精品解析：山东烟台市海阳英才实验学校（五四制）2026-2027学年上学期八年级10月学情自测数学试题

2026—2027学年度第一学期月质量检测（一） 初三数学 一、单选题 1. 下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（　　） A. a（m+n）＝am+an B. 10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） C. x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x D. a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 【答案】B 【解析】 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意； B．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； C．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； D．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了因式分解的定义.掌握其定义是解答此题的关键. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将除法转化为乘法，再进行乘方运算，最后通过约分和通分计算出结果，再与选项进行对比 ． 【详解】解：原式  ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的乘除、乘方运算，解题关键是熟练掌握分式的各种运算法则，正确进行通分、约分计算． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则与提取公因式，找出公因式是解决本题的关键．先提取，再根据同底数幂的运算法则进行变形求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 4. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质一一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 5. 甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式因式分解与展开的逆用，抓住 “看错系数但正确系数不变” 的特点是解题的关键． 甲看错了的值但正确，从甲分解结果求；乙看错了的值但正确，从乙分解结果求，再计算即可． 【详解】∵ 甲看错了的值，分解结果为， 展开得， ∴ ， ∵ 乙看错了的值，分解结果为， 展开得， ∴ ， ∴． 故选：A． 6. 有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　） A. 用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 B. 用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 C. 用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 D. 用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每种方式草皮的面积，再5000元除以面积，即可得出答案；列出算式两种草皮单价之比为：，再求出即可． 【详解】解：方式一种植草皮每平方米的单价是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝（元）； 方式二种植草皮每平方米的单价是5000÷（x2﹣4a2）＝＝（元）， ∵x+2a＞x﹣2a， ∴＞， ∴用方式一比用方式二种植草皮的单价高， 两种草皮单价之比为： ＝• ＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式与分式的混合运算的应用，解此题的关键是能关键题意列出算式，熟练进行计算． 7. 若，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件式得到，进而得到，则可推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 8. 已知则按此规律推算的结果一定能（ ） A. 被12整除 B. 被13整除 C. 被14整除 D. 被15整除 【答案】D 【解析】 【分析】对连续运用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 9. 若（且），，，…，，则等于（ ） A. a B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算数列前几项确定循环周期，结合余数求解对应项． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ......， ∴这列数每3个数为一个循环，依次为，，， ∵， ∴等于． 10. 定义：若整数m，满足（x，y均为整数），则称m为“平方差数”．下列数中不是平方差数的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式分解，根据为整数推导平方差数的特征，再判断各选项即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵均为整数， 和都是整数， ∵是偶数， ∴和同奇偶， 若两个均为奇数，则乘积是奇数；若两个均为偶数，则乘积是的倍数； 因此平方差数要么是奇数，要么是的倍数， A．是奇数，是平方差数，满足； B．既不是奇数，也不是的倍数，不是平方差数； C．是奇数，是平方差数，满足； D．是奇数，是平方差数，满足； 二、填空题 11. 分解因式：______ 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 12. 二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次三项式的一个一次因式，可设出另一个一次因式，根据多项式乘法法则展开后，利用多项式相等对应项系数相等列方程求解． 【详解】设另一个因式为， 由题意得， 即， ，解得． 13. 已知，，，那么________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解．先将因式分解为，再将其值代入计算即可． 【详解】解：，，， 故答案为：． 14. 对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】按照新运算规则代入对应分式，再根据同分母分式的减法运算法则、因式分解、约分化简即可得到结果． 【详解】解：根据新运算定义，令，代入运算得： ． 15. 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用的时间的2倍，假设徒弟加工120个这种工艺品所用的时间为天，那么师傅比徒弟每天多加工__________个．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据工作效率等于工作总量除以工作时间，分别求出师傅与徒弟每天加工工艺品的个数，再作差化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，徒弟每天加工工艺品的个数为 ，师傅加工个工艺品所用时间为天， ∴师傅每天加工工艺品的个数为， ∴ 师傅比徒弟每天多加工的个数为 ． 16. 对于正数，规定，例如：，则式子的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据题意可得，，进而根据所得规律解答即可求解，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴原式 ， 故答案为：． 三、解答题 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式．熟练掌握提公因式法，公式法，分组法分解因式，是解题的关键． （1）综合运用提公因式分解因式和运用平方差公式分解因式； （2）先分组，再综合运用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 18. 先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】此题考查了分式的除法，代入求值，一元一次不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， ； 要使原式有意义，则． 又，且为非负整数， 只能取1． 当时， 原式． 19. 嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为 （1）求被墨水污染的部分； （2）嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 【答案】（1） （2） 解：不同意，理由如下： 若，则 由原题可知，当时，原式，原分式无意义， 所以当时，原分式的值不能等于1． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据分式的除法运算法则即可求出答案． （2）由原分式的值等于1可知x的值，然后根据分式有意义的条件即可判定． 【小问1详解】 设被墨水污染的部分是， 则， 解得：； 【小问2详解】 略 20. 观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含正整数n的等式表示），并加以证明； （3）若的值为，求正整数n的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）根据前四个式子的规律，写出第5个式子，即可求解； （2）由（1）中的式子得到规律，即可求解； （3）根据题意把原式变形为，可得，再化简可得到，然后得到关于n的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： 故答案为： 【小问2详解】 由（1）得：第n个等式： 证明： 右边 =左边； 【小问3详解】 ∵的值为， ∴， 整理得： 解得：， 检验：当n=7时，， ∴是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，分式加减的应用，解分式方程，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 21. 若a＞0，M=，N=． （1）当a=3时，计算M与N的值； （2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）M＝，N＝； （2）方法一：猜想：M＜N．理由如下： M﹣N． ∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴，∴M﹣N＜0，∴M＜N； 方法二：猜想：M＜N．理由如下： ． ∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴，∴，∴M＜N． 【解析】 【分析】（1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可； （2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可． 【详解】（1）当a=3时，M，N； （2）略 【点睛】本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键． 22. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则 原式＝． 再将“A”还原，得原式＝． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：＝____； （2）因式分解：； （3）求证，若n为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】（1） （2） （3） 证明： ＝ ＝ ＝， ∵n为正整数， ∴也为正整数， ∴代数式的值一定是某一个整数的平方． 【解析】 【分析】（1）把(x﹣y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）令A＝，因式分解后代入即可将原式因式分解； （3）将原式转化为，进一步整理为，根据n为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【小问1详解】 解：1+2(x﹣y)+(x﹣y)＝(x﹣y+1)， 故答案为：； 【小问2详解】 解：令A＝，则原式变为A(A+18)+81＝， 故＝． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 23. 阅读下面分解因式的过程：．利用上述分解因式的方法，解决问题． （1）因式分解：； （2）若，，是的三边，求证：； （3）求方程的整数解． 【答案】（1） （2） 证明： ， ，，是的三边， ，， ， 即； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系． （1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法将原式分解为，根据三角形三边关系判断即可； （3）根据分组分解法将原方程化为，再根据，都是整数得到，都是整数，进而根据求解方程组即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ，都是整数， ，都是整数， ∵， 或， 解得：或， 综上，方程的整数解为：或． 24. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释． 学习材料：如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． （1）若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． （2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，请模仿学习材料中的拼图方式，画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． （3）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】（1）①③④⑤； （2） 由题意可得，图形如图所示， ； （3）9或21或12 【解析】 【分析】本题考查整式乘法，因式分解与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到三个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解的结果再展开求解即可解答． 【小问1详解】 解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 综上：的值为：9或21或12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期月质量检测（一） 初三数学 一、单选题 1. 下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（　　） A. a（m+n）＝am+an B. 10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） C. x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x D. a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，则（ ） A. B. C. D. 6. 有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　） A. 用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 B. 用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 C. 用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 D. 用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 7. 若，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知则按此规律推算的结果一定能（ ） A. 被12整除 B. 被13整除 C. 被14整除 D. 被15整除 9. 若（且），，，…，，则等于（ ） A. a B. C. D. 10. 定义：若整数m，满足（x，y均为整数），则称m为“平方差数”．下列数中不是平方差数的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 二、填空题 11. 分解因式：______ 12. 二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 13. 已知，，，那么________ 14. 对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 15. 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用的时间的2倍，假设徒弟加工120个这种工艺品所用的时间为天，那么师傅比徒弟每天多加工__________个．（用含的代数式表示） 16. 对于正数，规定，例如：，则式子的值为______． 三、解答题 17. 因式分解： （1） （2） 18. 先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 19. 嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为 （1）求被墨水污染的部分； （2）嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 20. 观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含正整数n的等式表示），并加以证明； （3）若的值为，求正整数n的值． 21. 若a＞0，M=，N=． （1）当a=3时，计算M与N的值； （2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想． 22. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则 原式＝． 再将“A”还原，得原式＝． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：＝____； （2）因式分解：； （3）求证，若n为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 23. 阅读下面分解因式的过程：．利用上述分解因式的方法，解决问题． （1）因式分解：； （2）若，，是的三边，求证：； （3）求方程的整数解． 24. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释． 学习材料：如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． （1）若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． （2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，请模仿学习材料中的拼图方式，画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． （3）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $