江苏扬州市2026～2027学年度九年级数学上学期10月学情自测卷（范围：苏科版九年级上册第1～2章）

答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：对于A,没有等号，不是方程，故选项A不符合题意： 对于B,该方程是三元一次方程，故选项B不符合题意； 对于C,该方程是一元二次方程，故选项C符合题意： 对于D,该方程不是整式方程，故选项D不符合题意. 故选C. 本题主要考查一元二次方程的概念. 根据一元二次方程定义即可推出答案。 2.【答案】B 【解析】解：：点(a,b)反比例函数y=2上， X b=2,即ab=2, :原式=2-4=-2 故选：B 2 先把点(a,b)代入反比例函数y= ,求出ab的值，再代入代数式进行计算即可. 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式， 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】B 【解析】解：根据题意A=(-22-4×1×(-1)=8>0' 所以方程有两个不相等的实数根. 第1页，共1页 故选：B. 6.【答案】C 解：.k>0, 函数y=上(k>0)的图象分布在第、三象限，在第一象限，y随x的增大而减小， X .-2<0<2<3 ∴.b>c>0’a<0 ..a<c<b' 故选：C 7.【答案】A 【解析】根据图中曲桥分布，列出方程即可 【详解】解：如图， m 23m x m 35m 将曲桥移至同一水平上可得，35-x23-x=4×23×35 故选：A 8.【答案】B 第2页，共1页 【解析】解：如图，连接BD,OF,过点A作AN⊥OE于N,过点F作FM⊥OE于M, M .AN//FM,AF=FE, .∴.MN=ME, .EM-TAN, ,点A,F在反比例函数的图象上， .SAA0N=S△FOM=2 ON-AN-I.OM-FM, 2 ..ON=-OM, ∴.ON=MN=EM, ME-OE, SAFME LSAFOE' 第3页，共1页 .AD平分∠OAE, .∴.∠OAD=∠EAD, 四边形ABCD是矩形， ∴.OA=OD .∴.∠OAD=∠ODA=∠DAE, ∴.AE/IBD, .SAABE=S△A0E=18, AF=EF, 1 SALOF=SAA0E=9, SAFME-3SAFOF-3. SAFOM=SAPOE-SAFME-9-3=6- ∴.k=12. 故选：B 9.【答案】X1=0,X2=2 解：.x2=2X .x2-2x=01 第4页，共1页 .xx-2)=0 x=0或x-2=0 ∴.X1=0’X2=21 故答案为X1=0,X2=2 10.【答案】3x2+5x+1=0 11.【答案】6 【解析】解：连接OA和OC,如图： B .点P在y轴上，AB/Iy轴， ∴.△AOC和△APC面积相等，即S△APC=S△AoC, :点A在反比例函数y,=18x>0)的图象上，点C在反比例函数y,=X>0)的图象上，AB⊥X轴， 61 X X 5aw×1-9,5ax-16l-3, .SAARC=SAAOC=SAOAB-SAOBC=9-3=6, 第5页，共1页 .∴.△APC的面积为6， 故答案为6， 12.【答案】2<x<3或x<0 【解析】解：：Am,3,B3,n)两点在反比例函数y=的图象上， 3-n9 m 解得m=2,n=2, ∴.A(2,3)'B(3,2) 由图象可知，x+b-6>0时x的取值范围是2<X<3或X<0, 故答案为2<x<3或x<0. 13.【答案】100(1-x2=36 【解析】平均每次降价的百分率为X,则第一次降价后药价为每盒100(1-x)元，第二次降价后药价为每 盒100(1-x}2元，根据题意得1001-x2=36 14.【答案】k<2且k≠1 【解析】根据题意得k-1≠0且4=(-2尸-4×(k-1)×1>0:解得k<2且k≠1所以k的取值范围是 k<2且k≠1.故答案为k<2且k≠1. 此题容易忽视二次项系数不为0而出错 15.【答案】-2 16.【答案】2500 17.【答案】x1=-4,x2=-1 第6页，共1页 【解折】解：：关于的方程ax+mP+b=0的解是x,=-2'X=1(a,m,b均为常数·a≠0)？ :.方程a(x+m+22+b=0的解是x+2=-2或1 解得X1=-2-2=-4,X2=1-2=-1, 18.【答案】(6,2) 【解析】解：：点B的坐标为(4,3，且在反比例函数y=(k≠0)的图象上， .k=4×3=12' ·反比例函数的解析式为y=12, 点E在反比例函数图象上， ·设Ea,2。 ·AD=a-4=ED=12 a1=6或a,=-2 .a>0 ∴.a=61 ∴.E(6,2) 故答案为：(6,2. 19.【答案】【小题1】 解：两边同除以2'得x-32=9 两边开平方，得x-3=±3 第7页，共1页 即x-3=3,或x-3=-3 ∴.X1=6’X2=01 【小题2】 解：x2-4x-3=0 移项，得x2-4x=3. 配方，得x-4x+22=3+22即x-2P=7 两边开平方，得x-2=±V7,即x-2=V7,或x-2=-V7 .x1=2+7?X2=2-V7 【小题3】 解：原方程可变形为x-3x+2-x-3=0, x-3川x+1=0 x-3=0或x+1=0, ∴.X1=3’X2=-1 【小题4】 解：2x+3x-1=0 这里a=2,b=3,c=-1. .b2-4ac=32-4×2×-1=17>0 .∴.X= =-3±17.-3±17 2×2 4 x8西 即x,=3+17 4 4 20.【答案】【小题1】 解：把P2,-3代入y=Kk≠0， 第8页，共1页 则3= 2 解得k=-6, 则该反比例函数的解析式为y=-6 【小题2】 解：当y=-2时，则-2=- x' 解得X=3. -6<0 .∴.反比例函数在第二、四象限，且在各自的象限内y随着x的增大而增大. ∴.当0<x<3时，y<-2. 21.【答案】解：(1)将A(-3,m+8)代入反比例函数y=” 得，号=m+8,解符m=-6, m+8=-6+8=2, ·点A的坐标为-3,2)， 反比例函数解析式为y=-6 将点B(n,-6)代入y=-6 解得，n=1, 所以，点B的坐标为1，-6)， 将点A(-3,2),B(1,-6)代入y=x+b得， 第9页，共1页 -3k+b=2 k+b=-6’ k=-2 解得， 1b=-4' 则一次函数解析式为y=-2x-4: (2)设AB与x轴相交于点C,令-2x-4=0, 解得X=-2, ∴.点C的坐标为-2,0)，即0C=2, 5m=5c+5c号x2x2+号×2x6=8, 22.【答案】解：当x≥1时，x2-x=0,x1=0(舍去，x2=1: 当x<1时，x2+x-2=0,X1=1(舍去)，x2=-2, ∴.原方程的根是x1=1,X2=-2. 23.【答案】【小题1】 解：由图可知，当力F为20N时，物体在力F的方向上发生的位移s为25m, 此时F所做的功W=Fs=20×25=500J. ·当W为定值时，s与F之间的函数解析式为s=50 F 【小题2】 第10页，共1页 解：当F=10N时，9=50-501m, 10 即当物体受到的力F为10N时，物体在该力方向上的位移s是50m. 【小题3】 解：s=20m代入s=0,得F=25N. .s随着F的增大而减小， ∴.要使物体在力的作用下的位移小于20m,力F要大于25N. 24.【答案】解：(1)：关于x的一元二次方程x-6x+(4m+1)=0有实数根， ∴.4=(-6)2-4×1×(4m+1)≥0 解得：m≤2. (2:方程X-6X+4m+1)=0的两个实数根为xX .X1+X2=6’X1x2=4m+1' .x1-x2=41 .(x1-x2尸=(x1+xP-4xx,=42即36-4(4m+1)=16 解得：m=1. 25.【答案】【小题1】 解：将点A1,3代入y k2之中得k-3, X 3 .反比例函数的解析式为y=二 X 心 将B3,m代入反比例函数y=二，得m=1, X ∴点B的坐标为(3,1)， 第11页，共1页 将点A1,3}B(3,1)代入y=k1X+b之中得， 解得， ∴.一次函数的解析式为y=-x+4. 【小题2】 0<x<1或x>3 【小题3】 解：设直线AB与X轴交于点C,连接PA、PB,则点C4,0 设点Pt,0 ,'S△PAB=S△PAC-SAPBC 2-4x3-2-4x1=2 解得：t=2或6 .点P2,0或6,0 26.【答案】【小题1】 设CD段对应的函数表达式为y=m(20≤x≤40)】 X 由C(20,48),得m=20×48=960, y=960(20≤x≤40. 当x=40时，y 960=24, 40 ∴.D(40,24). 由题图，可知点A对应的注意力指标是24 【小题2】 设AB段对应的函数表达式为y=x+b(0≤x<10). 将A(0,24),B(10,48)代入y=kx+b, 第12页，共1页 b=24, 得24=b, 解得， 48=10k+b, 12 k= 5 y= 5t+24. 【小题3】 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36 12 理由：当0≤X<10,y≥36时，5x+24≥36，解得x25. .0≤x<10 ..5≤x<10 当20≤x≤40，y≥36时， 960≥36，易得x≤8 X ,20≤X≤40 ∴.20≤x≤ 80 3 又，当10≤x<20时，y=48, :当5≤X<80时，注意力指标都不低于36. 3 65720, 3 :.张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36： 27.【答案】解：(1)(60-40)×[100-(60-50)×2]=1600元)； 答：每天的销售利润为1600元. 第13页，共1页 (2)设每件工艺品售价为x元(x≤65)，则每天的销售量是[100-2(x-50)]件， 依题意得：（x-40[100-2(x-50)]=1350, 解得x1=55,X2=85(不符合题意，舍去). 答：每件工艺品的售价应为55元. 28.【答案】【小题1】 -3,-1 相等 解：反比例函数y=?(m>0)和正比例函数y,=x(n>0)相交于A(3,1小、B两点， ∴.B-3,-1 设直线BC为y=ex+f,而点C(1,3), e+f=3 -3e+f=-1' e=1 解得： f=2' .直线BC为y=x+2, ∴.G0,2, A(3,1,C(1,3), 同理可得直线AC为y=-x+4, .F0,4, .CF=V1-0P+3-42=V2'CG=V1-02+3-22=V2 ∴.CF=CG 【小题2】 解：CG=CF成立，理由如下： 反比例函数y=(m>0)过A3,1,点C, X :m=3,即y1 .3 设ct,引设直线BC为y=+b 第14页，共1页 B-3,-1, -3k+b=-1 从+b=3，解得： k=1 t t b=3-1 t 1 ∴.直线BC为y= 3-1, t c0,g- 同理可得直线AC为：y= 1x+3+1, 1 tt .io. cG北-0+是-1-41cr--o2-f=4 12 tt .CG>0,CF>0, .'CG=CF. 【小题3】 解：设点Aa, gea,gc a 同理可得：直线AC的解析式为y=-mx+m+m at a t m,m 当x=0,y= a t 当y=0.-0x m+m=0, 二X+ at a t 解得：x=a+t, 第15页，共1页 点F0,m+m t a 点Ea+t,0 同理可得：直线BC的解析式为y=mx-m+m at 同理：点G0, mm, t a 点Dt-a,0' ∴DE=2a,FG=-2m DE与FG的乘积=4m. 第16页，共1页 九年级数学上学期10月学情自测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 3.已知是方程的一个根，则方程的另一个根和的值分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. 4.若反比例函数的图象的一支位于第一象限，则常数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.一元二次方程的根的情况为(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6.已知点在函数的图象上，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图是某公园在一长，宽的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为，则满足的方程为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接若平分，反比例函数的图象经过上的两点，，且，的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.方程的解是          ． 10.用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是          ． 11.如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为          ． 12.如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，当时的取值范围是          ． 13.某种药品经过两次降价，药价从每盒元下调至元，设平均每次降价的百分率是，则可列方程为          ． 14.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 15.若函数与的图象的交点坐标为，则的值是          ． 16.某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度单位：与所受阻力单位：是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为           17.关于的方程的解是，，均为常数，，则方程的解是          ． 18.如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为           ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 按括号中要求的方法解下列方程： ；直接开方法 ；配方法 ；因式分解法 公式法 20.本小题分 一个反比例函数的图象经过点． 求该反比例函数的解析式． 当时，求的取值范围． 21.本小题分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． 求一次函数与反比例函数的解析式； 求的面积． 22.本小题分 阅读下面的例题：解方程． 解：当时，原方程化为，解得，不合题意，舍去． 当时，原方程化为，解得不合题意，舍去，， 原方程的根是，． 请参照例题解方程． 23.本小题0分 同学们学习了物理知识后，知道在力单位：的作用下，如果物体在力的方向上发生位移单位：，那么力所做的功单位：满足某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如下图所示． 请根据以上信息解决以下问题： 写出关于的函数解析式； 当物体受到的力为时，求物体在该力方向上的位移； 因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 24.本小题分 已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若该方程的两个实数根为、，且，求的值． 25.本小题分 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点，为常数． 求一次函数和反比例函数的解析式； 根据图象直接写出不等式 的解集为          ； 点为轴上一点，若的面积为，求出点的坐标． 26.本小题分 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标随时间变化的函数图象如图所示当和时，图象是直线的一部分当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： 求点对应的注意力指标． 当时，求注意力指标随时间的函数表达式． 张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于请说明理由． 27.本小题分 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元． 若销售单价为每件元，求每天的销售利润； 要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 28.本小题分 反比例函数和正比例函数相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． 如图，已知点，点，直接写出：点的坐标是          ；与的数量关系是          ； 若中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； 如图，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $九 一、选择题：本题共8小题 1.下列方程是一元二次方程 A.2x-3y+1 B. 2.若点A(a,b)在反比例函数 A.0 心 3.已知2+√3是方程x2-4 A.√3-6，-1 B. 4.若反比例函数y=3-”的 A.0<m<3 B 5.一元二次方程x2-2x-1 A.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 6.己知点(-2，a(2,b)3,c) A.a<b<c B. 7.如图是某公园在一长35m 面面积的，求人行观景曲材 A.(35-x0(23-)=×2 C(35-023-)=号×2 8.如图，在平面直角坐标系 若AD平分LOAE,反比例函 年级数学上学期10月学情自测卷 每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 的是() 3x+y=Z C.x2-5x=1D.x2-1+2=0 y=的图象上，则代数式ab-4的值为() -2 C.2 D.-6 x+c=0的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为() 2-V3,-1 C.2-V3,1 D.√3-6,1 图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是() m<3 C.m≤3 D.m>3 =0的根的情况为() B.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 在函数y= 华（化>0）的图象上，则下列判断正确的是() b<a<c C.a<c<b D.c<b<a 宽23的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖 的宽.若设人行观景曲桥的宽为xm,则x满足的方程为() n 23m -35m 3×35 B.(35-x)(23-x)+2x2=23×35 3×35 D.(35-x)(23-x)=23×35 中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE 数y=兰(k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A,F,且AF=EF,△ABE的面积 第1页，共6页 为18，则k的值为() A.6 B.12 C.18 D.24 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.方程x2=2x的解是一 10.用公式法解一元二次方程，得x=-5±V52-4x3x 则该一元二次方程是· 2×3 1.如图，点A在反比例函数1=c>0)的图象上，过点A作AB1x轴，垂足为B,交反比例函数y2=x> O)的图象于点C,P为y轴上一点，连接PA,PC,则△APC的面积为一· ◆y 12.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于Am,3),B(3,m)两点，当kx+b-6>0时x 的取值范围是 13.某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是x,则可列方程 为 14.关于x的一元二次方程（飞一1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是一 15.若函数y=与y=-2x-4的图象的交点坐标为(a,b),则片+的值是一· 第2页，共6页 16.某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，其图象 如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s,则所受阻力F为N. v/(m/s) 20--- 0 3750 FIN 17.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1,(a,m,b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+ 2)2+b=0的解是 18、如图，矩形0ABC的项点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=(k≠O)的图象上，点B的坐标为 (4,3),则点E的坐标为 B 0 A 0 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题12分) 按括号中要求的方法解下列方程： (1)2(x-3)2=18;(直接开方法) (2)x2-4x-3=0:(配方法) (3)(x-3)(x+2)=x-3:(因式分解法) (42x2+3x-1=0.(公式法) 20.(本小题8分) 一个反比例函数y=(k≠0)的图象经过点P(2,-3). (1)求该反比例函数的解析式. (2)当y<-2时，求x的取值范围. 第3页，共6页 21.(本小题8分) 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m的图象交于点A(-3,m+8),B(m,-6)两点. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积. 22.(本小题8分) 阅读下面的例题：解方程x2-x一2=0. 解：(1)当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1(不合题意，舍去). (2)当x<0时，原方程化为x2+x-2=0,解得x1=1(不合题意，舍去)，x2=-2, ∴原方程的根是x1=2,x2=-2. 请参照例题解方程x2-1x-1-1=0. 23.(本小题10分) 同学们学习了物理知识后，知道在力F(单位：N)的作用下，如果物体在力F的吐发生位移s(单位：)， 那么力F所做的功W(单位：刀满足W=Fs某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当W为定值时，s A(20,25) 与F之间的函数关系如下图所示. 25 请根据以上信息解决以下问题： 20 F/N (1)写出s关于F的函数解析式： (2)当物体受到的力F为10N时，求物体在该力方向上的位移s: (3)因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于20m,求力的范围. 第4页，共6页 24.(本小题8分) 己知关于x的一元二次方程x2一6x+(4m+1)=0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为x1、x2,且x1-x2l=4,求m的值. 25.(本小题10分) 如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=2的图象交于A1,3),B(3,m两点，k1,k2,b为常数. (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)根据图象直接写出不等式k1x+b<2的解集为一： B (3)点P为x轴上一点，若△PAB的面积为2，求出点P的坐标. 26.(本小题12分) 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣 激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y随时间x(mn)变化的函数 图象如图所示.当0≤x<10和10≤x<20时，图象是直线的一部分；当20≤x≤40时，图象是双曲线的 一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求点A对应的注意力指标。 (2)当0≤x<10时，求注意力指标y随时间x(min)的函数表达式. (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20mi,他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的 讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由， 48 01020 40 x/min 第5页，共6页 27.(本小题8分) 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单 价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价 不得超过65元. (1)若销售单价为每件60元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 28.(本小题12分) 反比例函数y1=(m>0)和正比例函数y2=x(m>0)相交于A、B两点，点C在y1=”上，点A、C均在第 一象限，且点C在点A的左上方，直线AC、BC与y轴分别交于点F、G. 图1 图2 (1)如图1，已知点A(3,1),点C(1,3),直接写出：①点B的坐标是一；②CG与CF的数量关系是： (2)若(1)中的条件点A坐标不变，随着点C的变化，判断(1)中的“CG与CF的数量关系”是否仍然成立？若成 立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由： (3)如图2，直线AC、BC与x轴分别交于点E、D,经过探索发现：随着点A、C的变化，DE与FG的乘积只与m 的取值有关，请用只含m的代数式表示DE与FG的乘积. 第6页，共6页