第一章空间向量与立体几何单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章过关检测 空间向量与立体几何 （时间:120分钟 满分:150分） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设直线的方向向量,平面的法向量,若,则（ ） A. B. C. D. 2.已知空间内三点,,,在直线上有一点满足,则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3.已知在正方体中,是侧面的中心,且,则的值分别为（ ） A. B. C. D. 4.已知正方体的棱长为1,则平面与平面间的距离为（ ） A. B. C. D. 5.已知空间内三点,,,则（ ） A.与是共线向量 B.的单位向量是 C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是 6.已知在直三棱柱中,,,则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7.如图,在直三棱柱中,,,为上一点.若二面角的大小为,则的长为（ ） A. B. C. D. 8.在正方体中,分别为棱,,的中点,给出下列命题:①;②;③平面;④和所成角为.其中真命题的个数是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.在四面体中,下列说法正确的有（ ） A.若,则 B.若为的重心,则 C.若,,则 D.若四面体各棱长都为2,分别为,的中点,则 10.关于空间向量,以下说法正确的是（ ） A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面 B.若对空间中任意一点,有,则四点共面 C.设是空间中的一个基底,则也是空间中的一个基底 D.若,则是钝角 11.如图,已知正方体的棱长为2,是棱的中点,是棱的中点,设点到平面的距离为,直线与平面所成的角为,平面与平面的夹角为,则（ ） A.平面 B. C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在空间直角坐标系中,点为平面外一点,且,,若平面的一个法向量为,则点到平面的距离为________. 13.如图,在正四棱柱中,已知,与平面所成角的正弦值为,则正四棱柱的高为________. 14.如图,在三棱锥中,,且,分别是和的中点.则异面直线与所成角的余弦值为________,直线与面所成角的大小为________. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,在四棱锥中,底面为矩形,棱底面,,,,点为的中点. (1)求的值; (2)在侧面内找一点,使平面,并求出点到直线和的距离. 16. (15分)在直三棱柱中,,,是的中点,如图所示. (1)求证:平面; (2)求直线到平面的距离. 17. (15分)已知三棱锥,平面,,且,是上一点,连接,,如图所示. (1)求证:; (2)当与底面所成角的正切值为时,求直线与平面所成角的正弦值. 18. (17分)如图,在三棱柱中,,,是棱的中点,棱平面. (1)求异面直线与所成的角; (2)求平面与平面所成二面角的正弦值. 19.(17分)如图,四棱锥的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,为棱上的点. (1)求证:; (2)若平面,求平面与平面的夹角的大小; (3)在(2)的条件下,棱上是否存在一点,使得平面.若存在,求的值;若不存在,试说明理由. 第一章过关检测 空间向量与立体几何 参考答案与解析 1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.ABC 10.ABC 11.BCD 12. 解析:在空间直角坐标系中,点,, 所以,而平面的一个法向量, 所以,即,解得, 所以,点,则, 则由点到平面距离公式可得. 13. 解析:以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 设,则点,,,,,,. 设平面的一个法向量, 则可取, 故. 又直线与平面所成角的正弦值为, 所以,解得. 14.; 解析:因为, 所以以为坐标原点,,,所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系(图略).设,则点,,,,. 因为,,,所以异面直线与所成角的余弦值为,平面的一个法向量,则由,得, 即直线与平面所成角的大小为. 15.解:(1)由题意可知,,两两垂直,以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,如图, 则点,, ,,,, 所以. (2)设在侧面内存在一点,使平面成立,点,,,,, 所以解得 所以点. 所以点到的距离为,点到的距离为. 16.(1)证明:连接交于点,连接,则为中点,又是的中点,所以. 因为平面,平面,所以平面. (2)解:因为平面,所以到平面的距离就等于点到平面的距离.设中点为,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 则点,,, ,,. 设平面的一个法向量, 则即 令,则, 故所求距离. 17.(1)证明:因为平面,所以.又,且与交于点,所以平面. 又平面,所以. (2)解:以为原点,,,所在的直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 设,则点,,,,.设点,由,得,所以. 因为平面的一个法向量, 由与底面所成角的正切值为,可得, 于是,即, 解得, 则点,,,.设平面的法向量, 则即 令,得,,则是平面的一个法向量. 设直线与平面所成的角为, 则, 故直线与平面所成角的正弦值为. 18.解:(1)因为棱平面, 所以,. 又,所以以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 因为,,都是三棱柱的侧棱,且底面, 所以四边形与都是矩形. 因为,所以矩形与矩形都是边长为的正方形. 所以点,,,,,, 所以,, 所以 , 所以异面直线与所成的角是. (2)因为是棱的中点,所以. 由(1),知点,,, 所以,,. 因为侧棱底面,所以是平面的一个法向量. 设平面的一个法向量, 则即解得故可取. 所以 , 所以. 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 19.(1)证明:连接,设交于点,由题意知平面.以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 设底面边长为,则高. 所以点,,, ,. 又,故,从而. (2)解:由题意知,平面的一个法向量,平面的一个法向量,设所求角为,则, 所以平面与平面的夹角为. (3)解:存在.理由:由(2)知是平面的一个法向量,且, . 设,则 , 而,解得,即当时, ,而不在平面内,故平面. 学科网（北京）股份有限公司 $