精品解析：山东青岛市青岛实验初级中学教育集团联考2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

八年级数学检测试题 一、选择题（3分×10=30分） 1. 在，，，，，中，无理数的个数是（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数定义，逐个判断给出的数，统计无理数个数即可． 【详解】无理数定义为无限不循环小数， ∵是整数，是整数，是分数，都属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数. ∴ 无理数共个． 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A，，，A错误； 对于B，，，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ，， ∴ A、D不是最简二次根式. ∵ ， ∴ B不是最简二次根式. ∵ 的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数， ∴ C是最简二次根式.． 4. 一直角三角形的斜边比一直角边长1，另一直角边长为，那么斜边长为（ ） A. 4 B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设斜边长为未知数，结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设斜边长为，由题意得比斜边短1的直角边长为，另一直角边长为， 根据勾股定理，得， 展开等式右边得 ， 消去后整理得， 解得， 因此斜边长为． 5. 如图，数轴上有，，，四个点，则（ ） A. 点表示的数可能是 B. 点表示的数可能是 C. 点表示的数可能是 D. 点表示的数可能是 【答案】C 【解析】 【分析】观察数轴确定各点的大致取值范围，结合无理数估算进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，点表示，点在与之间且靠近，点在与之间且靠近，点在与之间， ， 点不可能是，故A 错误； ， ， 点不可能是，故B 错误 ， ，且靠近， 点可能是，故C正确， ∵，故点表示的数不可能是，故D 错误． 6. 文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意：有理数不输出，有理数不输出，为无理数，输出， 所以输出的是． 7. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为（ ） A. 52 B. 76 C. 100 D. 124 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意可知，． 在中． 所以阴影部分的面积． 8. 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，，由阴影部分的面积，可知阴影部分的边长为7，进而得出，再利用勾股定理，求出，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 阴影部分的面积是49， 阴影部分的边长为7， ， ， 即大正方形的边长是13． 9. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（ ） A. 2027 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题图可知，第1个图形有1个正方形， 第2个图形中共有个正方形， 第3个图形中共有个正方形， 第4个图形中共有个正方形， 第5个图形中共有个正方形， …… 第2026个图形中共有个正方形． 10. 由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式： ，（其中，，为三角形三边长，）可以求出三角形面积．已知三边长分别是，，，则中以长度为边，此边上的高线长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用海伦公式求面积，再由三角形面积公式反求高线． 【详解】解：设 ，，，则： 将 和各边长代入海伦公式： ， 设以 为底边时的高为 ，根据三角形面积公式，代入面积值，得 ， 解得， ． 二、填空题（2分×21=42分） 11. 的算术平方根是_______，10的平方根是_______． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根的概念解决此题． 【详解】解：，的算术平方根是9， 则的算术平方根是， 的平方根是. 12. 比较大小，_______3，_______（填“”，“”或“”号）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：∵， ∴； ∵，且 ∴． 13. 大于﹣小于的整数有 _____个． 【答案】 【解析】 【分析】先估算两个无理数的大小，再找整数个数． 【详解】解：∵﹣5＜＜﹣4，2＜＜3， ∴大于﹣小于的整数有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，共有7个． ∴答案为：7 【点睛】本题考查无理数的估计，正确估计两个无理数的范围是求解本题的关键． 14. 若与是同一个正数的两个不同的平方根，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数的平方根的性质是解题的关键． 一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此计算即可． 【详解】解：∵与是同一个正数的两个不同的平方根， ∴， ， 解得， ∴． 故答案为：4． 15. 若x，y都是实数，且，则的立方根为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的非负性，得，得到，继而得到，得到，计算即可． 本题考查了算术平方根的非负性，立方根，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 16. （1），_______；（2），________． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 17. 观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，， 已知，，则_______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：观察各式可知，被开方数扩大（缩小）倍，立方根扩大（缩小）倍， ∵，， ∴，． 18. 若与互为相反数，则的平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据相反数的定义和利用非负数的性质确定、的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 19. 计算____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据积的乘方得到，然后利用平方差公式计算． 【详解】解： ． 20. 若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了长方体的体积计算以及二次根式的乘法运算，解题的关键是正确运用二次根式的乘法法则（）进行化简计算． 明确长方体体积公式：体积长宽高；代入已知的长、宽、高，得到含二次根式的乘法算式；运用二次根式乘法法则计算并化简，得出结果． 【详解】解：长方体的体积长宽高，已知长为，宽为，高为，则体积为 故答案为： 21. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长进而求出的长，再根据实数与数轴的关系即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得， ∴， ∵数轴上点A所表示的数为a， ∴a的值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确利用勾股定理求出的长是解题的关键． 22. 若3，m，5为三角形的三边长，则化简的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形三边的关系判断2-m和m-8的正负，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵3，m，5为三角形的三边长， ∴5-3<m<5+3， ∴2<m<8， ∴2-m<0，m-8<0， ∴ =-(2-m)+(m-8) =-2+m+m-8 =2m-10． 故答案为：2m-10． 【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 23. 如图，数轴上，两点表示的数分别为，，且，则点所表示的数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据数轴上两点之间的距离可得答案． 【详解】解：∵点A，B表示的数是，且， ∴， 设点C表示的数为x，根据题意，得 ， 解得． 24. 已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，即可得和，则a和b的值可求，则问题得解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴整数部分为8， ∴的小数部分为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为， ∴， ∴， 即答案为：． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算以及不等式的性质，得到和，是解答本题的关键． 25. 在一个大正方形中，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出大正方形的面积，再由割补法求解空白部分的面积． 【详解】解：由图得，大正方形的边长为：， 空白部分的面积为：． 26. 如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，则蚂蚁走的最短路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】将长方体沿剪开，使处于同一平面，连接，此时长度最短，在直角三角形中，用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图 由题意可知处于同一平面，连接、， ∴在中，， 在中，， ∵ ∴蚂蚁的最短路径为 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体的展开图与勾股定理．解题的关键在于将几何体展开找到最短路径． 27. 如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是米，米，河宽米，且，两点之间的水平距离为米，则的最小值是________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据“两点之间，线段最短”来解决．过点作垂直于河岸，使的长等于河宽，连结，与靠近点的河岸相交于点，过点作垂直于河岸，就确定了桥的位置，然后利用勾股定理求出的长，再加上河宽，即可得到答案． 【详解】解：过点作垂直于河岸，使的长等于河宽，连结，与靠近点的河岸相交于点，过点作垂直于另一条河岸，垂足为，过点作交直线于点，易得：，，， 四边形是平行四边形， ， ， 当时，最小， 是河宽等于米， 此时最小． ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的最小值为（米）． 三、计算（3分×8=24分） 28. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【解析】 【分析】利用二次根式的化简运算法则、正确运用乘法公式、绝对值的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 【小问5详解】 解： 【小问6详解】 解： 【小问7详解】 解： 【小问8详解】 解： 四、解答题（6+6+3+5+4=24分） 29. 如图，在四边形中，（，，均为锐角），，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，再利用割补法求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 30. 小丽想用一块面积为的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗?你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?为什么? 【答案】 不同意， 理由：因为正方形的面积为，故边长为 设长方形宽为，则长为 长方形面积 ∴， 解得（负值舍去） 长为 即长方形的长大于正方形的边长， 所以不能裁出符合要求的长方形纸片 【解析】 【分析】先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为，长为，然后依据矩形的面积为20列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断． 【详解】略 【点睛】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 31. 两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式． 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．如： ； ； 请回答下列问题： （1）化简：________________ （2）已知整数，满足，则_______，_______． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）分母有理化，分子分母同时乘以即可； （2）先对等式左边的每一项进行分母有理化，根据左右两边有理数部分、无理数部分分别相等列出二元一次方程组，解方程即可求出的值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ∵， ∴，解得． 32. 【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取） 素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物． 若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 （用“一”或“二”填空）． 素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的． （1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）： 圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小 （2） 填空：表格中的值是 ；表格中表示的大小关系是 ； （3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】素材：，二；（），；（）当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （）利用圆柱形木块的高为，底面半径为，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （）构造方程即可得到结论． 【详解】解：（）图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线二； 故答案为：，二； （）， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （）根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 33. 按要求完成以下小题 （1）构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①在图1的中，根据三角形两边之和大于第三边，可得； ②在图2中，请尝试构造三角形，说明； ③在图3中，请尝试构造四边形，说明； （2）如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．．则的最小值为_____________，并在图4中作出取最小值时的点． 【答案】（1）②如图， ③如图所示， （2）；如图，点即为所求 【解析】 【分析】（1）②构建边长为，，的三角形即可判断； ③构建边长为，，，的四边形，根据三角形的三边关系和不等式的性质即可判断； （2）设，则，如图，取格点，则，则，则的最小值即为，根据两点之间线段最短，可得当，，三点共线时，的值最小，故连接与交点即为取最小值时的点，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：②如图：在正方形方格纸中构建，，， 故在中，，即； ③如图：在正方形方格纸中构建，，，，连接， 故在中，，则， 在中，，故， 即； 【小问2详解】 解：设，则，如图，取格点，则， ∴， ∴则的最小值即为， 根据两点之间线段最短，可得当，，三点共线时，的值最小，故连接与交点即为取最小值时的点， ∴的最小值， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学检测试题 一、选择题（3分×10=30分） 1. 在，，，，，中，无理数的个数是（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一直角三角形的斜边比一直角边长1，另一直角边长为，那么斜边长为（ ） A. 4 B. C. D. 12 5. 如图，数轴上有，，，四个点，则（ ） A. 点表示的数可能是 B. 点表示的数可能是 C. 点表示的数可能是 D. 点表示的数可能是 6. 文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（ ） A. B. C. 3 D. 7. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为（ ） A. 52 B. 76 C. 100 D. 124 8. 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 9. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（ ） A. 2027 B. C. D. 10. 由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式： ，（其中，，为三角形三边长，）可以求出三角形面积．已知三边长分别是，，，则中以长度为边，此边上的高线长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（2分×21=42分） 11. 的算术平方根是_______，10的平方根是_______． 12. 比较大小，_______3，_______（填“”，“”或“”号）． 13. 大于﹣小于的整数有 _____个． 14. 若与是同一个正数的两个不同的平方根，则______． 15. 若x，y都是实数，且，则的立方根为_______． 16. （1），_______；（2），________． 17. 观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，， 已知，，则_______，_______． 18. 若与互为相反数，则的平方根是_______． 19. 计算____________． 20. 若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为________． 21. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 22. 若3，m，5为三角形的三边长，则化简的结果为________． 23. 如图，数轴上，两点表示的数分别为，，且，则点所表示的数为___________． 24. 已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 25. 在一个大正方形中，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为__________． 26. 如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，则蚂蚁走的最短路径长为______． 27. 如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是米，米，河宽米，且，两点之间的水平距离为米，则的最小值是________米． 三、计算（3分×8=24分） 28. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）． 四、解答题（6+6+3+5+4=24分） 29. 如图，在四边形中，（，，均为锐角），，，，，求四边形的面积． 30. 小丽想用一块面积为的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗?你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?为什么? 31. 两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式． 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．如： ； ； 请回答下列问题： （1）化简：________________ （2）已知整数，满足，则_______，_______． 32. 【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取） 素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物． 若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 （用“一”或“二”填空）． 素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的． （1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）： 圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小 （2） 填空：表格中的值是 ；表格中表示的大小关系是 ； （3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 33. 按要求完成以下小题 （1）构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①在图1的中，根据三角形两边之和大于第三边，可得； ②在图2中，请尝试构造三角形，说明； ③在图3中，请尝试构造四边形，说明； （2）如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．．则的最小值为_____________，并在图4中作出取最小值时的点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $