黑龙江哈尔滨市第三中学校2026-2027学年度高二上学期10月月考数学试题

哈三中2026一2027学年度上学期 高二学年10月月考数学试卷 考试说明：(1)本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时间为120分钟： (2)第1卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.己知直线1经过A(2,-1),B(0,1)两点，则直线1的倾斜角为 A买 B. C. 2.过点A(-1,2),B(3,-2)的面积最小的圆的标准方程为 A.(x+1)2+y2=8 B.(x-1)2+y2=8 C.(x+1)2+y2=32 D.(x-1)2+y2=32 3.已知两条直线l:ax+2y-1=0和l,:x+(a+1)y-1=0,aeR,若lWl,则a的值为 A.-2 B.-2或1 c.1 D.-1或2 4.已知F,B是椭圆女+上=1的左，右焦点，点4是椭圆上的一个动点，当△A5,的面 43 积最大时，其内切圆的半径是 A.1 B. c.3 D.⑤ 3 5.已知直线1：x-y-3k-4=0与⊙C:x2+y2-6x+2y-6=0交于A,B两点，当 ∠ACB=120°时，k= B.±1 c. D.±V5 2 高二数学第1页共6页 6.已知点A(L,2),点9是圆(x-5}+(y-6=1上的动点，点P是直线x-y-1=0上的 一个动点，则PQ+PA的最小值为 A.2W10+1 B.2W10-1 C.4V2+1 D.4V2-1 +存=1(a>b>0)的左，右焦点分别为斤，乃，0为坐标原点，过5的直 线与C交于4，B两点，且AF=2FB,EA⊥AB，则C的离心率为 A.3 B.5 3 c. D.2 2 8.己知点P是直线1：2x+y+1=0上一点，过点P作圆C:(x-1)+(y-2)2=4的两 条切线，切点分别为A,B,则P4.PB的最小值为 A.8/2-12 B.12-8V2 D 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知直线：2x-y-2=0,1,:ax+2y-6-2a=0(a∈R),则下列说法正确的是 A.m=(1,2)是直线11的一个方向向量 B.若4，则1与4，的距离为5 5 C.若1，在两坐标轴上的截距相等，则α=2 D.原点到1，的距离的最大值为√13 10已知稀圆C:兰+ 立+方=1a>b>0),左，右焦点分别为R,R,点P为椭圆C上的 动点，则下列说法正确的是 A.PFPF的最大值为a B.若椭圆C上存在点P，使得PF=2PF,则该椭圆离心率的取值范围为 高二数学第2页共6页 C若∠RPR-胥，则△KPR,的面积为56 D.当a2=16,b2=7时，坐标原点为O,则OP.PF的取值范围为[28，-3] 11.已知圆O:x2+y2=4,则下列说法正确的是 A.若M,N是圆O上的两点，且MW=2V3,则MN的中点到直线 1:3x+4y-20=0的距离的最大值为2 B.已知AC,BD为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为ML,√2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为5 C.过直线x+y-10=0上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB 2 过定点 5'5 D.设P为直线x=-4上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A,B,两条 切线A,PB与直线x=-3分别交于M,N两点，则的最小值为2 第Ⅱ卷（非选择题，共2分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置 上. 12.已知圆C:x2+y2=5和圆C2:x2+y2+4x-8y+m=2011有3条公切线，则m= 13.已知线段AB的长为6，动点C满足C4CB=-5,则动点C形成的轨迹的长度为 高二数学第3页共6页 14.离心率e清足e=5-1的椭因被称为黄金椭圆，若上+ =1(m>10)是“黄金 2 m10 椭圆心，则m=一；“黄金椭圆”C:X 3+少，=1(a>b>0)的两个焦点分别为 E(-c,O),F(c,O)c>0),P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是△FPF,的 PN 内心，连接PM并延长交FE,于N,则 MN 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(本题满分13分) 已知圆C经过A(1,2),B(3,4),D(1,6)三点. (1)求圆C的方程： (2)点P(0,5)为圆C内一点，弦MN恰好被点P平分，求直线MN的方程， 并判断△CMN为钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形？ 16.(本题满分15分) 己知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,边 AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0.求： (1)直线BC的方程： (2)△ABC的面积. 高二数学第4页共6页 17.(本题满分15分) 圆卫：±X=1(a>b>0的长轴长为4，短轴长为23，乃为椭圆B的左 + (1)求椭圆E的方程； (2)若，1，为过点的两条互相垂直的直线，设直线1与椭圆E交于A,C两点， 直线l,与圆(x-1)+y=16交于B,D两点，求四边形ABCD面积的取值范围. 18.（本题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(0,2),B(4,2),且圆心在直线 y=2x-4上. (1)求圆C的方程： (2)已知点M(x,y)为圆C上的动点，求√3x+y的取值范围： (3)点D1,-1),设圆A的半径为r,E,F为圆A上不同的两点，若对于线段BD上 任意一点P,都存在E,F使EF=2PE,求r的取值范围 高二数学第5页共6页 19.(本题满分17分) 在平面直角坐标系中，对给定的圆与定直线，可通过射线截取的方式生成一条叶状曲 线，该曲线从坐标原点O出发，上下两支向上下两侧无限撑开，因形状像叶子而得名， 其方程为T。:x(x2+y)-2y2=0,a>0.如图所示，平面内给定直线1。：x=2a 和定圆C,:(x-a)2+y2=,从坐标原点O引射线分别交圆C。和直线1。于A,B 两点，在射线OA上取一点M,满足OM=AB. B (1)求叶状曲线T,的横坐标的取值范围； (2)求证：点M在叶状曲线Ta上： (3)当a=1时，已知不过原点的直线1与叶状曲线T,交于 三点P(i=1,2,3),记直线OP的斜率为k,直线OP与圆C,交于点 Q,(s,乃xy≠0)，若k,+k,+k=4,试探充：↓++的值是否为定值？ 乃y2y3 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由， 高二数学第6页共6页高二上十月月考数学答案 一、 单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A D c B B A 二、多选题 题号 9 10 11 答案 ABD ACD BCD 三、填空题 12.2026 13.4m 45+5V5,5+3 三、解答题 15解：()）直线AB的斜率为k。 4-2=1 3-1 因此AB的垂直平分线方程为：y-3=（-1)(x-2),即x+y-5=0 AD的垂直平分线方程为y=4 解得圆心C(1,4). 圆的半径r=AC=2 故圆的标准方程为：(x-1)2+(y-4)2=4 2)由垂径定理可知：CP1MN,k-4-,kw=l, Γ0-1 所以MN的直线方程为：y-5=x-0,即x-y+5=0 圆心C到直线x-y+5=0距离d=L-4+5-2, 2 所以MW=2VMCP-PCP=22 MCP+NCPAMNP,∴△CMN为直角三角形 m-2n-5=0 16解：)设点(m小，则点生5生)， 由已知有 2xm+5_n+1-5=0 2 2 im=-1 2x-y-5=0 n=-3故点B(1-3列，同理设C(x)则y-1 52 =3则点C(4,3), x=4 所以：-子-？所以直线8C的方程为y+3-号x+,化为搬式方程为 6x-5y-9=0 (2)由(1)知BC=V(4+1)}+(3+3)}2=√61，直线BC的-般式方程为6x-5y-9=0 BC边上的高即点A到直线BC的距离为h=B0-5-9_16 V62+52V61 1解：)+= 2)设的方程为y=k(x+1)k≠0)，A(,),B(x2,y2) [y=k(x+1)(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0 联立{ 得 42-12, 43 -8k2 02 4Cl=+=+k+x)-4xp=1+k 4k2-12 4. 4K2+3 4k2+3 _1252+1) 12V2(k2+1) 4k2+3 或者4C-2a+es+5广4+8） 24k2+3 4k2+3 过且与（垂直的直线：y=-(x+1),则图心到，的距离为d= 2 Vk2+1 以02-20-层-4g 放四边形cD面积4C0-243y 购93.兮1号1 +,1<23 4k2+331 1<85, 所以12<121+42+31 当1的斜率为0时，S=8√3， 当l的斜率不存在时，S=12, 故四边形ABCD面积的取值范围为[12,8V5] 18.(1)(x-22+y2=8; 2)设x=2+2W2cos8,y=2W2sin8,则 5x+y=52+22as+2sm9-25+4m(9+到e[26-45.25+4] 3)直线BD的方程为y=x-2,设P(m,n)1≤m≤4)，F(x,y), 2m+x 2n+y 则E 33 又E,F都在半径为r的圆A上，所以 x2+(y-2)2=r2 x2+(0y-2)2=r2 2+2a-2=2m+0-6+2=r 3 因为关于x，y的方程组有解，即以(0,2)为圆心，r为半径的圆与以(-2m,6-2n)为圆 心，3r为半径的圆有公共点，所以3r-≤V(2m}+(2-6+2n}≤r+3r, 又n=m-2,所以r≤V2m2-8m+16s2r对Vm∈Ll,4]成立 而f(m)=2m2-8m+16在[1,4]上的值域为8,16]，所以r≤2√2且2r≥4，即 2≤r≤2√2.当r=2√2时，线段BD与圆A切于点C,不满足题意，所以2≤r<2√2 故圆A的半径r的取值范围为「2,2√2) 19.解： (1)「。：x(x2+y2)-2y2=0,a>0 y2= x3 0，x≠2a,解得0≤x<2a 2a-x ∴.叶状曲线「厂的横坐标的取值范围是0,2a) 2)OB:y=kx,联立C(x-a)2+y2=a2得： (1+k2)x2-2a=0,x≠0，A( 2a 2ak 1+k2’1+k2) OB:y=kx,联立l。:x=2a得：B(2a,2ak) 0M=4B2ak,2a之(22 1+k21+) 2ak2 2ak2 把xw14e代入 4a2k6 2ak3 a-xM 2ak2 2a- 0+y=+》产=w2 1+k2 可得点M坐标满足方程x(x2+y2)-2y2=0, 所以点M在叶状曲线「。上 2 3)由(2)得a=1时，x,= 1+k2’=1+2,i=12,3 1+1+L=1+2+1+k+1+2 y1 y2 y3 2k 2k2 2ks 1 =2+6+6+ +1+马 k k2 k3 直线1不过原点，不妨设1：mx+y=1,代入x(x2+y2)-2y2=0得 x(x2+y2)-2(mx+y)y2=0,两边同除以x3 整理得2n()+(2m-10)2-1=0即2(k)3+(2m-10(k,)2-1=0 所以关于k的方程2k3+(2m-1)k2-1=0有三个根k,k2,k3 2nk3+(2m-1)k2-1=2n(k-k)k-k2)k-k3) =2nk3-2n (k+k2+k)k2+2n(k k2 +kaks+k ks)k-2nk kaks 所以kk2+kk3+kk3=0, 又已知k+k2+k3=4 1+1+1=1 =5(k+k2+k+ 1+1+) yI y2 y3 2 k k2 ka =2+(k,+k,6+k5)=2 kikak3 苏以大十片蒸佰是定宝定面为：