15.3.2等边三角形 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3.2等边三角形 第二课时 含30度的直角三角形 RJ数学八年级上册 复习导入 　　1．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°， ∠C＝72°．分别计算 ∠1，∠2 的 度数，并说明图中有哪些等腰三角形． 　　分析： （三角形的外角) ∠1＝∠2＋∠A 根据“等角对等边”写出等腰三角形 ∠ABC＝180°－∠A－∠C ∠C＝72° ∠A＝36° ∠DBC＝36° ∠2＝∠ABC－∠DBC 　　1．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°， ∠C＝72°．分别计算 ∠1，∠2 的 度数，并说明图中有哪些等腰三角形． 　　解： ∵ 　∠A＝36°，∠C＝72°， 　　∴　∠ABC＝180°－∠A－∠C＝72°． 　　∵ 　∠DBC＝36°， 　　∴ 　∠2＝∠ABC－∠DBC＝36°． 　　∴ 　∠1＝∠2＋∠A＝72°． ∴ 　∠ABC＝∠C＝∠1， ∠A＝∠2． 　　∴ 　△ABC，△BCD，△ABD 都是等腰三角形． 　　 2．如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等 腰三角形吗？为什么？ 　　分析： A D B C 1 2 3 （等角对等边) ∠1＝∠3 重合部分为等腰三角形 ∠2＝∠3 AD∥BC ABCD 为长方形 ∠1＝∠2 折叠 　　 2．如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等 腰三角形吗？为什么？ 　　解：重合部分为等腰三角形．理由如下： 如图折叠后可得∠1＝∠2 ． 　　∵ 　四边形 ABCD 为长方形，　　 ∴ 　AD∥BC． 　　∴ 　∠ 3＝∠2． 　　∴ 　∠ 3＝∠1． 　　∴ 　重合部分为等腰三角形． A D B C 1 2 3 探究新知 如图1-6，在Rt△ABC中，∠BCA =90°，如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB有什么关系呢? C B A 图1-6 30° 量一量，猜一猜 量一下你手中30°的三角板你得到的结论还成立吗？ 在直角三角形中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半 探究新知 证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD 在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°． ∵BD =AB ∴△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD, 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． A C B D ∴　BC = AB．　　 ∴　BC = BD．　　 你还能用其他方法证明吗？ 探究新知 A C B 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． B E 探究新知 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： ∵　在Rt△ABC 中， 　　∠C =90°，∠A =30°，　　 A B C ∴　BC = AB．　　 巩固练习 √ 判断下列说法是否正确： 1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍． Tips:必需是直角三角形，30 °的角所对的直角边，明确斜边 例题讲解 想一想：　图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 例1　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？ A B C D E ∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °， ∴BC= AB=3.7, DE= AD=1.85. 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. Tips:找准30 °的角所对的直角边，明确斜边 巩固练习 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， AB＝12cm，BC＝10cm，△ABC的面积是多少 C B A Tips:含有30°角直接构造直角三角形 巩固练习 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20. 求腰上的高. A C B D 15 ° 15 ° 20 ) ) Tips:含15°角利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角构造直角三角形来解决 方法小结 1.含有30°角直接构造直角三角形 问题中出现探究线段倍分关系，求线段长度时 2.含15°角利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角构造 直角三角形 3.含60°角利用余角，得出30°角，构造直角三角形 例题讲解 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 A B C D 归纳总结 1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm D 2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　) A．3 B．2 C.1.5 D．1 E C 3.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长． 7.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°. ∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC ∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°. ∴AB=2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°， ∴∠ADE=30°，∴AD=2AE. ∴AB=4AE，∴BE=3AE. 8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ. 拓展提升 ∴△ADC≌△BEA. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°， ∵CD=AE， ∴∠CAD=∠ABE. ∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又∵ BQ⊥AD， ∴BP=2PQ. ∴∠PBQ=30°， ∴∠BQP=90°， 谢谢观看 $