11.5.3 完全平方公式因式分解 (课件) 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

因式分解——提公因式法 1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式. 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ ①提公因式法 ②平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 知识回顾 3.分解因式： (1)3a3－27ab2； (2)16m4－ 81 S大正方形= 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ a² a ab a b ab a b b b b2 将上面的等式倒过来看，能得到： （a+b）2 =a2+2ab+b2 a2+2ab+b2=（a+b）2 情境引入 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 a²+2ab+b² a²-2ab+b² 自主探究 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 归纳总结 2ab +b2 ± =(a ± b)² a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 简记口诀：首平方，尾平方，积的两倍在中央. 3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a 2b a + 2b 2b 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： m m-3 3 x 2 m 3 a 练一练 例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 B 解析：根据完全平方式的特征,中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9. 变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________. 解析：∵16=(±4)2,故-m=2×(±4),m=±8. ±8 典例精析 例2 分解因式： （2）-x2+4xy-4y2 （1）16x2+24x+9 解：原式= = (4x + 3)2 (4x)2 + 2·4x·3 + 32 -(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2 解：原式= =-[x2-2·x·2y+(2y)2] 中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式. 典例精析 例3 把下列各式分解因式： =3a(x+y)2 =(a+b-6)2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36 (1)3ax2+6axy+3ay2 解: 原式=3a(x2+2xy+y2) 解: 原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 注意：有公因式,应先提出公因式,再进一步分解因式.题中有相同的代数式,把相同的代数式看成一个整体. 典例精析 因式分解： ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) 解：原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2 解：原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a＋2)2(a－2)2 (2)(a2＋4)2－16a2 (1)－3a2x2＋24a2x－48a2 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 针对训练 例4 把下列完全平方公式分解因式： 解：原式=(100－99)² 解：原式＝342＋2×34×16＋162 =1 ＝2500 (2)342＋34×32＋162 (1)1002－2×100×99+99² ＝(34＋16)2 利用完全平方公式分解因式，可以简化计算 典例精析 例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值． ＝112 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0 ∴(x－2)2＋(y－5)2＝0 ∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0 ∴x－2＝0，y－5＝0 ∴x＝2，y＝5 ∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 ∴x2－4x＋4＋y2－10y＋25＝0 ＝121 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题． 典例精析 例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2 －2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． ∴△ABC是等边三角形 解：∵a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0 ∴(a－b)2＋(b－c)2＝0 ∴a－b＝0，b－c＝0 ∴a＝b＝c ∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0 ∴a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0 典例精析 1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A.a2＋1 B.a2－6a＋9 C.x2＋5y D.x2－5y 2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A.4xy(x－y)－x3 B.－x(x－2y)2 C.x(4xy－4y2－x2) D.－x(－4xy＋4y2＋x2) 3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． B B 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值 为___________ . ±4 课堂练习 5.把下列多项式因式分解. =(4a+2b－ 1)2 解：原式 =x2－2·x·6+(6)2 =(y+1+x)(y+1－x) (1)x2－12x+36 (3)4(2a+b)2-4(2a+b)+1 (2) y2+2y+1－x2 =(x－6)2 解：原式=[2(2a+b)]² －2·2(2a+b)·1+1² 解：原式=(y+1)² －x² 针对训练 6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92 解：原式＝(38.9－48.9)2 ＝100 解：原式＝ ＝1 针对训练 他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. 解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 小聪: 小明: × × 7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1； 小聪和小明的解答过程如下： (2)原式＝ (x2－6x＋9)＝ (x－3)2 针对训练 8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； 原式＝2×52 解：原式＝a2－2ab＋b2 当a－b＝3时， 解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2) 　当ab＝2，a＋b＝5时， (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 原式＝32＝9 ＝ab(a＋b)2 ＝50 ＝(a－b)2 针对训练 课堂小结 $