黑龙江省大庆市大庆中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

《2026--2027学年度上学期月考考试》参考答案 回景▣互薄 动弱 白题断 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B D C B A BD CD 题号 11 答案 ABD 1.A 【分析】由复数除法运算结合复数模概念可得答案 【详解】z=”=号-2 5 ,则z=、 层+罗- 2.B 【详解】把这组数据由小到大的顺序排列，得：4.6,4.8,5.1,53,5.3,5.6,5.6,5.6,5.8,6.4,6.6， 7.1, 因为12×25%=3，所以25%分位数为51153=5.2. 2 3.A 【详解】设a与b的夹角为6,6∈[0，可， 由a+2b=2v3得1a+2=(a+2)(位+2b=2+4a.方+462=1a2+4a,b+4b=12, 因为a=2,b1=1,所以22+4a·b+4×12=12, 因此a·b=1,所以cos0= ab 又0e0,,所以6=号 4.D 【详解】已知a=(1,1),b=(-1,2), 则a+五=(1-1，λ+2)， 又(a+1万，则(a+·五=0， 得-1×(1-1)+2×(0+2)=0，得1=-5. 5.B 【分析】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可 得 【详解】依题意将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补全为正四棱锥P-ABCD,如下图所示： 答案第1页（共10页） A B A 因为0-子-克且A,B/AB,故A:C为△PAC的中位线， 所以PA=2AA1=4V2,同理可得PC=4V2, 因为四边形ABCD是边长为4的正方形，故AC=V2AB=4V2, 所以△PAC是边长为4W2的等边三角形， 设ACO BD=0,由正四棱锥的结构可知：P01平面ABCD,且P0=PA:sin60°=4V2×5-2V6, 故正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为h=P0=V6, 所以正四棱台ABCD-A1B1CD1的体积为V=×(2+42+V2×伞)×V6=285 3 6.C 【详解】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h 因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为π， 所以展开图弧长等于底面周长，即πl=2→1=2r 又圆锥的侧面积为S侧=rl=22=2π. 解得r=1,1=2 圆锥的高为h=√2-r2=√22-12=√3. 放圆锥的体积为y=2h=×12×5=9元 7.B 【详解】设△ABC外接圆的圆心为O1,三棱锥P-ABC外接球的球心为O,连接AO1,OO1,AO, 则0011平面ABC. 因为PA1平面ABC,所以PA//O01, 作0F1PA,连接0P,又∠FA01=∠001A=90°， 所以四边形0FA01是矩形，所以AF=O01,又OP=OA, 则AF=PA,即001=PA=1. 设△ABC外接圆的半径为T,三棱锥外接球的半径为R. 答案第2页（共10页） 因为AB=AC=BC=2,所以△ABC是正三角形， 由正弦定理得2r=AC 可得=后 sin60° 所以R= oo+=+=层 则外接球的表面积为S=4πR2=28m 3 8.A 【分析】写出数列的前几项，发现规律，利用数列的周期性求解问题 【详解】a1=1,a2=4a3=2,a4=1,as=4,a6=2,a7=1,,可以发现数列{an}是周期为3的周期数列， 10g2a1=0,l0g2a2=2,l0g2a3=1,l0g2a4=0,l0g2a5=2,l0g2a6=1,l0g2a7=0,… 可以发现数列{log2a}是周期为3的周期数列， 因为2026=3×675+1 所以数列{log2a}的前2026项和为675×(0+2+1)+0=2025. 9.BD 【详解】对于A,若m/a,nca,则m/n或直线m与直线n互为异面直线，故A错误： 选项B,若m1a,n/a,根据线面垂直的性质与线面平行的性质可得m1n,故B正确， 选项C,若mc,nca,且m//B,n/B,则a/B或平面a与平面B相交，故C错误： 选项D,若1B,m1%,n1B,根据面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理可得m1n,故D正确. 10.CD 【分析】利用简单随机抽样的意义判断A,利用平均数和方差的计算公式判断B,利用百分位数的定义判 断C,利用方差的性质判断D, 【详解】对于A,一个总体含有50个个体，从该总体中抽取一个容量为5的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为品=。故A错误： 对于B,因为数据1,2，m,6,7的平均数是4，所以+2+m+6+=4,解得m=4, 5 这组数据的方差是s2={[1-42+(2-4)2+(4-42+(6-4)2+(7-4]=9,故B错误： 对于C,该组数据从小到大排列为12,14,15,17,19,23,27,30，又8×70%=5.6， 答案第3页（共10页） 故这组数据的第70百分位数为第6个数，即23，故C正确： 对于D,依题意，s2=82,则数据2x1一1,2x2-1,2x10-1的方差为4s2=162, 故数据2x1-1,2x2-1,2x10-1的标准差为16，故D正确 故选：CD 11.ABD 【分析】对于A,连接B1D,BD,先证得EP∥B1D1,再利用线面平行的判定定理证明PE∥平面B1D1D:对 于B,结合正方体的特点及图形举例即可判断：对于C,由三棱锥的体积公式结合题设可得P到平面D1EA 的距离为2，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量列方程求出点P的轨迹方程，进而求解判断即可； 对于D,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接FB1,可得平面AEP截正方体所得截面为梯形AEPB1, 进而求解判断即可， 【详解】对于A,连接B1D,BD,由正方体ABCD-A1B1C1D1得B1D1∥BD, 由E、P分别为棱CD、BC的中点得EP∥BD, 所以EP∥B1D1, 又EP￠平面B1D1D,BDC平面B1D1D,所以PE∥平面B1D1D,故A正确： D A B D 对于B,如图，点MN、Q分别为A1A,D1D,B1B上的点，且AM=3MA1,D1N=3ND,B1Q=3QB,此时过 点E、P、MN、Q的平面为五边形，故B正确： D A ⊙ .----7C ⊙ 对于C,由于D1A=2V2,AE=D1E=V5, 则coS∠D1EA=4E2+A2-D14-5+5-8 2D1E·AE 所以sinD1EA=√1-c0s2ZD1EA=25, 51 则SaDA-D1E·AE·sinD1EA=×V5XV5x25=V6, 2 答案第4页（共10页） 设P到平面D1EA的距离为h, 由Vai-PaE=Vp-DAE=SaD,B4h=誓h=手则h=25, 以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， Z◆ B D E B 则A(2,0,0),E(0,1,0),D1(0,0,2),设P(a,2,b),0≤a≤2,0≤b≤2， 则AE=(-2,1,0),AD=(-2,0,2),AP=(a-2,2,b), 设平面D1AE的一个法向量为m=(x,y,Z), 则m-正-2x+y=0,取x=1,得元=12)， (m·AD1=-2x+2z=0 则h=丽m=la-2+1=a++2=-26,即a+b=2, √6 31 所以点P的轨迹为线段BC1,而BC1=2V2, 则动点P的轨迹长度为2V2,故C错误： 对于D,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接FB1, 而E为DC的中点，P为CC1的中点，则P为FB1与CC1的交点，E为AF的中点， 即AB1/PE,PE=AB1=V2, D C A B B 所以平面AEP截正方体所得截面为梯形AEPB1, 而AB=8P=V5,则梯形APB,的病为V同-（今-9， 所以梯形ABPB,的面积为(V2+2V回×9=号故D正确， 12.30肾 答案第5页（共10页） 【详解】由AB/EF知∠FEG为异面直线AB和EG所成的角. 在RAEF6中，ta/FEG--器=后=县则4FEG=30. 即异面直线AB和EG所成角的大小是30° D 13.(儡+∞ 【详解】2Sn=3+1-3,2a1=9-3=6,a1=3,当n>1时，2a=2Sn-2S,m-1=3m+1-3m=2× 3,a=3”.又31=a1且(21-1a>36(m-3),21-1>360,得1>+180》，因为18m2- 3n 3n 3n+1 18(n-3)=18(7-20 3n 3n+1 所以当m=4时，+182取得最大值，最大值为+8g=品，1>8，故答案为 3n 34 (侣+ 14.8V6 【分析】取BC的中点E,A1D1的中点F,先利用面面平行判定定理证明平面FDEB1//平面CND1,得出四 边形FDEB1为平面a截正方体所得截面图形，易得四边形FDEB1是菱形，求得该菱形的边长即可求得面积. 【详解】如图，取BC的中点E,A1D1的中点F,连接DE,B1E,B1F,FD, D N 因为E,F分别为BC,A1D1的中点，所以FD1/IB1N,FD1=B1N, 所以四边形FD1NB1是平行四边形，所以FB1/D1N, 又因为D1NC平面CND1,FB1￠平面CND1,所以FB1//平面CND1, 同理B1E/平面CND1, 又B1E∩FB1=B1,B1E,FB1C平面FDEB1,所以平面FDEB1/平面CND1, 即四边形FDEB1为平面a截正方体所得截面图形 由正方体的棱长为4，易得四边形FDEB1是边长为2√5的菱形， 答案第6页（共10页） 对角线即为正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线B1D=V3×42=4V3, 因为D1F/CE且D1F=CE,所以四边形ECD1F为平行四边形， 又EF=CD1=V+平=4V2, 所求截面的面积s=×4W3×4W2=8V6. 15.a9 (2)1 【分析】(I)利用正弦定理将边化为角得到等式，结合角B范围及已知条件求出siB (2)先由sinB求出cosB,再用余弦定理结合a与c关系求出c,最后根据三角形面积公式求出面积. 【详解】(I)由正弦定理可得：2 sin Asin B+sin B cos A=sinC, sin C=sin[it-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos Asin B, 所以2 sin Asin B=sin Acos B,又sinA≠0，所以cosB=2sinB, 因为sin2B+cos2B=1,得5sin2B=1, 又0<B<r,所以sinB-5 (2)由(1)可知cosB=2sinB=25, 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B, 又a=V5c,所以4=5c2+c2-25e×25,即22=4，且c>0,解得c=V2. 所以5aBc=acsin B=×Vio×V2x5=1. 5 16.(1)证明：在△ABC中，D,E分别为BC,AC的中点， 于是DE/AB, 由直三棱柱ABC-A1B1C1可得：A1B1/AB, 所以A1B1/DE, 又DEC平面DEC1,A1B1￠平面DEC1, 所以A1B1/平面DEC1 (2)证明：在△ABC中，E为AC的中点且AB=BC, 可得BE⊥AC, 由直三棱柱ABC-A1B1C1可得，AA11平面ABC, 又BEC平面ABC,AA1⊥BE, 因为AA1∩AC=A,AA1,ACC平面ACC1A1 所以BE1平面ACC1A1,又C1Ec平面ACC1A1, 所以BE⊥C1E. 答案第7页（共10页） (3)当LABC=5,AA1=CC1=3,且AB=BC=2,D,E分别为BC,AC的中点， 所以△DCE是边长为1的正三角形， 由直三棱柱ABC-A1B1C1可得，CC1⊥平面ABC,CC1即为三棱锥C1-EDC的高 则Vc-c,D=V6-EcD=ScD·C1C=x年×3-5 4 【分析】(1)依题DE/AB且A1B1/AB即可得A1B1/DE从而得证： (2)由直三棱柱性质得到AA1⊥BE,再由BE L ACE即可得到BEI平面ACC1A1从而得证； (3)求出△DCE的面积，然后利用锥体的等体积公式求解即可. 【详解】(1)略 （2)略 (3) 17.(1)因为PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,则PD⊥BC, 又因为底面ABCD是正方形，则CD1BC, 且PDnCD=D,PD,CDC平面PCD,可得BC⊥平面PCD, 由DEC平面PCD可得DE 1 BC, 因为PD=CD,E为PC中点，则DE⊥PC, 且BC∩PC=C,BC,PCc平面PBC,所以DE⊥平面PCB. (2)设AC∩BD=O,连接P0, D C O B 因为PDI平面ABCD,ACC平面ABCD,则PD L AC, 又因为底面ABCD是正方形，则BD⊥AC, 且PD∩BD=D,PD,BDC平面PBD,可得ACI平面PBD, 且ACc平面PAC,所以平面PACI平面PBD. 6层 【分析】(I)根据题意可证BC1平面PCD,即可得DE L BC,根据三线合一可得DE1PC,即可得线面垂 直： (2)根据题意可得PD⊥AC,BD⊥AC,可得AC1平面PBD,即可得面面垂直： 答案第8页（共10页） (3)分析可知直线PA与平面PBD所成角为LAPO,结合题意运算求解即可. 【详解】(1)略 （2)略 (3)因为AC1平面PBD,P0C平面PBD,则AC⊥PO, 可知直线PA与平面PBD所成角为LAP0∈[O,习， 由题意可知：PA=22,A0=V2, 则sin-AP0-9-京可得∠AP0-君 所以直线PA与平面PBD所成角的大小为号 18(①0a=n-8,5n=2-n (2)106 【分析】(1)由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案： (2)由题可得数列{an}是递增数列，当n=8时，am=0;当n≤7时，a,<0:当n≥9时，an>0,从 而T20=-(a1+a2++ag)+(ag+a10+…+a20),据此可得答案. 【详解】(1)因为a3+a5=2a4=-8,所以a4=-4, 设等差数列(a}的公差为d,则d=4==二4-6=1， 4-2 2 从而a1=a4-3d=-7,故am=a1+(m-1)d=-7+(n-1)=n-8, s.=na1+d=-7m+x1=2-n 2 (2)因为公差d=1>0,所以数列{an}是递增数列，令am=0,解得n=8, 所以当n=8时，a=0;当n≤7时，a,<0:当n≥9时，am>0, 由1)知，5.=n2-n, 所以T20=-(a1+a2+…+ag)+(ag+a10++a20)=-S8+(S20-Sg)=S20-2S8, 因为5。=82-15x8=-28,所以20=202-15×20-2×(-28)=106 2 19.1)a=2n-1:2)Tn(3)[原) 【详解】(1)当n=1时，a=S1=(色)，a1=1 当m≥2时，a=5.-S-1=(色)°-（色=9，化简得a-a-1=2, 所以an=2n-1. (2)由(1)知，an=2n-1. 则b.=ar+nt西-2n=(-） 1 答案第9页（共10页） 所以。=(-++…+日)=-)= （3)T1-T。=n=o网>0， 1 ∴.{Tn}单调递增， In2T1=吉 < 要使得"<T。<恒成立，则只需！ m2<1,解之得≤m< 4 ∴实数m的取值范围是[) 【思路点拨】(1)由前n项和Sn满足Sn= (,可以再写一项作差，即a=S.-5-1=() ~(),整理得到通项 (2)由4)知，a=2n-1则b.=a四-) 裂项求和即可： (3)由第二问得到T将该式了作差和零比，即7+1-1=4++>0，研究该式子的单调性， 1 求最值. 答案第10页（共10页）2026---2027学年度上学期月考考试 高二年级数学试题 命题人：刘建华 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题 1.已知复数z满足z=-4(1为虚数单位)，则2=( 2+1 A.V5 B.V10 c. D. ⑩ 10 2.下表记录了某地区一年之内的月平均降水量. 月份 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月平均降水量/cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6 则25%的分位数为() A.5.1 B.5.2 C.5.3 D.5.6 3.已知向量ā，满足同=2，同=1，a+2b=2V3.则a与五的夹角为() A.月 B.日 c.8 D. 4.已知a=(1,1),=(-1,2),若(1a+1b,则2的值是() A.3 B.-3 C.5 D.-5 5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为2V2,则该四棱台的体积为() A.20v6 3 B.28v6 3 C.20v 3 D.287 3 6.己知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是() A. B.u C. D.π 试卷第1页 7.己知三棱锥P-ABC中，若PAI平面ABC,AB=AC=BC=PA=2,则三棱锥P一ABC外接球的 表面积为() A.4π B.28m 3 C.56x 3 D. an为偶数 8.已知数列{an}满足a1=1,an+1= 则数列1og2an}的前2026项和为() 3am+1,an为奇数 A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 二、多选题 9.己知m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若m//a,nca,则m//m B.若m⊥a,n//a,则m1n C.若mca,nca,且m/B,n//B,则a//β D.若a1B,m1,nB,则m⊥n 10.下列说法正确的是（) A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则总体中个体M 被抽到的概率为0.03 B.已知一组数据1,2，m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23 D.若样本数据x1,X2,,X10的标准差为8，则数据2x1-1,2x2-1,,2x10一1的标准差为16 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，动点P在侧面BCC1B1内 (含边界)运动，则() D A.若P为BC的中点，则PE∥平面B1D1D A B.过点E,P的平面截正方体所得截面可能为五边形 B C.若三棱锥D1一PAE的体积为，则动点P的轨迹长度为 3 D D.若P为棱CC1的中点，则平面ABP截正方体所得截面面积号 B 第II卷（非选择题） 三、填空题 (共2页) 12.在长方体ABCD-EFGH中，AB=2V3,AD=2,则异面直线AB和EG所成角的大小是 13.已知数列{an}的前n项和为Sm,且2Sm=3+1-3,若(21-1)a,>36(n-3)对一切n∈N*恒成 立，则实数λ的取值范围是 14.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，N为B1C1的中点，若过B1D的平面/平面CND1, 则平面α截该正方体所得截面图形的面积为一· D B B 四、解答题 15.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2 a sin B+bcosA=c. (1)求sinB; (2)设a=V5c,b=2,求△ABC的面积S△4Bc: 16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别为BC,AC的中点，AB=BC=2 B (1)求证：A1B1/平面DEC1; (2)求证：BE⊥C1E; (3)若LABC=5,AA1=3,求三棱锥C-EDC1的体积. 试卷第2页 17.如图，四棱锥P-ABCD中，PD1平面ABCD,底面ABCD是正方形，PD=AB=2,E为PC中点. E D共 B (1)求证：DE⊥平面PCB; (2)求证，平面PAC1平面PBD: (3)求直线PA与平面PBD所成角的大小 18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=-6,a3+as=-8. (I)求{an}的通项公式及前n项和Sn: (2)求数列lanl}的前20项和T20 19.己知数列{anJ的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn () (1)求{an的通项公式： (2)设bn=a+an+tD’ 1 求数列{bn}的前n项和Tn: (3)在(2)条件下，若"。<Tn<对一切n∈N恒成立，求实数m的取值范围. 4 (共2页)