精品解析：福建福州市闽侯县第一中学2026-2027学年高一上学期10月考数学试题

2026.10闽侯一中高一上月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 4. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为两次实际称得的黄金总重量（ ） A. 等于 B. 大于 C. 小于 D. 以上都有可能 8. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（  ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 是真命题 C. 如果集合A满足，则满足条件的集合A的个数为7个 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为12 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 当时，不等式的解集可以为的形式 C. 不等式的解集恰好为，那么 D. 不等式的解集恰好为，那么 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，则实数a=______． 13. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_____________. 14. 已知一个有四个数字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则的元素之和等于______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，常数，. （1）当时，求； （2）若是的必要非充分条件，求实数a的取值范围. 16. 已知关于 x 的不等式 ，其中 ． （1）若该不等式的解集为 ，求 a 的值； （2）解不等式，其中 ． 17. 某公司经过调研知：某产品年产量最大为件，生产该产品年固定成本为万元，年产量为件时另需投入可变成本（单位：万元），若，每件产品的售价为1万元，且生产的产品能够全部销售完 （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. （1）若命题为真，求实数的取值范围： （2）若命题为真，求实数的取值范围： （3）若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 19. 已知实数，，满足． （1）证明对任意的，，恒成立， （2）若为大于1的自然数，能够使得对任意的，，恒成立，求的值； （3）自然数p，m，n满足什么条件时，不等式对任意的，，恒成立？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026.10闽侯一中高一上月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶次根式有意义的要求可解不等式求得集合，根据交集定义可得结果. 【详解】由得：，即，又，. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定的方法得到结果即可. 【详解】根据含有一个量词的否定， 命题“”，它的否定为“”. 故选：C. 3. 设全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到与集合的关系. 【详解】由题知， ， 所以又， 所以. 故选：C. 4. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式的解集为，依题意有，可求实数的范围. 【详解】不等式解得， 若“”的一个必要不充分条件是“”， 则有，所以. 故选：D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意计算可得、、，即可比较. 【详解】， ， ， 由， 则， 故， 即. 故选：D. 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，由讨论与求解即可. 【详解】由得，所以 又 当时，有得； 当时，有得； 综上所述： 故选：D 7. 某商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为两次实际称得的黄金总重量（ ） A. 等于 B. 大于 C. 小于 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】设相关未知数，根据题意可得，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，均为正数， 则，即， 可得， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立， 即，所以顾客购得的黄金大于. 故选：B. 8. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合、，再分中的两个整数是、和中的两个整数是、两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以； 由，即， 解得， 所以， 若集合中的两个整数是、，则，解得； 若集合中的两个整数是、，则，解得； 综上可得实数a的取值范围是或. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（  ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 是真命题 C. 如果集合A满足，则满足条件的集合A的个数为7个 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的概念可判定A、D，利用特称量词命题的概念可判定B，利用子集的概念结合集合的性质可判定C. 【详解】对于A项，由可知，满足充分性；由知可为负数，不能推出， 不满足必要性，故A正确； 对于D项，同理由不能推出，因为可能为0，即不满足充分性； 若则，满足必要性，故D正确； 对于B项，显然方程无实数根，即B错误； 对于C项，易知中至少有2个元素，至多有4个元素，列举符合条件的情况如下：共7个，故C正确. 故选：ACD 10. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为12 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项利用基本不等式直接求解即可，B选项利用已知把双变量转化成单变量再利用基本不等式求解即可，注意基本不等式的取等条件，C选项利用常数代换把转换为有定值的基本不等式求解即可，D选项先利用换元法把复杂的式子变简单，然后利用基本不等式中的乘1法求解即可. 【详解】对于选项A：即，当且仅当即，时取得，与，相符，故A对； 对于选项B：由得，因为，所以得， 当且仅当即时取最小值，与不符，故B错； 对于C: ，当且仅当即时取得，与，相符，故对； 对于:令得，得， 所以 化简得，当且仅当即，时取得，与，相符，故D错. 11. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 当时，不等式的解集可以为的形式 C. 不等式的解集恰好为，那么 D. 不等式的解集恰好为，那么 【答案】AD 【解析】 【分析】A：由，利用判别式即可判断； B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，利用图象即可判断； C：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断； D：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断； 【详解】解：对于A：由，可得，又，所以，从而不等式的解集为，故A正确； 对于B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，如图所示，设交点， 由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误； 对于C：由不等式的解集恰好为，可知，即， 所以和是方程的两根，从而有，解得或， 又由，解得或，不满足，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，由，解得或，当时满足，此时，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，则实数a=______． 【答案】3或1 【解析】 【分析】根据3∈A即可得出a22a=3，解方程得到a即可． 【详解】∵3∈A，A={1，2，a22a}， ∴a22a=3， 解得a=1或3 故答案为1或3． 【点睛】本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题． 13. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，可解得的值，进而可解分式不等式. 【详解】由题意可知，且1和2是方程的两根， 所以解得所以，即为， 可化为，即，解得. 所以所求不等式的解集是. 故答案为：. 14. 已知一个有四个数字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则的元素之和等于______. 【答案】2024 【解析】 【分析】利用集合的非空子集个数先求出含每个元素的集合个数，在进行求和即可． 【详解】解：设集合， 由一个集合中有n个元素，则它有个子集，非空子集有（−1）个可得： 含有元素的集合有个， 含有元素的集合有个， 含有元素的集合有个， 含有元素的集合有个， 若集合的所有非空子集的元素之和是16192， 则集合的所有元素和为， 则； 故答案为：2024． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，常数，. （1）当时，求； （2）若是的必要非充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解不等式化简集合，再由并集运算可得； （2）分类讨论求解集合，再由是的必要非充分条件，得，由包含关系列出参数的不等式，求解可得. 【小问1详解】 由，解得，则， 当时，， 所以，则. 【小问2详解】 由是的必要非充分条件，则， 由， 当时，，， 而，不满足； 当时，，， 要使，则，且等号不同时成立， 解得， 故实数a的取值范围为. 16. 已知关于 x 的不等式 ，其中 ． （1）若该不等式的解集为 ，求 a 的值； （2）解不等式，其中 ． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解可知对应方程的根，利用根与系数的关系求解； （2）求出不等式对应方程的根，讨论两个根的大小关系，结合二次函数图象与性质即可写出不等式的解集. 【小问1详解】 若不等式的解集为， 则方程的两根为1和2， 所以，解得. 【小问2详解】 不等式对应方程的两根为和1， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 17. 某公司经过调研知：某产品年产量最大为件，生产该产品年固定成本为万元，年产量为件时另需投入可变成本（单位：万元），若，每件产品的售价为1万元，且生产的产品能够全部销售完 （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为800件时，该公司所获利润最大,最大利润为86万元. 【解析】 【分析】（1）根据条件即可建立年利润关于年产量（件）的函数解析式； （2）根据函数的表达式，利用二次函数的性质及基本不等式即可求出最大值． 【小问1详解】 由题意可得， 所以． 【小问2详解】 当，时，． 当时，取得最大值． 当，时，． 当，即时，取得最大值． 综上，当时，取得最大值86，即年产量为800件时，该公司所获利润最大,最大利润为86万元． 18. 已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. （1）若命题为真，求实数的取值范围： （2）若命题为真，求实数的取值范围： （3）若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）由题设两根为，则，据此结合韦达定理可得答案； （2）即方程无解，分两种情况结合题意可得答案； （3）由（1）（2）答案结合题意可得真假或假真，据此可得答案. 【小问1详解】 由题设两根为，则判别式或. 关于的方程在有两个不相等的实数根， 则，由韦达定理：. 则，结合或，可得实数的取值范围为：； 【小问2详解】 即方程无解. 当时，方程显然无解，满足题意； 当时，判别式. 综上可得，实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（1）（2）分析，若命题为假，实数的取值范围为； 若命题q假，实数的取值范围为或. 命题与命题恰有一个为真，则真假或假真. 若真假，则； 若假真，则. 综上，实数的取值范围为：或. 19. 已知实数，，满足． （1）证明对任意的，，恒成立， （2）若为大于1的自然数，能够使得对任意的，，恒成立，求的值； （3）自然数p，m，n满足什么条件时，不等式对任意的，，恒成立？ 【答案】（1） ，令， 则， 所以 ， 所以恒成立； （2）2或3； （3）， 【解析】 【分析】（1）令，则，所以，证毕； （2）令，则，变形，只需，不等式两边同除以，令，参变分离得到，由基本不等式求出，所以，所以或3； （3）同（2），变形得到，由基本不等式得到，故，得到，证毕. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，则， 故 ， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， 由于，当且仅当，时，等号成立， 所以，为大于1的自然数，所以或3； 【小问3详解】 自然数p，m，n满足时，对，，恒成立； 理由如下：令，则， 则， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， p，m，n为自然数，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，即， 所以，，必要性成立， 当时，，即， 所以， 所以对，，恒成立，充分性成立， 综上，自然数p，m，n满足时，对，，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $