15.3 第3课时 等边三角形的性质与判定-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第3课时等边三角形的性质与判定 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，△ABC是等边三角形，AB=6,BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E,使CE=CD,则 BE的长为 () 17 A.7 B.8 C.2 D.9 B >0 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，△ABC是等边三角形，点B,C,D,E在同一条直线上，且CG=CD,DF=DE,则∠E的 度数为 () A.25° B.20° C.15 D.7.5 3.如图，△ABC是等边三角形，点E,F分别在边AB,AC上，若EF∥BC,△ABC的周长为21， BE=2,则EF的长为 4.*如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，BE⊥BC,AEBD,CE交BD于点F. (1)求∠BAE的度数. (2)判断△BEF的形状，并予以证明. (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E,使得CE=CD,连接DE, 过点E作EF⊥DE交AC的延长线于点F.若△ABD的面积为12，则△CEF的面积为（) A.3 B.4 C.6 D.8 B (第5题) (第6题) 6.如图，∠ABC=120°，BD平分∠ABC,∠DAC=60°.若AB=2,BC=3,则BD的长为() A.5 B.7 C.8 D.9 54 第十五章轴对称 7.如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC=CD,∠ACD=90°，连接BD交AC于点E,则 ∠BEC的度数为 (第7题) 8.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点. (1)以AD为边构造等边三角形ADE(其中点D,E在直线AC两侧)，连接CE,猜想CE与AB 的位置关系，并证明你的结论 (2)若过点C作CM∥AB,在CM上取一点F,连接AF,DF,使得AF=DF,试猜想△ADF的 形状，并证明你的结论。 备用图 (第8题) 议门三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，且∠BDC=120°. (1)如图①，设∠ABD=a,求∠ACD的度数（用含α的式子表示）. (2)如图②，E是BC的中点，连接AD,DE,用等式表示线段AD与DE之间的数量关系，并予 以证明. ① ② (第9题) ●“答案与解析”见P33 5590°=117.DE∥AB,∴.∠E+∠BAE=180°.∴.∠E= 180°-∠BAE=180°-117°=63°.(2)：AD平分 ∠BAC交BC于点D,.设∠BAD=∠CAD=a. AE⊥AD,.∠DAE=90°..∠BAE=∠DAE+ ∠BAD=90°+a,∠FAE=∠DAE-∠CAD=90°-a. DE∥AB,∴.∠E+∠BAE=180°.∴.∠E=180° ∠BAE=180°-(90°+a)=90°-a..∠FAE=∠E= 90°-a.∴.FA=FE.∴.△AEF是等腰三角形 5.D分三种情况讨论，即A,O,P三点分别为△AOP的 顶，点时，作出图形如图所示，可知使得△AOP是等腰三角 形的点P的个数为8 (第5题) 6.CAB=AC,∴.∠B=∠C.MN⊥BC, ∴.∠MNC=∠MNB=90°.∴.∠B+∠BON=90°，∠C+ ∠M=90°.∴.∠M=∠BON.'∠BON=∠MOA, ∴.∠M=∠MOA.∴.AM=AO=3.:'BO=4,∴.AB= AC=AO+BO=7...MC=AM+AC=10. 7.8如图，连接AE.△ABC的周长为26，∴.AB+ AC+BC=26.AC=10,∴.AB+BC=26-10=16. :EF是AC的垂直平分线，∴.EA=EC.∴.∠1=∠C ∴.∠2=∠1+∠C=2∠C.:∠B=2∠C,∴∠B=∠2. .AB=AE..AB=CE.AD⊥BC,∴.BD=DE .AB+BC=AB+BE+CE=CE+2DE+CE=2CE+ 2DE=2CD=16.∴.CD=8. 2A B DE (第7题) 8.(1):'AE平分∠BAC,∴.∠CAE=∠BAE.设∠CAE= ∠BAE=a.点D在AB的垂直平分线上，∴.AD=BD. ∴.∠BAD=∠ABD=a..∠ADC=∠BAD+∠ABD= 2a..AC=BD,AD=BD,.AC=AD.∴.∠ACD= ∠ADC=2a.又.'∠BAC=∠BAD+∠CAD=2a, .∠BAC=∠BCA.∴AB=BC.AE=AB,∴.AE BC,AD+DE=BD+DC..AD=BD,.DE=DC. ∴.∠DEC=∠DCE.又：∠ADC=∠DEC+∠DCE= 2a,∴.∠DEC=a=∠CAE..AC=EC.∴.△ACE为等 腰三角形.(2)：AE平分∠BAC交BC于点D, ∴.∠CAE=∠BAE=0.由(1)，可得∠ACD=∠ADC= 20.又∠CAE+∠ACD+∠ADC=180°，.0+20+ 20=180°..0=36°..∠BAE=36°.AE=AB, ·∠ABE=2X(180°-36)=72. 一微专题·角平分线+平行线一→等腰三角形 1.21BD平分∠ABC,.∠EBD=∠CBD. .EF∥BC,∴.∠EDB=∠DBC.∴.∠EDB=∠EBD. ∴.ED=EB.同理可得，FD=FC.∴.BE+CF=DE+ DF=EF.:△AEF的周长=AE+AF+FE=AE+ AF+BE+CF=AB+AC=14,∴.△ABC的周长= AC+AB+BC=14+7=21. 2.(1)AD∥BC,∴.∠ADC=∠DCB..CD平分 ∠ACB,∴.∠ACD=∠DCB.∴.∠ADC=∠ACD. ∴AD=AC.·AB=AC,∴AD=AB.∴.△ABD是 等腰三角形.(2)设∠ADC=x.由(1)，可得∠ADC- ∠ACD=∠DCB=x.∴.∠ACB=∠ACD+∠DCB= 2x.:AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB=2x.:'∠BDC= 20°，∴.∠ADB=∠ADC+∠BDC=x+20°.：AD= AB,∴.∠ADB=∠ABD=x+20°.∠BDC+ ∠DBC+∠DCB=180°，.∴.∠BDC+∠ABD+ ∠ABC+∠DCB=180°..20°+x+20°+2x+x= 180°，解得x=35°.∴.∠ADC=35°. 第3课时等边三角形的性质与判定 1.D:△ABC是等边三角形，∴.BC=AB=AC=6. BD是∠ABC的平分线，CE=CD,.CE=CD= AC=3.·BE=BC+CE=9. 1 2.C:△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=60°. '∠ACB=∠CGD+∠CDG,∴.∠CGD+∠CDG=60 CG=CD,∴.∠CGD=∠CDG=30°.∠CDG= ∠DFE+∠E,∴.∠DFE+∠E=30°.DF=DE, ∴.∠E=∠DFE=15°. 3.5:△ABC是等边三角形，∴.∠B=∠C=60°，AB= BC=AC.:EF∥BC,∴.∠AEF=∠B=60°，∠AFE= ∠C=60°..∠AEF=∠AFE=60°.∴AE=AF. ∴.△AEF是等边三角形.∴.EF=AE.△ABC的周长 为21，.AB=7.又·BE=2,∴.AE=ABBE=7一2= 5..EF=AE=5. 4.(1)△ABC是等边三角形，.AB=BC=AC, ∠ABC=∠BCA=60°.：D是AC的中点，∴.∠ABD= ∠CBD=∠ABC=30.:AE∥BD,·∠BAE= ∠ABD=30°.(2)△BEF是等边三角形.：'BE⊥BC, ∴.∠EBC=90°.∴.∠EBF=∠EBC-∠CBD=60°， ∠EBA=∠EBC-∠ABC=3O°.'∠BAE=∠EBA (EA=EB, 30°，∴.EA=EB.在△EAC和△EBC中，AC=BC, CE=CE, ∴.△EAC≌△EBC(SSS)..∠ACE=∠BCE= 2∠BCA=30.:∠BFE是△FC的外角，∠BFE= ∠CBD十∠BCE=6O°.在△BEF中，∠EBF=∠BFE= 60°，∴.△BEF是等边三角形. 方法归纳 等边三角形判定方法的选择 (1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三 角形是等边三角形”来判定。 (2)若已知三角关系，则考虑用“三个角都相等的三 角形是等边三角形”来判定。 (3)若已知该三角形是等腰三角形，则考虑用“有一 个角是60的等腰三角形是等边三角形”来判定 5.C:△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线， S△ABm=12,∴.∠BDC=90°，∠CBD=30°，∠ACB=60°， S△Am=SAcm=12.CE=CD,EF⊥DE,.∠CDE= ∠CED-号×60=30，∠DEF=90.·∠ECF= ∠CEF=60°..△CEF是等边三角形.∴.EF=CF= CE=CD.∴.C为线段DF的中点.在△BCD和△DFE ∠CBD=∠FDE, 中， ∠BDC=∠DEF,∴.△BCD≌△DFE(AAS). CD=FE, 六S0m=Sam=12.Saw=sas= 6.A如图，在CB的延长线上取点E,使BE=AB,连接 AE.:∠ABC=120°，∴.∠ABE=180°-∠ABC=60°， BE=AB,.△ABE是等边三角形..AE=AB, ∠BAE=∠E=60°.：∠DAC=60°，∴.∠DAC= ∠BAE.:∠BAD=∠BAC+∠DAC,∠EAC=∠BAC+ ∠BAE,∴.∠BAD=∠EAC.:BD平分∠ABC, :∠ABD=∠ABC=0.·∠ABD=∠E.t在△ABD ∠BAD=∠EAC, 和△AEC中，AB=AE, .∴.△ABD≌△AEC ∠ABD=∠E, 3 (ASA)...BD=EC..EC=BE+BC=AB+BC=2+ 3=5,∴.BD=5. E B C (第6题) 7.105°：△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠ACB= 60°.AC=CD,.BC=CD..∠CBD=∠CDB. :∠ACD=90°，∴.∠BCD=∠ACB+∠ACD=150°.在 △CBD中，∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°， ∴.2∠CBD+150°=180°.∴.∠CBD=15.在△BCE中， ∠BEC=180°-（∠CBD+∠ACB)=180°-(15°+ 60)=105. 8.思路导引 (1) △ABC,△ADE为等边三角形 SAS可证△ABD≌△ACE ∠ACE=∠B=60° ∠BAC=∠ACE CE∥AB (2) CM∥AB ∠MCG∠B-609 ∠ACM=∠MCG 作垂线 FN=FH AF=DF Rt△AFN≌Rt△DFH(HL) ∠FAN=∠FDH 8字模型 ∠AFD=∠ACB=60° AF=DF △ADF为等边三角形 (1)CE∥AB.如图①.：△ABC和△ADE是等边三角 形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°= ∠ABC.∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即 AB-AC. ∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中， ∠BAD=∠CAE, AD-AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS).∴.∠ABD=∠ACE=60. ∴.∠BAC=∠ACE.∴.CE∥AB.(2)△ADF是等边三 角形.如图②，延长BC至点G,使得CG=CF,过点F作 FH⊥CG于点H,FN⊥AC于点N.:CM∥AB, ∴.∠BAC=∠ACF=60°，∠FCG=∠B=60°.∴.△CFG 是等边三角形..CF=FG.又：∠ACF=∠BAC=60°， .∠FCN=∠G=60°.：FN⊥AC,FH⊥CG ∴.∠FNC=∠FHG=90°.∴.△NFC≌△HFG(AAS) ∴.NF=FH.又：AF=DF,.Rt△AFN≌Rt△DFH (HL),∴.∠FAN=∠FDH.设AC与DF交于点Q. :∠AQD=∠FAN+∠AFQ=∠FDC+∠ACD, .∠AFD=∠ACD=60°.又AF=DF,.△ADF是 等边三角形. 0 D ① ② (第8题) 9.(1):△ABC是等边三角形，.∠ABC=∠ACB 60°，即∠ABD+∠DBC=60°，∠ACD+∠BCD=60° ∠BDC=120°，∴.∠DBC+∠BCD=180°-120°=60°. ∴.易得∠ABD+∠ACD=60°..∠ACD=60° ∠ABD=60°-a.(2)AD=2DE.如图，延长CD至点 F,使DF-BD,连接BF,AF.延长DE至点G,使GE= DE,连接BG.∠BDC=120°，.∠BDF=180° ∠BDC=60°.DF=BD,∴.△BDF是等边三角形 ∴.BF=DF=BD,∠FBD=∠BFD=6O°.∴.∠ABF十 ∠ABD=60°.：∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°， .∠ABF=∠DBC.△ABC是等边三角形，∴.AB= BC.∴.△ABF≌△CBD(SAS).∴.AF=CD,∠BFA= ∠BDC=120°.∴.∠AFD=∠BFA-∠BFD=60°.，E 是BC的中点，∴.BE=CE.又：∠BEG=∠CED,GE= DE,.△BEG≌△CED(SAS.∴.BG=CD,∠GBE= ∠DCE.∴.BG=AF.:∠BDC=120°，.∠DCB+ ∠DBC=60°.∴.∠GBE+∠DBC=60°，即∠GBD=60°， ∴.∠GBD=∠AFD=60°.在△DFA和△DBG中， DF=DB ∠AFD=∠GBD,∴.△DFA≌△DBG(SAS).∴.AD= AF=GB, GD=DE十GE=2DE. E (第9题) 第4课时含30°角的直角三角形的性质 1.B.AB=AC,∴.∠B=∠C=30°..AB⊥AD, ∴.BD=2AD=2X3=6,∠B+∠ADB=90°..∠ADB= 60°.∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴.∠DAC=30°. ∴.∠DAC=∠C.∴.DC=AD=3.∴.BC=BD+DC= 6+3=9. 2.4如图，连接AE.∠B=90°，∠C=15°，∴.∠BAC= 90°-15°=75°.：边AC的垂直平分线交AC于点D,交 BC于点E,.AE=CE..∠DAE=∠C=15. .∠BAE=75°-15°=60°..∠AEB=30°.AB= 2cm,∴.AE=2AB=4cm∴.EC=4cm A D C E (第2题) 3.(1):∠BAC=90°，∠C=30°，∴.∠ABC=90°-30°= 60°.：AD⊥BC于点D,.∠ADB=90°.∴.∠BAD= 30°.∴.∠CAD=60°.又BF平分∠ABC,∴.∠ABF= ∠CBF=30°..∠AFB=∠C+∠CBF=60°. ∴.∠AEF=∠BAD+∠ABF=60°..∠CAD= ∠AFB=∠AEF=60°.∴.△AEF是等边三角形. (2)由(1)知，△AEF是等边三角形，∴.EF=AE, ∠BED=∠AEF=60°.AD⊥BC,∴.∠EBD=30° .2ED=BE.又.∠BAD=∠ABF=30°，∴.BE=AE. .∴.AE=2DE. 4.CAB=AC,AD是△ABC的中线，.∴.AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD.∴.∠ADB=90°.：∠BAC=120°， ∴∠BAD=60°.：AE是∠BAD的平分线，∴.∠DAE= ∠EAB=30°.：'DF∥AB,∴.∠F=∠BAE=30° ∴.∠DAF=∠F=30°.∴.AD=DF.AB=11,∠B= 30°，∴.AD=5.5..DF=5.5. 5.(1):∠BAC=120°，AB=AC,∴.∠C=∠ABC= 2180-∠BAC)=30::CD=CA.∠CAD- ∠CDA-号(180°-∠C)=75·∠BAD=∠BAC ∠CAD=45°.：BE=BA,∴.∠E=∠BAE.∠ABC= ∠E+∠BAE=2∠BAE,∴.2∠BAE=30°.∴.∠BAE= 15°.∴.∠DAE=∠BAE+∠BAD=15°+45=60. (2)∠BAC=2∠DAE.CD=CA,.设∠CAD= ∠CDA=a.BE=BA,∴.设∠E=∠BAE=B. ∴.∠ABD=∠E+∠BAE=2B.'∠CDA=∠ABD+ ∠DAB,∴.∠DAB=∠CDA-∠ABD=a-2R. ∴.∠BAC=∠DAB+∠CAD=&-23+a=2(a-B).又