13.3.2 三角形的外角（教学课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

13.3.2 三角形的外角 专项练习（人教版八年级上册） 核心知识点梳理 1. 三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。每个三角形共有六个外角，每个顶点处有两个对顶的外角，通常研究每个顶点一个外角，共三个外角。 2. 外角核心性质定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。该定理是三角形角度计算的重要推论，可快速求解复杂角度，简化推导步骤。 3. 外角大小比较性质：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，常用于角度大小比较、几何证明推理题型。 4. 拓展结论：三角形的三个外角和为360°。解题常结合内角和定理、角平分线、高线、对顶角、平行线性质进行综合角度计算，是几何入门必考综合考点。 一、基础选择题（每题4分，共32分） 1. 下列关于三角形外角的说法正确的是（） A. 外角大于任意内角 B. 外角等于相邻两个内角和 C. 三角形外角和为180° D. 外角等于与它不相邻的两个内角和 2. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角度数为（） A. 80° B. 100° C. 120° D. 140° 3. 三角形的一个外角为110°，与它不相邻的一个内角为50°，则另一个不相邻内角为（） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 4. 若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 在△ABC中，外角∠ACD=125°，∠A=55°，则∠B的度数为（） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 6. 三角形三个外角的度数之比为2:3:4，则对应的三个内角之比为（） A. 2:3:4 B. 4:3:2 C. 5:3:1 D. 1:3:5 7. 如图，三角形外角的性质不能直接推出的结论是（） A. 外角大于任意不相邻内角 B. 外角等于两不相邻内角和 C. 内角和为180° D. 可用于比较角度大小 8. 已知三角形一个外角是它相邻内角的2倍，则该相邻内角为（） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 二、基础填空题（每题4分，共24分） 9. 三角形的外角和为________°。 10. 在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，则∠C的外角度数为________°。 11. 三角形的一个外角为钝角，则对应的原三角形内角为________角。 12. 若等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角为________°。 13. 在△ABC中，∠A∶∠B=1∶2，与∠C相邻的外角为120°，则∠A=________°。 14. 三角形的一个外角比与它不相邻的一个内角大40°，比另一个不相邻内角大20°，则这个外角为________°。 三、解答题（共44分） 15.（12分）利用三角形外角性质求解下列角度： （1）△ABC中，∠A=28°，∠B=52°，求∠ACB的外角度数；（2）已知三角形一个外角为130°，其中一个不相邻内角为65°，求另一个不相邻内角。 16.（16分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=30°，∠DAC=35°，求∠BAC的外角的度数。 17.（16分）求证：三角形的任意一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 参考答案及详细解析 一、选择题解析 1. D 解析：三角形外角定理核心内容：外角等于与它不相邻的两个内角和；外角只大于不相邻内角，并非任意内角。 2. B 解析：∠C相邻外角=∠A+∠B=40°+60°=100°，直接利用外角性质求解。 3. C 解析：由外角性质得，另一个内角=110°−50°=60°。 4. C 解析：外角与相邻内角互补，外角更小，则相邻内角大于90°，为钝角三角形。 5. B 解析：∠ACD为外角，∠B=∠ACD−∠A=125°−55°=70°。 6. C 解析：外角和360°，求得外角分别为80°、120°、160°，对应内角100°、60°、20°，比值5:3:1。 7. C 解析：内角和180°需单独证明，无法由外角性质直接推出。 8. B 解析：设相邻内角为x，外角为2x，x+2x=180°，解得x=60°。 二、填空题解析 9. 360 解析：固定结论，任意三角形外角和恒为360°。 10. 90 解析：∠C外角=∠A+∠B=35°+55°=90°。 11. 锐 解析：外角钝角，相邻内角=180°−钝角，结果为锐角。 12. 20或80 解析：外角对应底角时，顶角80°；外角对应顶角时，顶角20°，均符合三边关系。 13. 40 解析：∠C外角=∠A+∠B=120°，设∠A=x，x+2x=120°，x=40°。 14. 60 解析：设外角为x，两内角为x−40°、x−20°，x=(x−40°)+(x−20°)，解得x=60°。 三、解答题解析 15. 解：（1）根据外角性质，∠ACB外角=∠A+∠B=28°+52°=80°；（2）另一个内角=130°−65°=65°。 16. 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠DAC=70°。由外角性质，∠BAC的外角=180°−70°=110°，或等于∠B+∠C，计算结果一致。 17. 证明：设△ABC中，∠ACD为∠C的外角，则∠ACD=∠A+∠B。∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B，即三角形的任意一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 （总字数：1321） 人教版数学（新教材）八年级上册 13.3.2 三角形的外角 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/21 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十三章 三角形 素养目标 1. 理解三角形的外角的概念和性质.(重点) 2. 运用三角形外角的性质进行有关计算时能准确表达推理过程.(难点) 2. 掌握三角形内角和定理的推论. 3. 经历由特殊到一般的数学思维过程，体会数学推理的严谨性. 素养目标 知识回顾 1. 三角形内角和定理是什么？ 三角形的内角和等于180° 2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C = . 3.在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，则∠C = . 60° 48° 3 新知导入 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD. 外角 B A C D 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 4 探究新知 外角 B A C D E 外角 1.延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？ 是 2.∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ 不是 三角形的外角应具备的条件: ① 角的顶点是三角形的顶点 ② 角的一边是三角形的一边 ③ 另一边是三角形中一边的延长线 5 练一练 F A B C D E 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？说一说图中还有外角吗？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEC 的外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 6 探究新知 A B C 三角形共有几个外角？ 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2个， 且这2个角为对顶角. 7 探究新知 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°， ∠ACD是 △ABC的一个外角，能由∠A，∠B求出∠ACD的度数吗？如果能， ∠ACD 与∠A，∠B 有什么关系呢？ 60° 70° B A C D ∠ACD = 180° -∠ACB = 180° - (180°-∠A -∠B) = ∠A +∠B = 130° . ∠ACD =∠A +∠B 8 探究新知 【思考】任意一个三角形的外角与其不相邻的两个内角是否都具有这种关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 证明： ∵∠A +∠B+∠ACB=180°，∠BCD +∠ACB=180° ∴∠A+∠B=∠BCD. 归纳总结 一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言 ∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD = ∠A +∠B. D C B A 推论是由定理直接推出的结论．和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 探究新知 由推论可知 ∠ACD =∠A+∠B D C B A ∵∠A＞0，∠B＞0， ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 例题练习 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ D C B A 1 3 2 E F 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE =∠2 +∠3， ∠CBF =∠1 +∠3， ∠ACD =∠1 +∠2， ∴∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3). 由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，得，∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2× 180°=360°. 你还有其他解法吗？ 例题练习 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②， ∠ACD +∠3=180 ° ③， 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得， ∠BAE + ∠CBF + ∠ACD +(∠1+ ∠2+ ∠3) = 540 °， 所以，∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540 °- 180°= 360°. D C B A 1 3 2 E F 1.下图中 是三角形的一个外角的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 14 2.如图， 的外角是_______、_______. 返回 举一反三 15 3.如图， ， ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 16 归纳总结 三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角(按同一个方向取三个角)，把它们的和叫做三角形的外角和. 三角形的外角和等于 360°. D C B A 1 3 2 E F 17 当堂练习 QING JING YIN RU 1.如图，AB∥CD，∠A＝37°， ∠C＝63°，那么∠F 等于 ( ) F A B E C D A. 26° B. 63° C. 37° D. 60° A 2.小明把一副含有45°、30°的直角三角板如图摆放， 若∠C =∠F=90°，∠A =45°，∠D =30°， 则∠α+∠β等于（ ） A.180° B.210° C.360° D.270° B E B C A F D α β 1 2 3 4 当堂练习 QING JING YIN RU 3.判断下列观点是否正确. （1）三角形的外角都是钝角. （ ） （2）三角形的外角大于任何一个内角. （ ） （3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （ ） （4）三角形的外角和等于360°. （ ） × × × √ 4.(1)如图，∠BDC 是________的外角，也是 的外角； (2)若∠B = 45°， ∠BAE = 36°， ∠BCE = 20°，则 ∠AEC 的度数为 . A B C D E △ADE △ADC 101° 当堂练习 QING JING YIN RU 5.求出下列图形中∠1 和∠2 的度数： A B C D ( ( ( 80° 60° ( 2 1 A B C ( ( ( ( 2 1 50° 32° 解：由三角形的内角和为180°， 得∠1 = 180°-60°-80°=40°. ∵∠2 是△ABC 的一个外角， ∴∠2=∠A+∠B=140°. 解：∵∠DAB 是△ABC 的一个外角， ∴∠1+32°=50°，即∠1 = 18°. 由三角形的内角和为180°， 得∠2 = 180°-32°-18°=130°. D 当堂练习 QING JING YIN RU 6.如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数. 解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角， ∴∠BEC = ∠A + ∠ACE. ∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°， ∴∠BEC = 60°. ∵∠BFC 是△BEF 的一个外角， ∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF. ∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°， ∴∠BFC = 88°. F A C D E B 当堂练习 QING JING YIN RU 7.如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数． E 解：延长 BP 交 AC 于点 E， 则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 当堂练习 QING JING YIN RU 8.如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，求∠BDC 的度数. 解法一：连接 AD 并延长到点 E. 在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3， 在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4. ∵∠BDC =∠3 +∠4， ∠BAC =∠1 +∠2， ∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 4.如图，若 ，则 的度数为( ) B A. B.C. D. 返回 A 5．烟台中考如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为(　　) A．40° B．35° C．30° D．20° 举一反三 24 返回 6．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝50°，且AD是△ABC的角平分线，则∠ADC＝(　　) A．50° B．60° C．65° D．70° C 举一反三 25 返回 7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，则∠1，∠2，∠3的大小关系是________________．(用“<”连接) ∠2<∠1<∠3 举一反三 26 返回 8.如图，在中，， 平分 的外角.求证： . 证明：由三角形外角的性质，得 . ， . 平分 ， . . 举一反三 27 返回 9．如图，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝25°，求∠BFC的度数． 解：∵∠A＝70°，∠ABE＝25°， ∴∠BEC＝∠A＋∠ABE＝95°. 又∵∠ACD＝20°，∴∠BFC＝∠ACD＋∠BEC＝20°＋95°＝115°. 举一反三 28 小结 定义：三角形的一边与另外一边的延长线所组成的角 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形外角和：三角形的外角和等于360° 三角形的外角 谢谢观看 THANKS $