第十三章 三角形 单元自测 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．1cm、2cm、4cm　　B．4cm、5cm、9cm　　C．3cm、4cm、6cm　　D．2cm、3cm、8cm 2．在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，则∠C的度数为（　　） A．50°　　B．60°　　C．70°　　D．80° 3．一个三角形三个内角的度数之比为2:3:4，则这个三角形中最大角的度数为（　　） A．60°　　B．80°　　C．90°　　D．100° 4．在中，是高，是角平分线，，则的度数是（    ） A．36° B．42° C．44° D．54° 5．一个多边形的每个外角都等于40°，则这个多边形的边数为（　　） A．7　　B．8　　C．9　　D．10 6．AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，△ABD的周长为16，则△ACD的周长为（　　） A．10　　B．12　　C．14　　D．16 7．已知三角形的两边长分别为2和8，第三边长为整数，则满足条件的三角形共有（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 8．在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°，点D在BC的延长线上，则∠ACD的度数为（　　） A．100°　　B．110°　　C．120°　　D．130° 9．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，若∠A=50°，则∠BOC的度数为（　　） A．100°　　B．115°　　C．120°　　D．130° 10．下列说法正确的是（　　） A．钝角三角形的三条高都在三角形外部　　B．三角形的高线、中线、角平分线都是线段　　C．直角三角形只有一条高　　D．三角形的三条高一定都在三角形内部 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．在△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B=__________°。 12．五边形的内角和是__________°，外角和是__________°。 13．我们定义：三角形中一个内角等于另一个内角的2倍，这个三角形叫做“倍角”三角形，已知是“倍角三角形”，其中一个角为，则中最大角的度数为____________． 14．如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 15．一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数是________。 三、解答题（共8题，共65分） 16．（8分）已知三角形的两边长分别为5和9，第三边长为整数x。 (1)求x的取值范围； (2)当x取最大值时，求三角形的周长。 17．（8分）∠ACD是△ABC的外角，∠ACD=110°，∠B=45°，CE平分∠ACD，求∠ACE和∠A的度数。 18．（8分）如图，在五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，∠C=110°，求∠D的度数。 19．（7分）请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分，平分，且．求证：． 证明：平分， （___________） 平分（已知）， ___________（___________）． （___________）． 即． （已知）， ___________（___________）． ___________（___________）． 20．（8分）如图，在中，平分，，，求的度数．    21．（8分）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，∠ABC=2∠C，∠BDC=100°，求∠C的度数。 22．（9分）在△ABC中，∠B=2∠A，∠C=∠B+10°，求∠A、∠B、∠C的度数。 23．（9分）一个多边形从某一个顶点出发可以引5条对角线。 (1)求这个多边形的边数； (2)求它的内角和。 第十三章 三角形 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】C 解题步骤： ① 三角形三边关系：判断能否组成三角形，用较短两边之和与最长边比较。 ② A：1+2<4，不能；B：4+5=9，两边之和等于第三边，不能；C：3+4>6，能；D：2+3<8，不能。 ③ 所以选C。 【知识点睛】判断三条线段能否组成三角形：较短两边之和大于最长边即可；等于或小于都不能构成。 2. 【答案】B 解题步骤： ① 三角形内角和为180°，∠A+∠B+∠C=180°。 ② ∠C=180°−∠A−∠B=180°−70°−50°=60°。 ③ 所以选B。 【知识点睛】三角形内角和等于180°，已知两角直接求第三角：∠C=180°−∠A−∠B。 3. 【答案】B 解题步骤： ① 设三个内角分别为2x、3x、4x，由内角和：2x+3x+4x=180°，9x=180°，x=20°。 ② 最大角=4x=80°。 ③ 所以选B。 【知识点睛】按比例设未知数，利用内角和180°列方程求每份，再乘对应份数得各角。 4. 【答案】C 解题步骤： ① 因为 AD 是高，∠B=64°，在 Rt△ABD 中 ∠BAD=90°−64°=26°。 ② ∠DAE=10°，所以 ∠BAE=∠BAD+∠DAE=36°；AE 是角平分线，∠BAC=2∠BAE=72°。 ③ 在 △ABC 中，∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−64°−72°=44°，选 C。 【知识点睛】三角形内角和为 180°；高产生直角（90°），角平分线把角平分；先用直角三角形的内角和求 ∠BAD，再由角平分线求 ∠BAC，最后用三角形内角和求 ∠C。 5. 【答案】C 解题步骤： ① 任意多边形的外角和恒为360°。 ② 每个外角都相等，边数=360°÷40°=9。 ③ 所以选C。 【知识点睛】正多边形每个外角相等，边数=外角和360°÷每个外角；外角和恒为360°，与边数无关。 6. 【答案】C 解题步骤： ① AD是中线，BD=CD。 ② △ABD周长=AB+BD+AD=8+BD+AD=16，得BD+AD=8。 ③ △ACD周长=AC+CD+AD=6+BD+AD=6+8=14，选C。 【知识点睛】三角形中线平分对边（BD=CD）；用已知周长先求BD+AD，再代入另一三角形周长。 7. 【答案】B 解题步骤： ① 由三角形三边关系：8−2<x<8+2，即6<x<10。 ② x为整数，x=7、8、9，共3个。 ③ 所以选B。 【知识点睛】三角形三边关系：两边之差<第三边<两边之和；第三边取整数时在范围内逐一列举。 8. 【答案】B 解题步骤： ① ∠ACD是△ABC的外角。 ② 三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和：∠ACD=∠A+∠B=60°+50°=110°。 ③ 所以选B。 【知识点睛】三角形外角性质：外角等于不相邻两内角之和；也可先由内角和求∠ACB=70°，再由平角求∠ACD=110°。 9. 【答案】B 解题步骤： ① ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=130°。 ② BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∠OBC+∠OCB=130°÷2=65°。 ③ ∠BOC=180°−65°=115°，所以选B。 【知识点睛】角平分线把角平分；三角形内角和为180°。可记结论：∠BOC=90°+∠A÷2=115°。 10. 【答案】B 解题步骤： ① 三角形的高是从顶点向对边（或延长线）所作的垂线段，中线、角平分线都是线段。 ② A错：钝角三角形钝角两边上的高在外部，但最长边上的高在内部；C错：直角三角形有三条高；D错：钝角三角形有两条高在外部。 ③ B正确，选B。 【知识点睛】三角形三线（高、中线、角平分线）都是线段；钝角三角形有两条高在三角形外部；任何三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线。 11. 【答案】55° 解题步骤： ① 直角三角形两锐角互余：∠A+∠B=90°。 ② ∠B=90°−∠A=90°−35°=55°。 ③ 所以∠B=55°。 【知识点睛】直角三角形两锐角互余（和为90°）；已知一个锐角求另一个，用90°减去已知角。 12. 【答案】540°，360° 解题步骤： ① n边形内角和=180°(n−2)：五边形内角和=180°×(5−2)=540°。 ② 任意多边形外角和恒为360°。 ③ 所以五边形内角和540°，外角和360°。 【知识点睛】n边形内角和公式180°(n−2)；外角和恒为360°，与边数无关。 13. 【答案】135° 解题步骤： ① “倍角三角形”中一个内角等于另一个内角的 2 倍。已知一个角为 30°，分类讨论使最大角最大。 ② 若 30° 是较小角，则另一个角 60°，第三个角 90°，最大角 90°；若 30° 是中间角，则另一个角 60°，第三个角 90°，最大角 90°。 ③ 若 30° 是较大角，则另一个角 15°（30°=2×15°），第三个角 180°−30°−15°=135°，最大角 135°。故最大角的最大值为 135°。 【知识点睛】“倍角三角形”求最大角：把 30° 分别当作较小角、较大角、中间角分类讨论，画出每种情况的三角，最大角的最大值出现在“30° 是较大角、另一角为 15°”时。 14. 【答案】(1) 5；(2) 8.5；(3) 12 解题步骤： ① (1) 由 D 为 BC 中点得 BD=CD，两三角形周长差=(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC=4；与 AB+AC=14 联立，解得 AB=9，AC=5。 ② (2) AD 为 BC 边上的中线，中线平分三角形面积，S△ACD=×S△ABC=×17=8.5。 ③ (3) 作 AE⊥BC，S△ABC=×BC×AE=3AE；垂线段最短得 AE≤AD=4，所以 S△ABC≤3×4=12，面积最大值为 12。 【知识点睛】三角形中线：平分对边，并把三角形分成面积相等的两个三角形；面积最值问题用“垂线段最短”，高不超过定长，高最大时面积最大。 15. 【答案】6 解题步骤： ① 设边数为n，则内角和=180°(n−2)，外角和=360°。 ② 180°(n−2)=2×360°，得n−2=4，n=6。 ③ 所以这个多边形的边数是6。 【知识点睛】n边形内角和为180°(n−2)，外角和恒为360°；按等量关系列方程求解。 16. 【答案】(1) 4<x<14；(2) 27 解题步骤： ① (1)由三边关系：9−5<x<9+5，即4<x<14。 ② (2)x为整数，x的最大值x=13。 ③ 周长=5+9+13=27。 【知识点睛】三边关系：两边之差<第三边<两边之和；三角形周长为三边之和。 17. 【答案】∠ACE=55°，∠A=65° 解题步骤： ① CE平分∠ACD，∠ACE=∠ACD÷2=110°÷2=55°。 ② 由外角性质：∠ACD=∠A+∠B，∠A=∠ACD−∠B=110°−45°=65°。 ③ 所以∠ACE=55°，∠A=65°。 【知识点睛】角平分线把角平分；三角形外角等于不相邻两内角之和：∠ACD=∠A+∠B，可变形求内角。 18. 【答案】130° 解题步骤： ① 五边形内角和=180°×(5−2)=540°。 ② ∠D=540°−∠A−∠B−∠C−∠E=540°−120°−90°−110°−90°=130°。 ③ 所以∠D=130°。 【知识点睛】n边形内角和=180°(n−2)；已知其余各角，用内角和减已知角求未知角。 19. 【答案】角平分线的定义；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换；AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行 解题步骤： ① 因为 CE 平分 ∠ACD，所以 ∠ACD=2∠α（角平分线的定义）。 ② 因为 AE 平分 ∠BAC（已知），所以 ∠BAC=2∠β（角平分线的定义）。 ③ ∠ACD+∠BAC=2∠α+2∠β（等量代换）。因为 ∠α+∠β=90°（已知），所以 ∠ACD+∠BAC=180°（等量代换）。 ④ 同旁内角 ∠ACD 与 ∠BAC 互补，所以 AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。 【知识点睛】平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；角平分线把角平分（∠BAC=2∠β）；证明时由角平分线定义写出角的关系，再等量代换推出互补，最后判定平行。 20. 【答案】70° 解题步骤： ① 因为 BD 平分 ∠ABC，∠ABD=25°，所以 ∠ABC=2∠ABD=50°。 ② 在 △ABC 中，∠A=60°，∠C=180°−∠A−∠ABC=180°−60°−50°=70°。 ③ 所以 ∠C 的度数为 70°。 【知识点睛】角平分线把角平分：∠ABC=2∠ABD；三角形内角和为 180°，两角已知可直接求出第三个角。 21. 【答案】40° 解题步骤： ① 设∠C=x，则∠ABC=2x。BD平分∠ABC，∠DBC=x。 ② 在△BDC中：∠DBC+∠C+∠BDC=180°，即x+x+100°=180°，解得x=40°。 ③ 所以∠C=40°。 【知识点睛】角平分线把角平分；三角形内角和为180°；设未知数用内角和列方程求解。 22. 【答案】∠A=34°，∠B=68°，∠C=78° 解题步骤： ① 设∠A=x，则∠B=2x，∠C=2x+10°。 ② 由内角和：x+2x+(2x+10°)=180°，5x=170°，x=34°。 ③ 所以∠A=34°，∠B=68°，∠C=78°。 【知识点睛】设未知数表示三个角，由内角和180°列方程，先求x再代回。 23. 【答案】(1) 8；(2) 1080° 解题步骤： ① (1)从n边形一个顶点出发可引(n−3)条对角线：n−3=5，n=8。 ② (2)内角和=180°×(8−2)=180°×6=1080°。 ③ 所以边数为8，内角和为1080°。 【知识点睛】从n边形一个顶点出发可引(n−3)条对角线；n边形内角和=180°(n−2)。 学科网（北京）股份有限公司 $