13.3.2 三角形的外角 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 13.3.2 三角形的外角 新知引入 1.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= ，∠ACD= . A B C D 50° 130° 2.我们知道，三角形有 个内角.数一数，上图中有 个角.分别是： . 3.∠ACD与△ABC有什么样的关系呢？ 3 4 ∠A ∠B ∠ACB ∠ACD 新知探究 观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？ A C B 1 D A C B 1 D B C A 1 D （1）顶点在三角形的一个顶点上； （2）一条边是三角形的一条边； （3）另一条边是三角形的某条边的延长线． B C D A ∠ACD叫作△ABC的外角． 三角形的外角应具备的条件： （1）顶点在三角形的一个顶点上； （2）一条边是三角形的一条边； （3）另一条边是三角形的某条边的延长线． 新知探究 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角． C B A D 思考2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 思考1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； ∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 新知探究 在如何+bx+c的物线， A B C 思考3 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每个顶点处都有2个外角；且这2个角为对顶角. 每个三角形都有6个外角. 研究有关外角的问题时，通常每个顶点处取一个外角. 新知探究 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？ ∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. A B C D E F 新知应用 如图所示，在△ABC 中，∠A =70°，∠B =60°，∠ACD是△ABC的一个外角. 能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B 有什么关系？ 解：在△ABC 中， ∠ACB=180°∠A∠B =180°70°60° =50° ∴∠ACD =180°∠ACB =180°50° =130° ∠ACD =∠A +∠B 新知探究 任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 已知：∠ACD 是△ABC 的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A＋∠B． 证明： ∵∠1＋∠ACD＝180° ∴∠ACD＝180°－∠1 ∵∠A＋∠B＋∠1＝180° ∴∠A＋∠B＝180°－∠1 ∴∠ACD＝∠A＋∠B． 新知探究 1 由三角形内角和定理可以推出下面的推论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 几何语言： ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD =∠A +∠B 1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 新知归纳 2.如图，根据图形回答问题 (1)∠1=_______+________ (2)∠2=_______+_________ (3)∠2_______∠3 1.如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2,∠3的大小关系是（   ） A．∠1 < ∠2 < ∠3 B．∠3 < ∠1 < ∠2 C．∠3 < ∠2 < ∠1 D．∠2 < ∠1 < ∠3 A ∠DAC ∠C ∠3 ∠4 D 1 2 4 3 A B C 新知应用 3.求下列各图中的度数 120º 35º 45º 50º 123º 80º 45º 20º 35º 25º 35º 新知应用 例1：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和，得 ∠BAE＝∠2＋∠3， ∠CBF＝∠1＋∠3， ∠ACD＝∠1＋∠2． ∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)． 由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得 ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°． 典例精析 解法2：由∠BAE +∠1=∠CBF +∠2=∠ACD+∠3=180°，得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD =3×180°-(∠1+∠2+∠3) =540°-180° =360°． 典例精析 ( ( ( 总结：如图，三角形的三个不同位置的外角和等于360°. ( ( ( 三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫做三角形的外角和． 简称：三角形的外角和等于360° 新知归纳 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________. 360° 新知应用 定义 性质 三角形的外角 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 三角形外角和 三角形的外角和为360°. 课堂总结 １.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于( ) F A B E C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 随堂演练 2.如图，已知△ABC的角平分线为AD，若∠B=50°，∠C=30°，求∠ADB的度数． 解：在△ABC中，∠B=50°，∠C=30° ∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-50°-30°=100° ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠1∠BAC=100°=50° ∵∠ADB是△ACD的外角 ∴∠ADB=∠C+∠1=30°+50°=80° 随堂演练 A C B D 1 3.如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数. 解：∵∠1是△AEC的一个外角， 且∠A=42°，∠ACE=18° ∴∠1=∠A+∠ACE=42°+18°=60° ∵∠BFC是△BEF的一个外角， 且∠BEC=60°，∠ABD=28° ∴ ∠BFC=∠1+∠ABD=60°+28°=88° 随堂演练 1 4. 如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°.求∠BDC的度数. 解：如图，延长BD交AC于点H ∵∠1是△ABH的一个外角 ∴∠1＝∠A＋∠B =60°+20°=80° ∵∠BDC是△DHC的一个外角 ∴∠BDC＝∠1＋∠C ＝80°＋30°＝110° H 随堂演练 1 A B C D E ) 1 解：延长BD交AC于点E. ∵∠1是△ABE的外角， ∴∠1=∠A+∠B ∵∠BDC是△DEC的外角 ∴∠BDC=∠1+∠C =∠A+∠B+∠C ) 2 F 方法一 解法二:连接延长CD交AB于点F（解题过程同方法一）. 随堂演练 5.讨论∠A、∠B、∠C与∠BDC的数量关系. A B C D 解：连接AD并延长至点E. ∵∠3是△ABD的外角，∠4是△ADC的外角∴∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠C. ∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， ∴∠BDC=∠1+∠B+∠2+∠C =∠BAC+∠B+∠C E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 方法三 随堂演练 归纳总结 (1)燕尾模型结论∠BDC=∠BAC+∠B+∠C (2)通过添加辅助线将问题转化为三角形内角和三角形外角的问题是解决此类问题的常用方法，体现了数学的转化思想 解：∵∠1是△FBE的外角 ∴∠1=∠B+ ∠E ∵∠2是△GAD的外角 ∴∠2=∠A+∠D 在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180º. 6.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 1 2 F 随堂演练 G 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． (1)求∠CBE的度数； (2)若∠F=20°，求证：BE//DF． 解：（1） ∵∠CBD是△ABC的外角， 且∠ACB=90°，∠A=50° ∴∠CBD=∠ACB+∠A =90°+50°=140° ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE= ∠CBD = 140°=70° （2）∵∠ACB=90°， ∴∠BCE=180°−90°=90° ∵在Rt△BCE中，∠CBE=70° ∴∠CEB=90°−∠CBE =90°−70°=20° 又∵∠F=20° ∴∠CEB=∠F ∴BE//DF． 随堂演练 8.(1)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A=80°，则∠P=______； (2)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．请探索∠A与∠P之间的数量关系 130 解(2)在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB, ∴∠P=180°-(∠1+∠2) =180°-(∠ABC+∠ACB) =180°-(180°-∠A） =90°+∠A 随堂演练 ( 1 2 ( (3)∵∠ACD是△ABC的外角，∠2是△BCM的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠2=∠M+∠1， ∵BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD， ∴∠M+∠1=(∠A+∠ABC) =∠A + ∠ABC =∠A +∠1 ∴∠M=∠A (3)如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，请探索∠A与∠M之间的数量关系 随堂演练 ( 1 ( 2 (4)如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系； (4)：∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB， ∴∠1=∠CBE,∠2=∠BCF， ∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A， ∴∠CBE+∠BCF=(180°−∠ABC)+(180°−∠ACB) =360°−(∠ABC+∠ACB) =360°−(180°−∠A) =180°+∠A， ∴∠N=180°−(∠1+∠2) =180°−(∠CBE+∠BCF) =180°−(180°+∠A) =90°−∠A 随堂演练 ( 1 ( 2 归纳总结：三角形角平分线模型 两内角平分线 一内一外角平分线 两外角平分线 随堂演练 1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数. (1)∠2=80°+60°=140° ∠1=180°-140°=40°. (2)∠2=40°+30°=70° ∠1=180°-70°=110°. (3)∠2=180°-40°=140° ∠1=140°-90°=50°. 课后练习 1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数. (5)∠1=60°+20°=80° ∠2=180°-60°-∠1 =180°-60°-80°=40°. 随堂演练 (4)∠ACD=∠A+∠B=70°+40°=110° 则∠2=180°-∠ACD=180°-110°=70° ∵CE平分外角∠ACD ∴∠1=∠ACD=110°=55° $