上海市进才中学2026-2027学年高二上学期10月素养测试数学试卷

上海市进才中学10月素养测试卷 (时间120分钟，满分150分) 高二数学试卷 注：解答题用空间向量和等体积法解决问题，不给过程分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分） I.若点A∈平面C,点B∈平面a,则直线AB 平而a. 2.若复数2=+ ,(i为虚数单位)，则z= 3.一个扇形的面积和孤长的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为 4.没有公共点是两条直线异面的 条件。 5.如图正方形OABC的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形 的直观图，则原图形的周长是 cm. 6.已知三条两两平行直线可确定a个平面，则f(x)=log6(x-a)(0<b<I)过定点 7.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2+2,则{an}的通项公式为 8.已知6,0都是正数，且a+行-=1，则b+君的最小值为 9.在平面直角坐标系中，已知点A(-2,3),B(3-2),沿x轴把坐标系折成120°的二面角， 则此时线段AB的长度为 10.矩形ABCD的长AB=2,宽AD=x,若PA⊥平面ABCD,矩形的边CD上至少有一个 点2，使得P2⊥B2,则x的范围是 11.在平面中，G和e,是互相垂直的单位向量，向tā满足a-4回=2，向t6满足 5-6e=1,求6在a方向上的数量投彩的最大值」 12.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，从点A发出的光线经侧面BCC,B,内部（不含 边界)一点S反射后投射到侧面DCCD内部（不含边界），则满足条件的点S所组成区域 的面积是 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分） 13.若函数y=f(x)在x=2处的切线斜率为2，则lim 2+2h)-f②=() 540 A.-2 B.1 C.2 D.4 14.已知、m是两条互异的直线，a、B是两个互异的平面，则下列命题中正确的是 () A.若lcB且a⊥B,则1La B.若l⊥B且aWB,则1⊥a c.若l⊥B且a⊥B,则川a D.若a∩B=m且lllm,则llWa 15.若两异面直线a,b所成的角为70°，过空间内一点P作与直线a,b所成角均为70的直线 L,则所作直线1的条数为（) A.1 B.2 C.3 D.4 16.设2马为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三 个结论： ①存在A,∈4，(1=1,23)，使得△4144是直角三角形： ②存在4，∈1，(1=1,2,3)，使得△A44是等边三角形： ③三条直线上存在四点A,(1=12,34),使得四面体4424A为在一个顶点处的三条棱两 两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，点E、F分别是AB、BC边上的 点，且那=E=k0<k<). BC BA E G (I)求证：E、F、G、H四点共面： (②)若四面体ABCD为棱长为6的四面体，求四边形EFGH的周长f(化) 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知向量ā与的夹角为135°，且同=1，=√2，若=a+1-)b,∈R. (1)当6⊥时，求实数2的值： (2)求的最小值. 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖搁.如图，在整搦P一ABC 中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC,D为PC的中点，M,N分别是AD,AB的中点. (I)证明：MN∥平面PBC; (2)求二面角C-AD-N的大小. 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面PAD⊥平面ABCD, PA⊥CD,∠BAD=I20°，PA=1.点E,F分别为棱PD,BC的中点，点G在线段AF 上. (I)证明：PA⊥平面ABCD; (2)求点B到平面PCD的距离： (3)设直线EG与直线PA所成的角为A,直线EG与平面 PAD所成的角为8，直线EG与平面PAF所成的角为8， 求cosC+sin8,+sing的最大值， 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 定义：若函数f(x)在定义域内，存在极大值∫(x)和极小值∫(：)，且存在一个常数k使 得k=),则称∫（✉）为极值差比函数，常数k为了()的“极值差比系数. X1一龙 (I)若函数F(x)=G(x)+six为“极值差比函数”且G(x)在R上严格增，试判断 H(x)=sinx是否为“极值差比函数”，并说明理由； (2)是否存在a使f(x)=x--inx的“极值差比系数”为2-a,若存在，求出a的值，若不 存在，请说明理由； @对于2)中的函数因，若Q,引求了网=x咖x的极值差比泵致 的取值范围