吉林长春市第108中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试题

108中学九年级第一次月考·数学试题 2026.10.10 出题人：任传勇 初审：于文竹 复审：曲伟 终审：贾兴来 一、单选题(每小题3分，共计24分) 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则(   ) A． B． C． D． 3．用配方法解方程，配方后所得方程为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，，AD＝4，BD＝2，AE＝3，则AC的长是（　　） A． B．6 C． D． 5．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件.如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（   ） A．x(x+1)=132 B．x(x-1)=132 C．x(x+1)=132× D．x(x-1)=132×2 6．如图，在中，中线与中线相交于点G，连结．下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 7．已知某商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点O为位似中心，且位似比为，点A、B、E从左至右依次在x轴正半轴上，点C、D、F、G在x轴上方．若，则点F的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题(每小题3分，共计18分) 9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10．若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 11．如图，在中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，若CD=5,BC=6,则AC______． 12．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为______． 13．如图，在中，是高，矩形的一边在边上，另两个顶点M、N分别在边上，与相交于点E．若，则_________ ． 14．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15.（1）计算 （2）解方程2(x-1)2=3x-3 16.已知∶如图，若，求． 17．校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？ 18．如图，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图象高米，则投影机光源离屏幕大约为多少米？ 19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．    (1)在图①中的边上确定一点D，连结，使得； (2)在图②中的边上确定一点E，连结，使得； (3)在图③中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结，使得． 20．如图，等边的边长为4，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)直接写出的长为_________． 21．已知关于的一元二次方程． (1)当时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的的值．并求此时方程的根． 22．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 23．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 24．如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、Q同时停止运动，连结，设点P的运动时间为t秒（）． (1)①的长为________； ②线段的长为________；（用含t的代数式表示） (2)当点P与点B重合时，求t的值； (3)当点P在上运动时，求与一边垂直时t的值； (4)当将分成两部分图形的面积比为时，直接写出t的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A D B C C C 9． 10．4 11．8 12．5 13． 14．②③④ 15． 16. 17.解：设道路的宽为xm， （32－x）（20－x）=540， 整理，得x2－52x+100=0， ∴（x－50）（x－2）=0， ∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去）， 小道的宽应是2m． 18．解：如图，过点作于点，交于点， 由题意得：，米，米， ∴， ∵点为光源，与胶片的距离为米， ∴米， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：投影机光源离屏幕大约为5米． 19． 20．(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 21．（1）解：由一元二次方程的定义可知，， ∵， ∴关于的一元二次方程根的判别式 ， 当时，这个方程根的判别式，方程有两个相等的实数根； 当，且时，这个方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根； 综上，当时，方程有两个相等的实数根；当，且时，方程有两个不相等的实数根． （2）解：由一元二次方程的定义可知，， 关于的一元二次方程根的判别式， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴写出一组满足条件的的值为， 此时方程为，整理得：， 解得． 22． （1）证明： ∴， ∴ ∴ ∴；            （2）3；（3）4或 23．（1）根据题意得：， 故答案为：9； （2） ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （3）设生物园的面积为，则 ， 当，即时，S取得最大值，最大值为50平方米． 24．（1）解：①∵在中，，，， ∴， 故答案为：10． ②由题意，，∴， ∵，， ∴， 故答案为： （2）解：当点P与点B重合时，，则， ∴， 故t的值为2； （3）解：根据题意，当点P在上运动时，， 可分三种情况： 当时，如图1， 则，又， ∴， ∴，则， 解得； 当时，如图2， 则，又， ∴， ∴，则， 解得； 当时，∵，∴这种情况不成立， 综上，满足条件的t值为或； （4）解：当点P在上时，，如图3，过点P作于D， 则，又， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵将分成两部分图形的面积比为时，， ∴或， 当时，则， 解得，（舍去）； 当时，则， ∵， ∴此方程无解； 当点P在上时，，如图4， ∵，， ， 当时，则， 解得，（舍去）； 当时，则， ∵， ∴此方程无解， 综上，满足条件的t值为或 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $