精品解析：江苏省扬州市江都区邵樊片2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 的半径，点C到圆心的距离为，则点C与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 无法确定 3. 已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( ) A B. C. D. 4. 若是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在⊙O中，，则下列结论正确是( ) A. AB>2CD B. AB＝2CD C AB<2CD D. 以上都不正确 6. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程，若方程只有一个实数根小于2，则的取值范围是（ ） A B. C. a＜0 D. 8. 我们把b2±4ac＝0称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）的共轭判别式，我们知道当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）有两个相等的实数根：x1＝x2＝；那么其共轭判别式b2＋4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）的根x＝______，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 9. 若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 10. 如果是关于的一元二次方程，那么的值为________． 11. 如图，在⊙O中，，，则___________. 12. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规则，方程（x+1）*3=0的解为______． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______． 14. 一个点P到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________ 15. 若，则代数式的值为_________． 16. 若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为______． 17. 关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，AO，则△AOP面积的最大值为____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数． 21. 已知关于的方程 （1）当该方程的一个根为时，求的值； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个实数根． 22. 如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 23. 请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 24. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． （1）若，求的度数； （2）设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 25. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径． 26. 中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 27. 小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 28. 在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： （1）如图①，t为何值时，的面积等于； （2）如图②；若以点P为圆心，为半径作⊙P．在运动过程中，是否存在t值，使得⊙P经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，若以Q为圆心，为半径作⊙Q，若点E是此时⊙Q上一动点，F是中点，连接，则线段的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可. 【详解】解：A、是一元二次方程； B、含有2个未知数，不是一元二次方程； C、当时，方程不是一元二次方程； D、含有2个未知数，且含有分式，不含2次项，不是一元二次方程. 2. 的半径，点C到圆心的距离为，则点C与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，当时，点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点C在圆内． 根据点与圆的位置关系，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴点C在外， 故选：C 3. 已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可. 【详解】x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根， 这里a=1，b=-2，c=0， b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0， 所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； ，故D选项错误，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 4. 若是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简原方程，将代入方程得到关于的等式，变形求出，最后代入代数式计算结果． 【详解】解：，整理得：． ∵是该一元二次方程的根， ∴，移项得：， ∴． 5. 如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是( ) A. AB>2CD B. AB＝2CD C. AB<2CD D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：首先取的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中， =2，可证得==，即可得AE=BE=CD，然后由三角形的三边关系，求得答案． 解：取的中点E，连接AE，BE， ∵在⊙O中，=2， ∴==， ∴AE=BE=CD， ∵在△ABE中，AE+BE＞AB， ∴2CD＞AB． 故选C． 6. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 7. 已知关于的一元二次方程，若方程只有一个实数根小于2，则的取值范围是（ ） A. B. C. a＜0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过因式分解求出方程的两个实数根，再根据“只有一个实数根小于2”的条件，结合两根的大小关系列出不等式组求解，进而确定的取值范围． 【详解】解：∵原方程可因式分解为：， ∴方程的两个实数根为，． ∵， ∴， ∵方程只有一个实数根小于2，即两个根中一个小于2，另一个不小于． ∴，即， 解得． 8. 我们把b2±4ac＝0称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）的共轭判别式，我们知道当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）有两个相等的实数根：x1＝x2＝；那么其共轭判别式b2＋4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）的根x＝______，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式为0，由共轭判别式解得b2﹣4ac＝2b2≥0，从而用求根公式计算一元二次方程的根． 【详解】解：∵b2＋4ac＝0， ∴b2＝﹣4ac， ∴b2﹣4ac＝2b2≥0， ∴x＝＝＝； 故选：D． 【点睛】本题考查根的判别式，其中涉及分母有理化、一元二次方程的根等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 9. 若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 10. 如果是关于的一元二次方程，那么的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得的取值范围． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 11. 如图，在⊙O中，，，则___________. 【答案】50° 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案是：50°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 12. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规则，方程（x+1）*3=0的解为______． 【答案】x1=2，x2=-4 【解析】 【分析】根据新运算规则，将转化为一元二次方程，再根据开平方法求解即可． 【详解】解：根据新运算规则，可化为 ∴ ∴或 ∴， 故答案为， 【点睛】此题考查了开平方法求解一元二次方程，涉及到了新运算规则，理解新运算规则并掌握开平方法求解一元二次方程是解题的关键． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立；利用判别式，根据不等式即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴， ∴，且， 故答案为且． 14. 一个点P到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________ 【答案】3cm或8cm 【解析】 【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解． 【详解】解：当点P在圆内时，最近点距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm； 当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm； 故答案为 3cm或8cm 15. 若，则代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，设，将原方程变为求解即可． 【详解】解：设，则方程为， 即， 解得，（舍去）， 则， 故答案为：． 16. 若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程的解的定义，把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0，然后把等式两边除以n即可． 【详解】∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根， ∴4n2﹣4mn+2n=0， ∴4n﹣4m+2=0， ∴m﹣n=． 故答案是：． 【点睛】本题考查了一元二次方程解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 17. 关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【答案】， 【解析】 【分析】令，再利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则关于的方程可化为， ∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，，即，． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，AO，则△AOP面积的最大值为____． 【答案】． 【解析】 【分析】当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得． 【详解】解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图， ∵过P的直线是⊙D的切线， ∴DP垂直于切线， 延长PD交AC于M，则DM⊥AC， ∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝ =5 ∴OA＝ ， ∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD， ∴△ADM∽△ACD， ∴ ， 即 ∴DM= ∴PM=PD+DM=1+= ∴△AOP的最大面积＝OA•PM＝ = 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】（1）先移项将方程右侧的项移到左侧，再提取公因式进行因式分解，进而得到方程的解； （2）利用十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再求解方程． 【小问1详解】 解：移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：因式分解得：， ∴或， 解得：，． 20. 如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 已知关于的方程 （1）当该方程的一个根为时，求的值； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个实数根． 【答案】（1）； （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据方程的根的定义，将已知的根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可求出的值； （2）对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个实数根． 【小问1详解】 解：∵关于的方程的一个根为， ∴，解得． 【小问2详解】 解：对于一元二次方程， 根的判别式， ∴不论取何实数，该方程都有两个实数根． 22. 如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】连接矩形的两条对角线，利用矩形对角线相等且互相平分的性质，推导出四个顶点到对角线交点的距离相等，再根据“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”的圆的定义，即可证明四点共圆． 【详解】证明：如图，连接矩形的对角线、，交于点． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∴点、、、四点在以为圆心，为半径的同一个圆上． 23. 请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 24. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． （1）若，求的度数； （2）设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 【答案】（1）； （2）是，理由见详解． 【解析】 【分析】（1）先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据等腰三角形两底角相等求出的度数，最后用减去得到的度数； （2）先通过勾股定理求出的长度，进而得到的表达式，再通过代入验证或解一元二次方程的方式，判断是否为方程的根． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：是，理由如下： ∵中，，，， ∴， ∵， ∴． 当时， ． ∴的长度是方程的一个根． 25. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径． 【答案】（1）补全图形见解析；（2）圆形截面半径为10cm. 【解析】 【详解】试题分析：（1）作任意两条弦的垂直平分线，垂直平分线的交点即为圆心，从而得到结果； （2）设这个圆形截面的半径为xcm，先根据垂径定理定理求得BD的长，再根据勾股定理列方程求解即可. （1）先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形； （2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB ∵OE⊥AB ∴BD=AB=×16=8cm 由题意可知，ED=4cm 设半径为xcm，则OD=（x-4）cm 在Rt△BOD中，由勾股定理得： OD2+BD2=OB2 ∴（x-4）2+82=x2 解得x=10． 即这个圆形截面的半径为10cm． 考点：垂径定理、勾股定理 点评：垂径定理及勾股定理的应用是圆中极为重要的知识点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握. 26. 中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为； （2）涨价5元 【解析】 【分析】（1）利用“原价×(1-下降百分率)2=两次降价后的价格”列方程，注意下降百分率的取值范围是，需舍去不合题意的解． （2）根据“每盒盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择使日销售量更大的涨价金额(即较小的涨价数值)． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为， 根据题意可得：， 解得，(舍去)， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每盒应涨价元， 根据题意可得：， 展开化简得：， 因式分解得：， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每盒应涨价5元． 27. 小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】尝试：当时，先根据弧的三等分性质得到等弧，进而推出等弦；再通过等腰三角形内角计算，证明，得出，同理证明，最终得到； 猜想：同理，对的情况，通过计算等腰三角形的内角，证明，得出，同理，结合等弧对等弦的性质完成证明． 【详解】尝试：证明：如图，连接、， 是三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 猜想：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 28. 在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： （1）如图①，t为何值时，的面积等于； （2）如图②；若以点P为圆心，为半径作⊙P．在运动过程中，是否存在t值，使得⊙P经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，若以Q为圆心，为半径作⊙Q，若点E是此时⊙Q上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】（1）或5 （2），理由见详解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． （1）直接利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题； （2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理构建方程即可解决问题； （3）先求出，连接，，取的中点，连接，，作于，则，，根据，可得，，，再求出，，根据即可解决问题． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， 由题意设运动时间为t秒， ∴，， ∵的面积等于， ∴， 整理得：， 解得：，， 即或5时，的面积等于； 【小问2详解】 在运动过程中，存在t值，使得⊙P经过点C，理由如下： 如图②，连接， ∵⊙P经过点C， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得： 或（不合题意，舍去）， ∴当时，⊙P经过点C； 【小问3详解】 ∵为半径，且， ∴， 如图③，F是的中点，连接，，取的中点M， 连接，，作于N， 则，， ∵， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 在直角三角形中， 由勾股定理得：， ∴， 即线段的最大值为． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $