3.4 圆周角 题型专练 ·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版（2024）九年级上册 3.4 圆周角 题型专练 【题型1】圆周角定理 【典例】如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠BOD＝80°，则∠ABC的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 【举一反三1】如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为__________ ． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 __________． 【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，求∠ACD的度数． 【举一反三4】如图，AB是⊙O的弦，C点是优弧AB的中点，连CO，BC． （1）求证CO⊥AB； （2）若，AB＝8，求⊙O的半径长． 【题型2】圆周角定理、圆心角定理及垂径定理等的综合 【典例】如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A（6，0）和B（0，2），点P是圆上一个动点，点C（0，﹣3），则PC长度的最小值为（　　） A．4﹣ B．8﹣ C．2﹣ D．5﹣ 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，，D是BC边上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是 __________． 【举一反三3】如图，已知半圆O，OB＝，点D在半圆上，AD＝10，在取点C，连接AC，作DH⊥AC于点H，连接BH，则BH的最小值等于 __________． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝4，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于D，E． （1）求的值； （2）求CE的最大值． 【举一反三5】如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）． （1）求∠BAC的度数； （2）求△ABC面积的最大值． 【题型3】同弧（等弧）所对的圆周角相等 【典例】如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB，则∠BAC＝（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【举一反三1】下列说法正确的有 （      ）  ①平分弦的直径垂直于弦；②半圆所对的圆周角是直角；③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且=，∠A＝40°，则∠CEB的度数为（　　） A．50° B．80° C．70° D．90° 【举一反三3】如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 __________ ． 【举一反三4】如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是__________；的长度是__________． 【举一反三5】如图，在☉O中，AB是直径，CD⊥AB，∠ACD＝60°，OD＝2，求DC的长. 【题型4】直径所对的圆周角是直角及逆定理 【典例】如图．BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（　　）度． A．42 B．48 C．46 D．50 【举一反三1】若一个直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形外接圆的半径是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三2】如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且OD∥BC，若∠BAC＝α，则∠BAD的度数可以表示为（　　） A．2α B．90°﹣α C． D． 【举一反三3】如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝50°，AD＝CD，则∠DAC＝__________°． 【举一反三4】如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是__________；的长度是__________． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作☉O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF. (1)求证：BC·DF＝BF·CE； (2)若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝，AF＝4，求CF的长和☉O的直径. 苏科版（2024）九年级上册 3.4 圆周角 题型专练（参考答案） 【题型1】圆周角定理 【典例】如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠BOD＝80°，则∠ABC的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 【答案】B 【解析】解：∵∠BOD＝80°，∴∠BCD＝∠BOD＝40°， ∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝40°． 【举一反三1】如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为__________ ． 【答案】30° 【解析】∵OA=AB，OA=OB， ∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠C=∠AOB=30°． 故答案为30°． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 __________． 【答案】80°或140° 【解析】如图1中，当BE＝BC时， ∵BE＝BC，∠EBC＝40°，∴∠BCE＝∠BEC＝×（180°﹣40°）＝70°， ∵弧BD＝弧BD，∴∠BOD＝2∠BCE＝140°； 如图2中，当EB＝EC时，点E与O重合， ∵BE＝EC，∴∠EBC＝∠BCD＝40°，∴∠BOD＝2∠BCD＝80°. 【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，求∠ACD的度数． 【答案】解：连接OD， ∵∠DAB＝66°，∴∠DOB＝2∠DAB＝2×66°＝132°， ∴∠AOD＝180°﹣132°＝48°，∴∠ACD＝∠AOD＝24°． 【举一反三4】如图，AB是⊙O的弦，C点是优弧AB的中点，连CO，BC． （1）求证CO⊥AB； （2）若，AB＝8，求⊙O的半径长． 【答案】解：（1）证明：延长CO交AB于点D，交⊙O于点E，连接BE， ∵C点是优弧AB的中点，∴弧AC＝弧BC，∴∠ABC＝∠E． ∵CE是⊙O直径，∴∠CBE＝90°，∴∠C+∠E＝90°，∴∠C+∠ABC＝90°， ∴∠BDC＝90°，∴CO⊥AB. （2）连接BO，设OC＝OB＝x， ∵CO⊥AB，∴． 在Rt△CDB中，，∴OD＝CD﹣OC＝8﹣x． 在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得：x＝5， 故⊙O的半径长5． 【题型2】圆周角定理、圆心角定理及垂径定理等的综合 【典例】如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A（6，0）和B（0，2），点P是圆上一个动点，点C（0，﹣3），则PC长度的最小值为（　　） A．4﹣ B．8﹣ C．2﹣ D．5﹣ 【答案】D 【解析】连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT． ∵A（6，0），B（0，2），∴OA＝6，OB＝2，∴AB＝＝2， ∴TB＝AT＝PT＝，∴T（3，1）， ∵C（0，﹣3），∴CT＝＝5，∴PC≥CT﹣PT＝5﹣， ∴PC的最小值为5﹣． 故选：D． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，，D是BC边上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过A点作AH⊥BC于H点，连接OE、OF，如图， 在Rt△ABH中， ∵∠ABC＝60°，∴BH＝AB＝×6＝3， ∴AH＝BH＝3×＝9， ∵∠EOF＝2∠EAF＝2×45°＝90°， 而OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴EF＝OE， ∵OE＝AD，∴EF＝AD， ∵当AD＝AH时，AD的长度最小，即AD长度的最小值为9， ∴线段EF长度的最小值为． 故选：A． 【举一反三2】如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是 __________． 【答案】4 【解析】连接OB、OC，如图， ∵∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°， 而OB＝OC，∴△OBC为等腰直角三角形，∴OC＝BC＝8×＝4， ∵点D，E分别是BC，AB的中点，∴DE为△BAC的中位线，∴DE＝AC， 当AC最长时，即AC为⊙O的直径，DE最长，∴DE长的最大值为4． 【举一反三3】如图，已知半圆O，OB＝，点D在半圆上，AD＝10，在取点C，连接AC，作DH⊥AC于点H，连接BH，则BH的最小值等于 __________． 【解析】8 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝4，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于D，E． （1）求的值； （2）求CE的最大值． 【答案】解：（1）连接AE． ∵AB是直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵∠C＝45°，∴∠C＝∠CAE＝45°，∴AE＝EC，∴＝1． （2）∵AE＝EC，AE≤AB，∴当点E与B重合时，AE的值最大，AE的最大值为4， ∴CE的最大值为4． 【举一反三5】如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）． （1）求∠BAC的度数； （2）求△ABC面积的最大值． 【答案】解：（1）连接OB、OC，如图， ∵OB＝OC＝2，BC＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°， ∴∠BAC＝∠BOC＝30°. （2）作OH⊥BC于H，交⊙O于D，连接DB、DC，则点D为优弧BC的中点， ∵△OBC为等边三角形，∴OH＝BC＝， ∴S△BDC＝×2×（2+）＝2+， ∵点A为弦BC所对优弧的中点时，点A到BC的距离最大，此时△ABC面积的最大， ∴△ABC面积的最大值为2+． 【题型3】同弧（等弧）所对的圆周角相等 【典例】如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB，则∠BAC＝（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【解析】如图，连接OC． ∵CD＝OB，OB＝OC＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形， ∴∠BDC＝60°，∴∠BAC＝∠BDC＝60°. 故选：C． 【举一反三1】下列说法正确的有 （      ）  ①平分弦的直径垂直于弦；②半圆所对的圆周角是直角；③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误； ②半圆所对的圆周角是直角，②正确； ③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，③正确； ④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，④正确. 【举一反三2】如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且=，∠A＝40°，则∠CEB的度数为（　　） A．50° B．80° C．70° D．90° 【答案】B 【解析】解：∵=， ∴∠A＝∠C＝40°， ∴∠CEB＝∠A+∠C＝80°， 故选：B． 【举一反三3】如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 __________ ． 【答案】35 【解析】是所对的圆周角， 是的直径， ， 在中，， 故答案为: ． 【举一反三4】如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是__________；的长度是__________． 【答案】； 【举一反三5】如图，在☉O中，AB是直径，CD⊥AB，∠ACD＝60°，OD＝2，求DC的长. 【答案】解　如图所示，设AB，CD交于点E， ∵AB是直径，CD⊥AB， ∴CE＝DE，\overset{̑}{BD} \mathrm{＝} \overset{̑}{CB}，∠DEO＝∠AEC＝90°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠A＝30°， ∴∠DOB＝2∠A＝60°， ∴∠ODE＝30°， ∴OE＝OD＝1， ∴由勾股定理，得DE＝， ∴CD＝2DE＝2. 【题型4】直径所对的圆周角是直角及逆定理 【典例】如图．BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（　　）度． A．42 B．48 C．46 D．50 【答案】A 【解析】解：连接AB，如图所示： ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°， ∵∠B＝∠ADC＝48°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝42°， 故选：A． 【举一反三1】若一个直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形外接圆的半径是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】解：∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴直角三角形的斜边即为该直角三角形外接圆的直径， ∴斜边长为10的直角三角形外接圆半径为5， 故选C． 【举一反三2】如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且OD∥BC，若∠BAC＝α，则∠BAD的度数可以表示为（　　） A．2α B．90°﹣α C． D． 【答案】C 【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝α，∴∠B＝90°﹣α， ∵OD∥CB，∴∠BOD＝∠B＝90°﹣α， ∵OD＝OA，∴∠OAB＝∠ODA， ∵∠BOD＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，∴∠BAD＝×（90°﹣α）＝45°﹣α． 故选：C． 【举一反三3】如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝50°，AD＝CD，则∠DAC＝__________°． 【答案】20 【解析】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝50°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°． ∴∠ADC＝180°﹣40°＝140°． ∵AD＝DC． ∴∠DAC＝∠DCA＝＝20°． 故答案为：20． 【举一反三4】如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是__________；的长度是__________． 【答案】； 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作☉O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF. (1)求证：BC·DF＝BF·CE； (2)若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝，AF＝4，求CF的长和☉O的直径. 【答案】(1)证明　∵BD是☉O的直径，∴∠BFD＝90°. ∵∠C＝90°，∴∠BFD＝∠C. ∵\overset{̑}{BF} \mathrm{＝} \overset{̑}{BF}，∴∠BEC＝∠BDF， ∴△BCE∽△BFD， ∴，∴BC·DF＝BF·CE. (2)解　在Rt△BFC中，tan∠BFC＝， ∴BC＝CF. ∵∠ABC＋∠A＝90°，∠BFC＋∠CBF＝90°，∠A＝∠CBF， ∴∠ABC＝∠BFC， ∴tan∠ABC＝tan∠BFC＝， ∴， ∴AC＝BC＝5CF， ∴4＋CF＝5CF， ∴CF＝， ∴AC＝5，BC＝5， 方法一　∴AB＝＝5， BF2＝BC2＋CF2＝52＋()2＝30. ∵∠AFD＝90°－∠BFC＝∠CBF＝∠A， ∴AD＝FD. 设BD＝d，则 FD＝AD＝5－d. 由勾股定理，得 BD2＝FD2＋BF2， ∴d2＝(5－d)2＋30，∴d＝3，即☉O的直径为3 . 方法二　∴ BF＝. ∵△BDF∽△BEC，∴∠DBF＝∠EBC，， ∴∠DBE＝∠FBC＝∠A， ∴AE＝BE. 设AE＝BE＝x，则 EC＝5－x. 由勾股定理，得 BE2＝EC2＋BC2， ∴x2＝(5－x)2＋52，解得 x＝3. ∴， ∴BD＝3，即☉O的直径为3 . 学科网（北京）股份有限公司 $