精品解析：四川省部分校联考2027届高三上学期学情检测数学试题

高三数学学情检测 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容（侧重一轮同步复习）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “四边形ABCD是等腰梯形”是“四边形ABCD的对角线相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 14 C. 28 D. 56 6. 已知与是关于x的方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 3或 D. 或 7. 若函数在上单调，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 8. 某采气井到道路（视为直线）的垂直距离为，垂足为，道路上距离点处建有标准化集气中转站，现拟在道路段上选取阀室点位（管道检修截断设施）．已知跨沟渠管沟（直线段）单位造价是道路管沟（直线段）单位造价的3倍．若要使管线的总造价最低，则与之间的距离应为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（，）的部分图象如图所示，若的面积为，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象 10. 已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 的最小值为 D. 当在上时， 11. 设是定义在上的可导函数，且．记．若对任意，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________． 13. 若函数无极值，则的取值范围为___________． 14. 若，则以曲线与曲线相邻四个交点为顶点的菱形的周长为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求． 16. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． （1）求的方程； （2）已知，是过点的两条相互垂直的直线，的倾斜角为锐角，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程． 18. 著名物理学家牛顿提出万有引力定律：两个质量分别为，（单位：千克）的物体间的距离为（单位：米），则这两个物体之间存在相互吸引的万有引力（单位：牛），且（其中为常数）．如图，将六个质量均为1千克的小球（视作质点）放在半径为1米的圆的圆周上，且任意相邻的两个小球之间的距离相等． （1）从六个小球中任选两个． （i）求这两个小球之间的万有引力的大小为的概率； （ii）记这两个小球之间的万有引力的大小为，求的分布列与期望． （2）从这六个小球中随机地去掉一个，其余五个小球的位置不变，并从这五个小球中任选两个，记这两个小球之间的万有引力的大小为，比较的期望与（ii）中的期望的大小． 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）讨论的零点个数． （3）设存在两个零点，． ①证明：． ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学情检测 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容（侧重一轮同步复习）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在中，令，则， 所以． 2. “四边形ABCD是等腰梯形”是“四边形ABCD的对角线相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】解：若四边形是等腰梯形，则它的对角线相等，反之不成立， 故“四边形是等腰梯形”是“四边形的对角线相等”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，，， 所以. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】已知曲线，求导： 将代入导函数，得到切线斜率： 切点为，由点斜方程得：，化简得. 曲线在点处的切线方程为. 5. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 14 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式将，转化为，从而求出的最小值. 【详解】因为，，， 根据基本不等式：， 即，故，又，得， 当且仅当，即时，等号成立. 6. 已知与是关于x的方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 3或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式及韦达定理，结合平方关系确定值，再利用齐次式法及和角的正切公式求解. 【详解】由与是关于x的方程的两个实数根， 得，解得或，而， 则，解得，符合题意， 而，解得或， 当时，；当时，. 7. 若函数在上单调，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别分析每一段函数的单调性，并结合分段点处函数值的大小关系来确定的取值范围. 【详解】当时，函数，底数， 所以函数在上单调递增， 所以也在上单调递增， 且， 当时，，则， 因为函数在上单调，且在上单调递增， 所以在上也单调递增，则在上恒成立， 即，化简可得：在上恒成立， 令，则在上单调递增， 所以，则, 又因为函数在上单调递增， 所以在分界点处，需要满足，化简可得： ，移项可得，解得， 结合和，得，即的取值集合为. 8. 某采气井到道路（视为直线）的垂直距离为，垂足为，道路上距离点处建有标准化集气中转站，现拟在道路段上选取阀室点位（管道检修截断设施）．已知跨沟渠管沟（直线段）单位造价是道路管沟（直线段）单位造价的3倍．若要使管线的总造价最低，则与之间的距离应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，把道路管沟的单位造价作为，则跨沟渠管沟的单位造价为，管线的总造价为（）. 求导后令导数为零求出驻点，再由导数的符号判断单调性，即得总造价最低时与之间的距离. 【详解】设，则，，其中. 以道路管沟的单位造价作为，则跨沟渠管沟的单位造价为，所以管线的总造价为. 求导得. 令，得. 两边平方整理得，解得. 因为，所以. 当时；当时. 所以在处取得最小值，即点与点之间的距离为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（，）的部分图象如图所示，若的面积为，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图像得到函数的解析式，结合正弦型函数的性质依次判断即可. 【详解】已知函数， 对于A，由函数的图象可知，的面积，高，所以底边， 由于底边对应半个周期，所以函数的周期，由周期公式可得，故A正确； 对于B，由选项A可知，函数， 由于函数图像过点，代入，得， 解得，又因为，所以，因此函数， 则， 由于是偶函数，所以是偶函数，故B错误； 对于C，由于函数，对称轴满足，解得， 当时，有，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，将图象上所有点的横坐标变为原来的后，得到，故D正确. 10. 已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 的最小值为 D. 当在上时， 【答案】BC 【解析】 【分析】对A和B，根据条件，利用抛物线的性质，即可求解；对C，根据条件，利用抛物线的定义，即可求解；对D，求出点P，即可求解. 【详解】对于A，抛物线：的焦点为，所以A错误， 对于B，抛物线：的准线方程为，所以B正确， 对于C，因为的准线方程为，过作于，过作于， 由抛物线定义知，又，所以，故C正确； 对于D，联立，结合位于第一象限，可得， 则，所以D错误. 11. 设是定义在上的可导函数，且．记．若对任意，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求，结合题意，整理即可判断选项A；构造函数，求，结合选项A即可判断的符号，从而判断的单调性．先判断与的大小，进而即可判断选项B；先判断与的大小，进而即可判断选项C；先判断与的大小，进而即可判断选项D． 【详解】对于A，由，则， 又，且，即，整理得，故A正确； 令，则， 结合选项A知，则，所以在上单调递增， 对于B，由，即，所以，故B错误； 对于C，由，即，即，所以，故C正确； 对于D，当时，则，所以，即， 即，即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【详解】由得且，故的定义域为 13. 若函数无极值，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将“无极值”转化为导函数恒大于等于的恒成立问题，再通过分离参数法求新函数的最小值来确定的取值范围. 【详解】已知函数，则， 由于无极值，且当时，，所以有 在上恒成立， 即 在上恒成立，即， 令，则，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即，所以的取值范围为. 14. 若，则以曲线与曲线相邻四个交点为顶点的菱形的周长为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再作出两个函数的草图，数形结合确定菱形顶点坐标，借助菱形的性质列式求解. 【详解】函数， 在同一坐标系内作出函数与的图象， 取两函数图象相邻的四个交点、、、，则四边形为菱形， 不妨设：，，，则. 由得： ，即， 由得，或， 即，，， 不妨取，，. 则，，， 即，，. ， ， 又因为，即，解得：， 所以， 即菱形的周长为8. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再根据余弦值求角； （2）根据正余弦定理求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 又，，所以，则， 因为，所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理，得， 解得． 由余弦定理，得， 即，，解得或（舍去），故． 16. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接．是四棱柱，，， ∴四边形是平行四边形，． ，分别是，的中点，， ． 平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线，结合平行线的传递性，可得，进而根据线面平行的判定求解即可， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得，，两两垂直．设，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则，，是平面的一个法向量． 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． （1）求的方程； （2）已知，是过点的两条相互垂直的直线，的倾斜角为锐角，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设：（），：，与双曲线方程联立，再结合弦长公式求解. 【小问1详解】 设的焦距为，由题意得得， 所以的方程为． 【小问2详解】 设：（），：，，． 由，得，得． 由得， 得， 所以 ， 同理可得． 由，得，得，得． 当时，， 得，，，，符合题意． 故的方程为． 18. 著名物理学家牛顿提出万有引力定律：两个质量分别为，（单位：千克）的物体间的距离为（单位：米），则这两个物体之间存在相互吸引的万有引力（单位：牛），且（其中为常数）．如图，将六个质量均为1千克的小球（视作质点）放在半径为1米的圆的圆周上，且任意相邻的两个小球之间的距离相等． （1）从六个小球中任选两个． （i）求这两个小球之间的万有引力的大小为的概率； （ii）记这两个小球之间的万有引力的大小为，求的分布列与期望． （2）从这六个小球中随机地去掉一个，其余五个小球的位置不变，并从这五个小球中任选两个，记这两个小球之间的万有引力的大小为，比较的期望与（ii）中的期望的大小． 【答案】（1）（i） （ii） X P （2） 【解析】 【分析】（1）正六边形 6顶点，先枚举全部两点弦长，分类算出引力取值、对应对数，求分布列与期望；（2）利用对称性，固定去掉其中一个小球，枚举剩下5个点全部10组点对，按距离分成三类，算出对应引力的概率,代入期望公式算出Y期望，再和X期望对比大小. 【小问1详解】 （ⅰ）因为，则由，可得． 从六个小球中任选两个，共有种不同的选法， 其中这两个小球之间的距离为1米的选法有6种， 故这两个小球之间的万有引力的大小为的概率为． （ⅱ）由题可知，任意两个小球之间的距离可能为，，， 则的可能取值为,,，且，，． 的分布列为 X P ． 【小问2详解】 六个小球在半径为1的圆周上构成正六边形顶点，由对称性，去掉任意一个小球结果相同，不妨去掉点，剩余五个小球,总选法：, 枚举剩余 5 点两两距离：距离（引力）：，共 4 对, 距离（引力）：，共 4 对, 距离（引力）：，共 2 对, 得到概率： 的分布列为 ，则． 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）讨论的零点个数． （3）设存在两个零点，． ①证明：． ②证明：． 【答案】（1）证明：当时，，则． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，得证． （2）当时，零点个数为2；当或时，零点个数为1；当时，零点个数为0． （3）证明：当存在两个零点，时，可得，不妨令，则． 由题可得则． 令，则由，可得， 则整理得则． ①要证，即证． 因为，所以需证． 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，则，故，得证． ②，因为，所以要证，需证，需证． 由可得． 因为，所以要证，需证． 令，，则需证，需证． 令，则在上恒成立， 则在上单调递减，从而，故，得证． 【解析】 【分析】(1)求导找到极小值点，算出最小值，直接证明；(2)分离参数，构造函数，用单调性与图像，按的范围分类讨论零点个数；(3)双零点用比值换元，把用t表达，再构造单变量函数证明两个不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 显然不是的零点． 当时，由，得． 令，则． 当和时，，单调递减，当时，，单调递增． 当时，，当时，，且． 由，可知当且时，，当时，． 当时，关于的方程有两解，则的零点个数为2； 当或时，关于的方程有一解，则的零点个数为1； 当时，关于的方程无解，则的零点个数为0． 【小问3详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $