综合考查了结合指数式与对数式的互化，利用对数的运算性质与换底公式，用已知对数表示所求对数； 题型6、利用对数运算性质与结论解决实际问题 例11、科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时散发出来的相对能量程度，则里氏震级度量r可定义为，则7.8级地震和6.9级地震的相对能量比值为 （结果精确到个位）. 【提示】利用已知条件结合对数的运算性质求出即可； 【答案】22； 【解析】设级时能量为，级时能量为， 则， 两式相减得， 所以，所以. 故答案为：； 【说明】本题考查了对数运算性质在实际生活中的应用； 例12、“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是 天（四舍五入精确）（参考数据：）. 【提示】根据已知条件，推得，再结合对数公式，即可求解； 【答案】； 【解析】设经过天“进步”的是“退步”的1000倍， 则，即， 故. 故答案为：； 【说明】在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立对数数学，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解；对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：（1）建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；（2）建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算； 题型7、对数运算性质与结论与其他数学知识的交汇 例13、对不同正数a、b，若，则的范围是__________． 【提示】根据题意可得，再由基本不等式求范围即可； 【答案】； 【解析】对不同正数a、b，， 则，即， 所以，， 所以，，当且仅当时取等， 则的范围是， 故答案为：； 【说明】本题综合考查了定理：平均值不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用； 例14、甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________. 【提示】将原对数方程变形为关于的一元二次方程，利用韦达定理计算得出的值，即可求解； 【答案】12； 【解析】原方程可变形为：可看作关于的一元二次方程， 因为，甲写错了，得到根为及，所以，； 又因为，乙写错了常数，得到根为及，； 所以，原方程为，即， 所以，或，所以，或. 所以这个方程两个真实根的和为. 故答案为：12. 【说明】本题综合考查了对数的运算、运用换底公式化简计算、一元二次方程的解集及其根与系数的关系； 1、对数的运算性质 当，且，，时 ①正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；； 推广：； ②两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；； ③正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；； 2、对数的换底公式 3、换底公式的常用推论 （1）; （2）；（3）;（4）； 【说明】换底公式的作用：1、换底公式是进行对数运算的重要基础，利用它可以将对数运算转化为我们所需要的对数来计算；2、对数的运算性质都是在同底之下成立的，对数的换底公式是把异底的对数化成同底的对数，在不同底的对数之间建立了一座桥梁； 1．下列计算恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】因为，所以A不对； 因为，所以B不对； 因为，所以C不对； 因为，D正确. 故选D. 2．若，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．8 D．4 【答案】D； 【解析】因为，， 所以，，即，， 所以，，当且仅当，即时等号成立， 故选：D 3．设和是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【提示】利用换底公式先求解出、的结果，然后利用换底公式将变形为，根据、的结果求解出的结果，则的值可求； 【答案】D； 【解析】因为，所以 ，所以，所以， 又因为， 且，所以， 所以， 故选：D. 4．设且且，若，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】B； 【解析】由换底公式可得，，， 原式化为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 5．已知，则的值为 ． 【答案】100； 【解析】，故，解得. 故答案为：100 6．计算： . 【答案】； 【解析】原式；故答案为：； 7．已知，，则用a、b表示 . 【答案】； 【解析】， 故答案为：． 8．已知，，试用、表示 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 则. 故答案为： 9．若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值8. 故答案为：8 10．已知a，b为方程的两个根，则______． 【答案】； 【解析】原方程变形为． 令，则，解得或 ， 当时，可得；当时，可得， 即方程的两根分别为、，故． 11．（1）设，求的值； （2）若是方程的两个实根，求的值。 【答案】（1）1；（2）12 【解析】（1）因为，所以. （2）是方程的两个实根， 所以，， 令，原方程为， 所以，是方程的两个根， 所以，， 所以. 12．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． （1）试利用对数运算性质计算的值； （2）已知为正数，若，求的值； （3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【提示】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果； 【答案】（1）；（2）；（3）610； 【解析】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 第20页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $