29.3 第1课时 弧长和扇形面积（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 29.3 第1课时 弧长和\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)面积 专项练习（人教版九年级上册，约1400字） ## 知识点梳理 ### 1. 弧长公式 半径为$R$，圆心角为$n^\circ$的弧长： $$\boldsymbol{\(l=\)\dfrac{n\pi R}{180}}$$ 推导：圆周长$C=2\pi R$，$360^\circ$对应整个圆周，$n^\circ$占圆的$\dfrac{n}{360}$。 ### 2. \(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)面积公式 \(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 公式1（已知圆心角$n$、半径$R$）：$\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}$ 公式2（已知弧长$l$、半径$R$）：$\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)}=\dfrac12 lR}$ > 两个\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)公式可以互相转换，做题按需选用；公式2类似三角形面积（底为弧长$l$，高为半径$R$）方便记忆。 ## 一、基础巩固（每题4分，共40分） 1. 半径为6，圆心角60°的弧长是（） A.$2\pi$ B.$3\pi$ C.$6\pi$ D.$12\pi$ 2. \(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)半径$\(R=4\)$，圆心角$90^\circ$，\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)面积为（） A.$4\pi$ B.$8\pi$ C.$16\pi$ D.$32\pi$ 3. \(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)弧长$\(l=\)6\pi$，半径$\(R=4\)$，\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)面积是（） A.$6\pi$ B.$12\pi$ C.$24\pi$ D.$48\pi$ 4. 圆半径扩大2倍，圆心角不变，则弧长变为原来（） A.$\dfrac12$ B.1倍 C.2倍 D.4倍 5. 弧长公式：$\(l=\)$________。 6. \(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)面积用弧长表示：$\(S=\)$________。 7. 半径为3，圆心角120°的\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)面积=________。 8. 圆心角越大，弧长一定越长。（判断对错）________ 9. 半径5，圆心角180°的弧长是________。 10. \(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)的面积只和半径大小有关。（判断对错）________ ## 二、能力提升（每题10分，共30分） 11. 已知\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)半径$R=12\mathrm{cm}$，圆心角$60^\circ$，求弧长与\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)面积。 12. 一\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)面积$\(S=\)15\pi$，半径$\(R=6\)$，求\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)的弧长。 13. 已知一段弧长$\(l=\)4\pi$，半径$\(R=8\)$，求这段弧所对圆心角$n$。 ## 三、综合应用题（每题15分，共30分） 14. 如图，⊙O半径$\(R=6\)$，圆心角$∠AOB=120^\circ$。 （1）求弧AB的弧长； （2）求\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)AOB的面积。 15. 如图，△ABC是等边三角形，边长为6。以A为圆心，6为半径画弧BC。 （1）求弧BC的弧长； （2）求\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)ABC的面积。 # 参考答案与解析 ## 基础巩固 1. A。解析：$\(l=\)\dfrac{60\pi\times6}{180}=2\pi$。 2. A。解析：$\(S=\)\dfrac{90\pi\times4^2}{360}=4\pi$。 3. B。解析：$\(S=\)\dfrac12 lR=\dfrac12\times6\pi\times4=12\pi$。 4. C。解析：弧长与半径成正比，圆心角不变，半径扩大2倍，弧长扩大2倍。 5. $\boldsymbol{\dfrac{n\pi R}{180}}$ 6. $\boldsymbol{\dfrac12 lR}$ 7. $3\pi$。解析：$\(S=\)\dfrac{120\pi\times3^2}{360}=3\pi$。 8. ×。解析：弧长由圆心角和半径两个量共同决定，半径很小，圆心角再大弧长也不一定长。 9. $5\pi$。解析：$\(l=\)\dfrac{180\pi\times5}{180}=5\pi$。 10. ×。解析：\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)面积由半径和圆心角共同决定。 ## 能力提升 11. 解：弧长$\(l=\)\dfrac{n\pi R}{180}=\dfrac{60\pi\times12}{180}=4\pi\ \mathrm{cm}$ \(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)面积$\(S=\)\dfrac{60\pi\times12^2}{360}=24\pi\ \mathrm{cm^2}$。 12. 解：$\(S=\)\dfrac12 lR$，代入$15\pi=\dfrac12 \times l\times6$，解得$\(l=\)5\pi$。 13. 解：$\(l=\)\dfrac{n\pi R}{180}$，$4\pi=\dfrac{n\pi\times8}{180}$，化简：$\(8n=720\)$，$n=90^\circ$。 ## 综合应用题 14.（1）解：弧AB长：$\(l=\)\dfrac{120\pi\times6}{180}=4\pi$。 （2）\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)AOB面积：$\(S=\)\dfrac{120\pi\times6^2}{360}=12\pi$。 15. 解：△ABC等边，∴圆心角$∠A=60^\circ$，半径$\(R=6\)$。 （1）弧BC弧长：$\(l=\)\dfrac{60\pi\times6}{180}=2\pi$。 （2）\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)ABC面积：$\(S=\)\dfrac{60\pi\times6^2}{360}=6\pi$。 ## 易错点总结 1. 分清两个公式：弧长分母是**180**，\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)面积分母是**360**，考试极易写混； 2. 单位：圆心角公式代入只用度数，不需要带°符号计算； 3. 误区：圆心角大弧长、面积就一定大。**半径、圆心角两个条件同时决定**； 4. 优先选择公式：已知弧长用$\(S=\)\dfrac12 lR$，计算更快； 5. 题型拓展：阴影面积经常用\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12 lR}\)}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}\)加减三角形，是中考高频综合题型。 全文约1396字。 下一节：**29.3 第2课时 圆锥的侧面积和全面积**，同样1400字专项练习，继续吗？ 人教版数学（新教材）九年级上册 29.3 第1课时 弧长和扇形面积 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/10 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十九章 圆 新课导入 情景：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度). 问题：怎样求一段弧的长度呢？ (1)能推导弧长和扇形面积的计算公式. (2)知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相关计算. （1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR （3）1°圆心角所对弧长是多少？ （2）圆的周长可以看作是多少 度的圆心角所对的弧？ 1° O 360° 推进新课 弧长公式 知识点1 140°圆心角所对的弧长是多少？ n° A B O 若设⊙O半径为R，n°的圆心 角所对的弧长为 . 例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm) L （mm）. 答：管道的展直长度为2970mm． 因此所要求的展直长度 l （mm）. 解：由弧长公式，可得AB的长 扇形的定义和面积公式 知识点2 如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 圆心角为1°的扇形所对的面积是多少？ 如 何 求 扇 形 的 面 积 ？ 1° 想一想：圆的面积可以看作多少度的圆周角所对的扇形面积？ 扇形面积公式 在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积计算公式为 扇形的面积与扇形所在的圆的半径和弧所对的圆心角的度数有关系. S扇形＝ S圆 360 n ＝ πR2 360 n 弧长公式与扇形面积公式的区别 弧长与圆的周长有关,扇形的面积与圆的面积有关.因此,计算弧长时是 ；而计算扇形的面积时是 . n° l O 比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗? 探索弧长与扇形面积的关系 S R 知识点1 弧长公式及其应用 1.若扇形的半径为3， ，则 的长为( ) A A. B. C. D.3 返回 举一反三 13 2.［教材习题变式］一个扇形的圆心角为 ，它所对的弧长 为 ，则这个扇形的半径为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 14 3.将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为 ， 则扇形的圆心角大小为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 15 4.[盐城中考] 如图①是博物馆屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成， 瓦片横截面如图③所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦 的长为，则 的长是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 16 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m）. O B A C D 弓形的面积=S扇-S△OAB 提示: 例2 解：如图，连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D,交AB于点C，连接AC. ⌒ ∵OC=0.6m,DC=0.3m, ∴OD=OC-DC=0.3m. ∴OD=DC. 又AD⊥DC, ∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 有水部分的面积S=S扇形-S△OAB= O B A C D 跟踪训练 (1) 已知扇形的半径为 6 cm，面积为 6π cm2，则该扇形的圆心角的度数为______. 解析：(1) 设该扇形的圆心角是 n°， 根据扇形的面积公式得 解得 . 60° 跟踪训练 (2) 一个扇形的圆心角为 135°，弧长为 3π cm，则此扇形的面积是 ______ cm2. 解析：(2) 设扇形的半径为 R cm. ∵ 扇形的圆心角为  135°,弧长为 3π cm， ∴ 解得 R=4. 方法一 方法二 6π 5. 如图，用一个半径为 的定滑轮拉动重物上升，滑轮 旋转了 ，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上 升了____ . （第5题） 返回 举一反三 21 6.[连云港中考] 如图，是的内接三角形， .若 的半径为2，则劣弧 的长为___. （第6题） 返回 举一反三 22 知识点2 扇形面积公式及其应用 7.半径为1，圆心角为 的扇形的面积为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 23 8.[天津河西区期末] 一个扇形的半径为，面积是 ，则 扇形的圆心角为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 24 9.已知一个扇形的面积是 ，弧长是 ，则这个扇形的半径为 ( ) A A.24 B.22 C.12 D.6 返回 举一反三 25 10. 马面裙（图①）， 又名“马面褶裙”，是我国古代女子 穿着的主要裙式之一，将图①中的 马面裙抽象成如图②中阴影部分所 B A. B. C. D. 示的数学图形，和所在圆的圆心均为点，且点在上，点 在上，若， ，则该马面裙裙面（图②中阴 影部分）的面积为( ) 返回 举一反三 26 11.如图，在中， ，以点 为圆心， 长为半径的圆交于点.若是的中点， ， 求阴影部分的面积. 解：是的中点， ， . 又，为等边三角形，， . 返回 举一反三 27 （第12题） 12.如图，，，，是 上的点，半径 ，， ，连接 ，则 扇形 的面积为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 28 （第13题） 13.如图，在扇形中， ，半径 ， 是上一点，连接，是上一点，且 ， 连接.若，则 的长为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 29 （第14题） 14.[苏州中考] “苏州之眼”摩天轮是亚 洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转 式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示. 该摩天轮高 （即最高点离水面平 台的距离），圆心到 的距离 为，摩天轮匀速旋转一圈用时.某轿厢从点出发， 后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为_____ . （结果保留 ） 返回 举一反三 30 课堂小结 n° l O 弧长公式： 扇形面积公式： R 谢谢观看 THANKS $