第13章《三角形》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版八年级上册第13章三角形同步练习，通过基础过关、进阶思维、中考链接三层设计，实现从单一知识点到综合应用再到中考衔接的递进巩固，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|三角形概念、分类、三边关系、重要线段、内角和与外角性质|20题，选择/填空/解答结合，直接应用核心知识点，强化基础认知| |进阶思维题|绝对值化简、角平分线综合、折叠问题、多角和计算、中点与面积综合|15题，综合多知识点，需逻辑推理与几何直观，提升思维深度| |中考链接题|三边关系、三角板叠放、平行线与角平分线综合|10题中考真题，贴近中考题型，培养模型观念与问题解决能力|

人教版八年级上册 第13章 三角形 复习与小结 本章知识体系总结 一、三角形的有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 2. 三角形的分类：按边分（不等边三角形、等腰三角形）；按角分（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。 二、三角形的重要线段 1. 三角形的高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段。 2. 三角形的中线：连接顶点与对边中点的线段。三条中线交于重心。 3. 三角形的角平分线：内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。 三、三角形的三边关系 1. 三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。 2. 判断三条线段能否组成三角形：只需验证较短两边之和大于最长边。 四、三角形的内角 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 2. 直角三角形的两个锐角互余。 3. 有两个角互余的三角形是直角三角形。 五、三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。 2. 性质：① 外角等于与它不相邻的两个内角的和；② 外角大于任何一个不相邻的内角。 3. 三角形的外角和等于360°。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 三角形基本概念与分类综合 1．（2024-2025八年级上·北京朝阳·期中）下列说法正确的是（　　） A．三角形分为等边三角形和不等边三角形 B．等腰三角形分为等边三角形和底与腰不相等的等腰三角形 C．三角形按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为底和腰不等的等腰三角形和等边三角形；按角分为锐角、直角、钝角三角形。 【详解】解： A. 错误，三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形； B. 表述不准确，等边三角形是特殊的等腰三角形； C. 正确，这是三角形按角的分类； D. 错误。 故选：C。 2．（2024秋·上海闵行·单元测）若一个三角形的三个内角的度数比为2 : 3 : 4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】按比例求出三个内角，根据最大角判断三角形形状。 【详解】解：设三个内角分别为2x，3x，4x， 由内角和定理：2x + 3x + 4x = 180°， 9x = 180°，x = 20°， 三个角分别为：40°，60°，80°， 最大角为80°，是锐角，所以是锐角三角形。 故选：A。 3．（2024-2025八年级上·广东广州·月考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，3，6 D．2，2，4 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：较短两边之和大于最长边。 【详解】解： A. 1 + 2 = 3，不能组成三角形； B. 2 + 3 > 4，能组成三角形； C. 2 + 3 < 6，不能组成三角形； D. 2 + 2 = 4，不能组成三角形。 故选：B。 题型02 三边关系综合应用 4．（2024秋·江苏苏州·单元测）已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边的长可以是（　　） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【分析】根据三边关系：两边之差 < 第三边 < 两边之和。 【详解】解：设第三边长为x， 则 7 - 3 < x < 7 + 3， 即 4 < x < 10， 选项中只有7在这个范围内。 故选：C。 5．（2024-2025八年级上·浙江杭州·期中）等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．13 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，注意验证三边关系。 【详解】解： ① 若4为腰长，9为底边长：4 + 4 < 9，不能组成三角形，舍去； ② 若9为腰长，4为底边长：9 + 9 > 4，能组成三角形， 周长 = 9 + 9 + 4 = 22。 故选：B。 6．（2024秋·山东济南·月考）三角形的两边长为2和5，则第三边x的取值范围是____3 < x < 7____；若第三边为整数，则第三边的长可以是____4、5、6____。 【答案】3 < x < 7；4、5、6 【分析】利用三边关系求范围，再找出整数解。 【详解】解：根据三边关系： 5 - 2 < x < 5 + 2， 即 3 < x < 7。 若x为整数，则x = 4、5、6。 故答案为：3 < x < 7；4、5、6。 题型03 三角形重要线段综合 7．（2024-2025八年级上·湖北武汉·期中）下列说法错误的是（　　） A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高所在的直线相交于一点 【答案】A 【分析】锐角三角形三条高在内部交于一点；直角三角形三条高交于直角顶点；钝角三角形三条高所在直线交于外部一点。 【详解】解： A. 错误，钝角三角形的高有的在外部，三条高不在内部相交； B. 正确，三条中线都在内部，交于重心； C. 正确，三条角平分线都在内部，交于一点； D. 正确，三条高所在的直线一定相交于一点（垂心）。 故选：A。 8.（2024秋·湖南长沙·单元测）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积为12，则阴影部分的面积是___3_____。 【答案】3 【分析】利用中线平分三角形面积的性质，逐步推导。 【详解】解：∵D是BC中点，AD是中线， ∴S△ABD = S△ABC = × 12 = 6， ∵E是AD中点，BE是中线， ∴S阴影 = S△ABD = × 6 = 3。 故答案为：3。 9．（2024-2025八年级上·河南郑州·月考）如图，AD是△ABC的角平分线，若∠B = 50°，∠C = 70°，则∠BAD = ___30_____度。 【答案】30 【分析】先求∠BAC，再利用角平分线求∠BAD。 【详解】解：在△ABC中， ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 70° = 60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD = ½∠BAC = 30°。 故答案为：30。 题型04 内角和与外角性质综合计算 10．（2024秋·河北石家庄·单元测）如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠A = 60°，∠B = 40°，则∠ACD的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】C 【分析】利用外角性质：外角等于不相邻两内角的和。 【详解】解：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD = ∠A + ∠B = 60° + 40° = 100°。 故选：C。 11．（2024-2025八年级上·陕西西安·期中）如图，∠1 = 120°，∠A = 50°，则∠B的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】B 【分析】∠1是外角，∠1 = ∠A + ∠B，所以∠B = ∠1 - ∠A。 【详解】解：∵∠1是三角形的外角， ∴∠1 = ∠A + ∠B， ∴∠B = ∠1 - ∠A = 120° - 50° = 70°。 故选：B。 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）如图，在△ABC中，∠A = 50°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC = ___115_____度。 【答案】115 【分析】先求∠ABC + ∠ACB，再求一半的和，最后在△BOC中求∠BOC。 【详解】解：∵∠A = 50°， ∴∠ABC + ∠ACB = 180° - 50° = 130°， ∵BO、CO平分∠ABC和∠ACB， ∴∠OBC + ∠OCB = (∠ABC + ∠ACB) = × 130° = 65°， 在△BOC中，∠BOC = 180° - 65° = 115°。 故答案为：115。 13．（2024-2025八年级上·重庆渝中·期末）将一副三角板按如图方式摆放，则∠α的度数为（　　） A．75° B．105° C．120° D．135° 【答案】B 【分析】利用三角形外角性质，∠α = 45° + 60° = 105°。 【详解】解：根据三角形外角的性质： ∠α = 45° + 60° = 105°。 故选：B。 题型05 直角三角形综合 14．（2024秋·天津南开·单元测）在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】按比例求出各角，判断是否有直角。 【详解】解：设∠A = x，∠B = 2x，∠C = 3x， 由内角和：x + 2x + 3x = 180°， 6x = 180°，x = 30°， ∴∠C = 90°，是直角三角形。 故选：B。 15．（2024-2025八年级上·四川成都·期中）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于D，则图中与∠A互余的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直角三角形两锐角互余。在△ABC中∠A与∠B互余；在△ACD中∠A与∠ACD互余。 【详解】解： ① 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∴∠A + ∠B = 90°，∠B与∠A互余； ② 在Rt△ACD中，∠ADC = 90°，∴∠A + ∠ACD = 90°，∠ACD与∠A互余。 共2个。 故选：B。 16．（2024秋·安徽合肥·月考）已知：在△ABC中，∠A = ∠B + ∠C。求证：△ABC是直角三角形。 【答案】见详解 【分析】利用内角和定理，结合已知条件推出有一个角是直角。 【详解】证明：在△ABC中， ∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）， ∵∠A = ∠B + ∠C（已知）， ∴∠A + ∠A = 180°（等量代换）， 即 2∠A = 180°， ∴∠A = 90°， ∴△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）。 题型06 角度计算综合题 17．（2024-2025八年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中，∠A = 70°，∠B = 50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数。 【答案】30° 【分析】先求∠ACB，再利用角平分线求∠ACD。 【详解】解：在△ABC中， ∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 70° - 50° = 60°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD = ∠ACB = × 60° = 30°。 18．（2024秋·江西南昌·期中）如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B = ∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数。 【答案】（1）40°；（2）70° 【分析】（1）利用外角性质∠ADC = ∠B + ∠BAD，结合∠B = ∠BAD求解；（2）利用内角和求∠C。 【详解】解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC = ∠B + ∠BAD， ∵∠B = ∠BAD，∠ADC = 80°， ∴2∠B = 80°， ∴∠B = 40°。 （2）在△ABC中， ∠C = 180° - ∠B - ∠BAC = 180° - 40° - 70° = 70°。 19．（2024-2025八年级上·云南昆明·期末）如图，AB∥CD，∠A = 40°，∠D = 45°，求∠1和∠2的度数。 【答案】∠1 = 40°，∠2 = 85° 【分析】利用平行线内错角相等求∠1，再利用外角性质求∠2。 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠1 = ∠A = 40°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2是三角形的外角， ∴∠2 = ∠1 + ∠D = 40° + 45° = 85°。 20．（2024秋·广西南宁·单元测）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B = 30°，∠E = 20°，求∠BAC的度数。 【答案】70° 【分析】先利用外角求∠ECD，再求∠ACD，最后求∠BAC。 【详解】解：在△BCE中， ∠ECD是外角，∴∠ECD = ∠B + ∠E = 30° + 20° = 50°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD = 2∠ECD = 100°， ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD = ∠B + ∠BAC， ∴∠BAC = ∠ACD - ∠B = 100° - 30° = 70°。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025八年级上·北京海淀·期末）已知a、b、c是三角形的三边长，化简|a + b - c| - |a - b - c|的结果是（　　） A．2a - 2c B．2b C．2a + 2b - 2c D．2a - 2b 【答案】B 【分析】利用三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值化简。 【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴a + b > c，即a + b - c > 0， a < b + c，即a - b - c < 0， ∴|a + b - c| - |a - b - c| = (a + b - c) - [-(a - b - c)] = a + b - c + a - b - c = 2a - 2c？不对，重新计算： = a + b - c - (-a + b + c) = a + b - c + a - b - c = 2a - 2c 故选：A。 2．（2024秋·上海浦东·期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC = 120°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】利用双角平分线模型：∠BOC = 90° + ½∠A，反向推导∠A。 【详解】解：在△BOC中， ∠OBC + ∠OCB = 180° - 120° = 60°， ∵BO、CO平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABC + ∠ACB = 2(∠OBC + ∠OCB) = 120°， 在△ABC中， ∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 120° = 60°。 故选：B。 3．（2024-2025八年级上·广东深圳·期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1 + ∠2之间始终保持的数量关系是（　　） A．∠A = ∠1 + ∠2 B．2∠A = ∠1 + ∠2 C．3∠A = 2∠1 + ∠2 D．∠A = 2(∠1 + ∠2) 【答案】B 【分析】利用折叠性质和内角和推导。 【详解】解：设折叠后A对应点为A'， 由折叠：∠A'ED = ∠AED，∠A'DE = ∠ADE，∠A' = ∠A， ∠1 = 180° - 2∠AED，∠2 = 180° - 2∠ADE， ∠1 + ∠2 = 360° - 2(∠AED + ∠ADE) = 360° - 2(180° - ∠A) = 2∠A， 即2∠A = ∠1 + ∠2。 故选：B。 4．（2024秋·江苏南京·期末）如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数为（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C 【分析】利用三角形外角性质，将六个角转化为中间三角形的三个外角，外角和为360°。 【详解】解：设中间三角形为△GHI， 根据外角性质： ∠AGH = ∠A + ∠B， ∠CHG = ∠C + ∠D， ∠FIG = ∠E + ∠F， ∠AGH + ∠GHC + ∠FIG = 360°（三角形外角和）， ∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 360°。 故选：C。 5．（2024-2025八年级上·浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，∠A = 80°，点D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A₂，则∠A₂的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【分析】内外角平分线模型：∠A₁ = ∠A，∠A₂ = ∠A₁ = ∠A。 【详解】解：根据内外角平分线模型： ∠A₁ = ∠A = × 80° = 40°， ∠A₂ = ∠A₁ = × 40° = 20°。 故选：B。 6．（2024秋·山东青岛·期末）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD = BC，点G、E、F分别是AB、AD、CG的中点，则阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用中线平分面积逐步推导。 【详解】解：∵BD = BC，∴S△ABD = S△ABC = 4，S△ACD =16-4 = 12 ∵E是AD中点，∴S△ABE = S△ABD = 2，S△ACE = S△ACD = 3， ∵G是AB中点，∴S△BCG = S△ABC = 8， ∴S△BCF = S△BCG = 4， ∴S阴影=S△ABC-S△ABE-S△ACE-S△BCF=16-2-3-4=3. 故选：A。 （二）填空题 7．（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）已知等腰三角形的周长为20，其中一边长为6，则另外两边长分别为___7和7或6和8_____。 【答案】7和7或6和8 【分析】分6为腰长和底边长两种情况讨论，验证三边关系。 【详解】解： ① 若6为腰长，则底边长 = 20 - 6 - 6 = 8， 三边为6，6，8，6 + 6 > 8，能组成三角形； ② 若6为底边长，则腰长 = (20 - 6) ÷ 2 = 7， 三边为7，7，6，7 + 6 > 7，能组成三角形。 故答案为：7和7或6和8。 8．（2024秋·湖南长沙·期末）如图，在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠CDF = ___74_____度。 【答案】74 【分析】先求∠ACB，再求∠BCE，再求∠CED，最后求∠CDF。 【详解】解：在△ABC中， ∠ACB = 180° - 40° - 72° = 68°， ∵CE平分∠ACB，∴∠BCE = 34°， 在Rt△BCD中，∠BCD = 90° - 72° = 18°， ∴∠DCE = 34° - 18° = 16°， 在Rt△CDF中，∠CDF = 90° - 16° = 74°。 故答案为：74。 9．（2024-2025八年级上·河南郑州·期末）如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = ____180____度。 A．90° B．180° C．270° D．360° 【答案】180 【分析】利用三角形外角性质，将五个角转化到一个三角形中，内角和为180°。 【详解】解：设CE与BD交于点F，AC与BD交于点G， ∠BFC是△BEF的外角，∴∠BFC = ∠B + ∠E， ∠CGD是△ADG的外角，∴∠CGD = ∠A + ∠D， 在△CGF中？不对，应该是在△ABF中： ∠C+ ∠BFC + ∠CGD = 180°， ∴∠A + ∠B + ∠D + ∠E + ∠C = 180°。 故答案为：180. 10．（2024秋·河北唐山·期末）如图，直线l₁∥l₂，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1 = 85°，则∠2 = ____40____度。 【答案】40 【分析】利用平行线性质和外角性质。 【详解】解：由平行线性质，∠1的同位角 = 85°， 根据三角形外角：85° = 45° + ∠4， ∴∠2=∠4 = 85° - 45° = 40°。 故答案为：40。 11．（2024-2025八年级上·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD = 2DC，S△GEC = 3，S△GDC = 4，则△ABC的面积是____30____。 【答案】30 【分析】利用中线性质和面积比等于底的比推导。 【详解】解：∵E是AC中点，∴S△AGE = S△GEC = 3， S△ADC = S△GEC + S△GDC + S△AGE = 3 + 4 + 3 = 10， ∵BD = 2DC，∴S△ABD = 2S△ADC = 20， ∴S△ABC = S△ABD + S△ADC = 20 + 10 = 30。 故答案为：30。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁大连·期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC = 50°，∠C = 70°，求∠DAC和∠BOA的度数。 【答案】∠DAC = 20°，∠BOA = 125° 【分析】∠DAC在直角三角形中求；∠BOA利用双角平分线模型求。 【详解】解：（1）∵AD是高，∴∠ADC = 90°， 在Rt△ADC中， ∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 70° = 20°。 （2）在△ABC中， ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠C = 180° - 50° - 70° = 60°， ∵AE、BF是角平分线， ∴∠BAO = ∠BAC = 25°，∠ABO = ∠ABC = 30°， 在△ABO中， ∠BOA = 180° - ∠BAO - ∠ABO = 180° - 25° - 30° = 125°。 13．（2024-2025八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知BE、CE分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，它们相交于点E。 （1）若∠A = 60°，求∠E的度数； （2）猜想∠E与∠A的数量关系，并说明理由。 【答案】（1）30°；（2）∠E = ∠A，理由见详解。 【分析】内外角平分线模型，利用外角性质推导。 【详解】解：（1）设∠ABC = 2x，∠ACD = 2y， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠EBC = x，∠ECD = y， ∵∠ACD是△ABC的外角，∴2y = 2x + ∠A ① ∵∠ECD是△EBC的外角，∴y = x + ∠E ② 由①②得：2(x + ∠E) = 2x + ∠A， 2x + 2∠E = 2x + ∠A， ∴∠E = ∠A = × 60° = 30°。 （2）猜想：∠E = ∠A。 理由：同（1）的推导过程，可得∠E = ∠A。 14．（2024秋·天津和平·期末）如图，∠B = 45°，∠A = 30°，∠C = 25°，求∠ADC的度数。 【答案】100° 【分析】连接BD并延长，利用两次外角性质。 【详解】解：连接BD并延长到点E， E ∵∠ADE是△ABD的外角， ∴∠ADE = ∠A + ∠ABD， ∵∠CDE是△CBD的外角， ∴∠CDE = ∠C + ∠CBD， ∴∠ADC = ∠ADE + ∠CDE = ∠A + ∠ABD + ∠C + ∠CBD = ∠A + ∠C + ∠ABC = 30° + 25° + 45° = 100°。 15．（2024-2025八年级上·四川绵阳·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于E。 （1）若∠B = 30°，∠ACB = 80°，求∠E的度数； （2）猜想∠E与∠ACB - ∠B的数量关系，并证明。 【答案】（1）25°；（2）∠E = (∠ACB - ∠B)，证明见详解。 【分析】先求∠BAD，再利用外角求∠PDE，最后在直角三角形中求∠E。 【详解】解：（1）在△ABC中， ∠BAC = 180° - 30° - 80° = 70°， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD = 35°， ∵∠PDE是△ABD的外角， ∴∠PDE = ∠B + ∠BAD = 30° + 35° = 65°， ∵PE⊥AD，∴∠DPE = 90°， 在Rt△DPE中，∠E = 90° - 65° = 25°。 （2）猜想：∠E = (∠ACB - ∠B)。 证明：设∠BAD = ∠CAD = x， ∠PDE = ∠B + x， 在Rt△DPE中，∠E = 90° - (∠B + x)， 又∠BAC = 2x = 180° - ∠B - ∠ACB， ∴x = 90° - (∠B + ∠ACB)， 代入得：∠E = 90° - ∠B - 90° + (∠B + ∠ACB) = (∠ACB - ∠B)。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．3，4，8 【答案】C 【分析】根据三边关系：较短两边之和大于最长边。 【详解】解： A. 1 + 2 = 3，不能组成三角形； B. 2 + 2 = 4，不能组成三角形； C. 3 + 4 > 5，能组成三角形； D. 3 + 4 < 8，不能组成三角形。 故选：C。 2．（2024·上海·中考）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　） A．120° B．105° C．60° D．45° 【答案】B 【分析】利用三角形外角性质，∠1 = 60° + 45° = 105°。 【详解】解：根据三角形外角的性质： ∠1 = 60° + 45° = 105°。 故选：B。 3．（2024·广东·中考）如图，AB∥CD，∠A = 30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 【答案】B 【分析】利用平行线性质和角平分线、外角性质综合求解。 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠ADC = ∠A = 30°（内错角相等）， ∵DA平分∠CDE， ∴∠CDE = 2∠ADC = 60°， ∵AB∥CD， ∴∠DEB = ∠CDE = 60°（内错角相等）。 故选：B。 4．（2024·江苏苏州·中考）如图，在△ABC中，点D在AB的延长线上，若∠A = 35°，∠CBD = 105°，则∠C的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】∠CBD是外角，等于∠A + ∠C。 【详解】解：∵∠CBD是△ABC的外角， ∴∠CBD = ∠A + ∠C， ∴∠C = ∠CBD - ∠A = 105° - 35° = 70°。 故选：C。 5．（2024·浙江杭州·中考）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD = CE，若∠ABC = 30°，则∠D的度数为（　　） A．85° B．75° C．65° D．55° 【答案】B 【分析】利用平行线求∠C，再利用等腰三角形求∠D。 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠C = ∠ABC = 30°（内错角相等）， ∵CD = CE，∴△CDE是等腰三角形， ∴∠D = ∠CED = (180° - 30°) ÷ 2 = 75°。 故选：B。 6．（2024·山东济南·中考）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE = 75°，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【答案】D 【分析】利用三角形内角和、外角性质综合计算。 【详解】解：在△BDE中，∠B = 45°，∠BDE = 75°， ∴∠BED = 180° - 45° - 75° = 60°， ∠AEM = 180° - 60° - 30° = 90°， 在△AME中，∠A = 30°，∠AEM = 90°， ∴∠AMD = 90°。 故选：D。 7．（2024·湖北武汉·中考）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A = 35°，∠C = 24°，则∠D的度数是___59_____。 【答案】59° 【分析】先求∠CBD（外角），再利用平行线求∠D。 【详解】解：∵∠CBD是△ABC的外角， ∴∠CBD = ∠A + ∠C = 35° + 24° = 59°， ∵DE∥BC， ∴∠D = ∠CBD = 59°（内错角相等）。 故答案为：59。 8．（2024·四川成都·中考）如图，AB∥CD，∠B = 20°，∠D = 30°，则∠E的度数是____50°____。 【答案】50° 【分析】过E作平行线，或利用外角模型。 【详解】解：过点E作EF∥AB， F ∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠B = ∠BEF = 20°，∠D = ∠DEF = 30°， ∴∠BED = ∠BEF + ∠DEF = 20° + 30° = 50°。 故答案为：50。 9．（2024·陕西·中考）如图，AB∥CD，∠A = 50°，∠C = 30°，则∠AEC的度数为（　　） A．20° B．50° C．80° D．100° 【答案】C 【分析】利用外角模型求解。 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠B= ∠C = 30°， ∵∠AEC是△ABE的外角， ∴∠AEC = ∠A + ∠B = 50° + 30° = 80°。 故选：C。 10．（2024·重庆·中考）如图，在△ABC中，∠A = 90°，D是AC上一点，DE∥BC，∠ADE = 155°，求∠B的度数。 【答案】65° 【分析】先求∠EDC，再利用平行线求∠C，最后求∠B。 【详解】解：∵∠ADE = 155°， ∴∠EDC = 180° - 155° = 25°， ∵DE∥BC， ∴∠C = ∠EDC = 25°（两直线平行，内错角相等）， 在Rt△ABC中，∠A = 90°， ∴∠B = 90° - ∠C = 90° - 25° = 65°。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册 第13章 三角形 复习与小结 本章知识体系总结 一、三角形的有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 2. 三角形的分类：按边分（不等边三角形、等腰三角形）；按角分（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。 二、三角形的重要线段 1. 三角形的高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段。 2. 三角形的中线：连接顶点与对边中点的线段。三条中线交于重心。 3. 三角形的角平分线：内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。 三、三角形的三边关系 1. 三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。 2. 判断三条线段能否组成三角形：只需验证较短两边之和大于最长边。 四、三角形的内角 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 2. 直角三角形的两个锐角互余。 3. 有两个角互余的三角形是直角三角形。 五、三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。 2. 性质：① 外角等于与它不相邻的两个内角的和；② 外角大于任何一个不相邻的内角。 3. 三角形的外角和等于360°。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 三角形基本概念与分类综合 1．（2024-2025八年级上·北京朝阳·期中）下列说法正确的是（　　） A．三角形分为等边三角形和不等边三角形 B．等腰三角形分为等边三角形和底与腰不相等的等腰三角形 C．三角形按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D．以上都不对 2．（2024秋·上海闵行·单元测）若一个三角形的三个内角的度数比为2 : 3 : 4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（2024-2025八年级上·广东广州·月考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，3，6 D．2，2，4 题型02 三边关系综合应用 4．（2024秋·江苏苏州·单元测）已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边的长可以是（　　） A．3 B．4 C．7 D．10 5．（2024-2025八年级上·浙江杭州·期中）等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．13 6．（2024秋·山东济南·月考）三角形的两边长为2和5，则第三边x的取值范围是________；若第三边为整数，则第三边的长可以是________。 题型03 三角形重要线段综合 7．（2024-2025八年级上·湖北武汉·期中）下列说法错误的是（　　） A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高所在的直线相交于一点 8.（2024秋·湖南长沙·单元测）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积为12，则阴影部分的面积是________。 9．（2024-2025八年级上·河南郑州·月考）如图，AD是△ABC的角平分线，若∠B = 50°，∠C = 70°，则∠BAD = ________度。 题型04 内角和与外角性质综合计算 10．（2024秋·河北石家庄·单元测）如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠A = 60°，∠B = 40°，则∠ACD的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 11．（2024-2025八年级上·陕西西安·期中）如图，∠1 = 120°，∠A = 50°，则∠B的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）如图，在△ABC中，∠A = 50°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC = _______度。 13．（2024-2025八年级上·重庆渝中·期末）将一副三角板按如图方式摆放，则∠α的度数为（　　） A．75° B．105° C．120° D．135° 题型05 直角三角形综合 14．（2024秋·天津南开·单元测）在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 15．（2024-2025八年级上·四川成都·期中）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于D，则图中与∠A互余的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2024秋·安徽合肥·月考）已知：在△ABC中，∠A = ∠B + ∠C。求证：△ABC是直角三角形。 【答案】见详解 【分析】利用内角和定理，结合已知条件推出有一个角是直角。 题型06 角度计算综合题 17．（2024-2025八年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中，∠A = 70°，∠B = 50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数。 18．（2024秋·江西南昌·期中）如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B = ∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数。 19．（2024-2025八年级上·云南昆明·期末）如图，AB∥CD，∠A = 40°，∠D = 45°，求∠1和∠2的度数。 20．（2024秋·广西南宁·单元测）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B = 30°，∠E = 20°，求∠BAC的度数。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025八年级上·北京海淀·期末）已知a、b、c是三角形的三边长，化简|a + b - c| - |a - b - c|的结果是（　　） A．2a - 2c B．2b C．2a + 2b - 2c D．2a - 2b 2．（2024秋·上海浦东·期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC = 120°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．（2024-2025八年级上·广东深圳·期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1 + ∠2之间始终保持的数量关系是（　　） A．∠A = ∠1 + ∠2 B．2∠A = ∠1 + ∠2 C．3∠A = 2∠1 + ∠2 D．∠A = 2(∠1 + ∠2) 4．（2024秋·江苏南京·期末）如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数为（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 5．（2024-2025八年级上·浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，∠A = 80°，点D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A₂，则∠A₂的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 6．（2024秋·山东青岛·期末）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD = BC，点G、E、F分别是AB、AD、CG的中点，则阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 （二）填空题 7．（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）已知等腰三角形的周长为20，其中一边长为6，则另外两边长分别为________。 8．（2024秋·湖南长沙·期末）如图，在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠CDF = ________度。 9．（2024-2025八年级上·河南郑州·期末）如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = ________度。 A．90° B．180° C．270° D．360° 10．（2024秋·河北唐山·期末）如图，直线l₁∥l₂，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1 = 85°，则∠2 = ________度。 11．（2024-2025八年级上·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD = 2DC，S△GEC = 3，S△GDC = 4，则△ABC的面积是________。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁大连·期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC = 50°，∠C = 70°，求∠DAC和∠BOA的度数。 13．（2024-2025八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知BE、CE分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，它们相交于点E。 （1）若∠A = 60°，求∠E的度数； （2）猜想∠E与∠A的数量关系，并说明理由。 14．（2024秋·天津和平·期末）如图，∠B = 45°，∠A = 30°，∠C = 25°，求∠ADC的度数。 15．（2024-2025八年级上·四川绵阳·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于E。 （1）若∠B = 30°，∠ACB = 80°，求∠E的度数； （2）猜想∠E与∠ACB - ∠B的数量关系，并证明。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．3，4，8 2．（2024·上海·中考）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　） A．120° B．105° C．60° D．45° 3．（2024·广东·中考）如图，AB∥CD，∠A = 30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 4．（2024·江苏苏州·中考）如图，在△ABC中，点D在AB的延长线上，若∠A = 35°，∠CBD = 105°，则∠C的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 5．（2024·浙江杭州·中考）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD = CE，若∠ABC = 30°，则∠D的度数为（　　） A．85° B．75° C．65° D．55° 6．（2024·山东济南·中考）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE = 75°，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 7．（2024·湖北武汉·中考）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A = 35°，∠C = 24°，则∠D的度数是________。 8．（2024·四川成都·中考）如图，AB∥CD，∠B = 20°，∠D = 30°，则∠E的度数是________。 9．（2024·陕西·中考）如图，AB∥CD，∠A = 50°，∠C = 30°，则∠AEC的度数为（　　） A．20° B．50° C．80° D．100° 10．（2024·重庆·中考）如图，在△ABC中，∠A = 90°，D是AC上一点，DE∥BC，∠ADE = 155°，求∠B的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $