山东省青岛第二中学2026-2027学年第一学期高三10月份阶段练习数学试题

青岛二中2026-2027学年第一学期10月阶段练习 高三试题（数学） 时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.样本数据2,14,20,16,8的上四分位数为() A.14 B.8 C.16 D.18 2.复数2=1-31 1-i 则=() A.√2 B.2 C.5 D.5 3.已知随机变量X服从正态分布N1,o2),若P(0<X<1)=0.3,则P(X>2)=() A.0.3 B.0.2 C.0.4 D.0.6 4.已知底面直径为2的圆锥，其侧面展开图是半圆，将这个圆锥放置在球内，则球的最小表面积为() 8 16 A.3 B.4π C.2π D. 3 5.若n∈N,(1+x)+(1+x)+(1+x)°++(1+x)”的展开式中x2的系数为55，则n=() A.6 B.7 C.8 D.9 6在△ABC中，AB3,AC2,∠BAC=,点H是△ABC的垂心，若存在实数元，"使得A丽=1AB+:4C 则() A.元=1 4 2 3 B.=2 1 .4=3 1 1 D. 9 7.在△ABC中，角么，B,C所对的边分别为a,bc,则b-cosA-sinB是“AABC是等腰三角形的() a-ccosB sinA A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 an2 3 8.设U= a21 a2aa∈{-1,0，，a∈{01,2，a∈{L,2,3},i=1,2,3为3个矩阵构成的集合.从U中随 a31 432a33八 高三数学第 a11a2a13 机取一个矩阵，定义随机变量X如下：对于U中的每个矩阵A= 421 023 令X(A=a,+a2+a33, a31a2a33 则X(A)的数学期望为() 1 A 39 B.3 C.1 D.3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。 9.以下各组函数中，表示同一函数的有() A.y=xky=Vx2 B.y=l0g2x;y=210g2x tanx-1 C.y=tan(x- D.y=e*h10,y=10' 1+tanx 10.已知正方形ABCD,E是边AB的中点，将△ADE沿DE折起至△A'DE,若△A'CD为正三角形， 下列说法中正确的是() A.DE/平面A'BC B.A'E⊥A'C CDB与平面A'CD所成角的余弦值为25 D.二面角A'-CD-E的大小为四 11.已知{an}是首项为1的等差数列，{亿}是首项为2的等比数列.满足4,4，b成等差数列，b=244· 将数列{a}中的所有项按原顺序依次插人数列{b}中，在b.与b1之间插入2-1项{a}中的项，组 成一个新数列：b,4,b2,4,43,b,4,4,46,4,b4,,新数列中b,+1之前（不包括b,+1)所有项的和 记为T,若d= (21+2 符号[x]表示不超过x的最大整数，下列说法中正确的是() +Tn+2 A.a,=n,bn=2” B.T4=150 c.[d4]=5 D.使得[d]+[d]++[dn]≤2026成立的最大正整数n=45 1页，共2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12双曲线父x=】的新近线方程为 9 13.对函数y=nx的图象进行以下五种变换各一次： ①向左平移1个单位长度： ②向下平移1个单位长度： ③关于x轴对称： ④曲线上各点的横坐标变为原来的2信： ⑤曲线上各点的纵坐标变为原来的3倍： 要使得变换后的解析式为y=-3s(2x+1)-1,则不同的变换顺序有 种（用数字作答）. 1 14函数f(x)= ,2 +2x与函数g(x)=a(x+1)的图象仅有1个公共点，则参数a的 2x+a'a2x+1 取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图所示，直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直， D DB⊥AB,ED∥AB,AB=2DE=2BD=2,AC=BC,异面直线DE与 AC所成角为45°，点F,G分别为CE,BC的中点，点H是线段EG靠近点 A F+H G的三等分点. G (1)求证：A,B,F,H四点共面： (2)求三棱锥E-AHC的体积. 16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+3c2=3b2, 1)若sin B cosC=:,判断△1BC的形状： (2)求tan(B-C)的最大值 高三数学第？ 75分)日知提周C,若茶-1o>6:0的证为：点5为箱的右在点，油用年 不为0的直线交椭圆于M,N两点，当l与x轴垂直时，MW=3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)A,A,分别为椭圆的左、右顶点，直线AM,AN分别与直线12：x=1交于P,Q两点，证 明：四边形OPAQ为菱形. 18(17分)已知函数f(x)=e-)x-ainx-1. 1 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在原点处的切线方程： (2)若f(x)在 上单调递增，求α的取值范围： (3)当0≤a≤1时，证明：当x>0时，f(x)>0. 19.(17分)某科技公司正在研发一款新型量子计算芯片，该芯片的制造与测试流程分为三个关键阶 段：量子比特制备（第1阶段）、量子纠缠校准（第2阶段）和逻辑门操作验证（第3阶段）.测试人 员必须按顺序完成各阶段测试，且每个阶段的测试次数不限，只有当前阶段测试通过后才能进入下一 阶段.一旦通过第3阶段测试，即视为芯片合格并结束整个测试流程.已知某工程师进行测试时，第 1、2、3阶以单次剥试通过的：率分别为分，分·行且每次测试相互独立。记中件4(a:到为该 工程师第n次测试后芯片合格”. (1)求P(A),P(A4): (2)记“第k(2≤k≤n-1)次测试后恰好通过量子纠缠校准测试为事件B.,记“第k+1至n-1次进行 逻辑门操作验证测试没有通过且第n次通过”为事件Ck+1,求P(B),P(C+)并求P(A)的表达式： (3)比较P(B|A+H)与P(A+1|Bn)的大小. 页，共2页青岛二中2026-2027学年高三10月阶段性练习 数学试题参考答案 一、选择题 8 10 11 D AD BC ABD 二、填空题 12.y=±3x 13.20 14.u=1 【部分选填解析】 4.【提示】侧面展开图为半圆，轴截面为等边三角形，该圆锥的外 接球半径与轴截面的外接圆半径相等，=5 3 5.【详解】二项式通项为C"·1”-·x',因为x2的系数为55， 所以C+C+C++C2=55→C+C+C+C++C=55+C →C+C+C+…+C阳=55+1 →c=56→a+1n1-1-=56 3×2×1 .(n+1)nn-1)=8×7×6,因为neN,所以n=7 6.【详解】 ,H为垂心，∴.C丘⊥AB,B正⊥AC,B丘AC=0,C五AB=0 B五=A-AB=(O-1)AB+uAC,C=A五-AC-AB+(I-1)AC AB.AC-HABIAC cos-3*2*A-9,AG-4 [GQ-1)AB+μAdAC-00-1)AB·AC+μAC2-0→30-1)+4μ=0=→3+4 [.AB+(u-1)A⊙·AB-0→MABP+(u-1)AB·AC-0→92+3(u-1)=0→ 12 解得元-g“- 3 7.【详解】 充分性：由正弦定理得：snB-sino4_sn8 sin A-sin Ccos B sin A' 整理得sin AcosA=sin Bcos B, 即sin2A=in2B,.2A=2B或者2A+2B=几，A=B或A+B= 2 @当A+B三时则C7,·△A8C为直角三角形 所以c:coSB=a,则2-ccsA-n8中，这时a-c~c0sB=0, a-ccosB sinA 分母为0无意义（舍）.A=B, 三角形为等腰三角形充分性成立 必要性：△ABC为等腰三角形，有三种可能 若A=B且C不为直角时，日品C台-品成立，其他情况不一 定成立综上为充分不必要条件， 8.【详解】 设411、a2、a的取值分别为随机变量x、X、X, 则X、X2、X两两相互独立， 且的可能取值为-1、0、1，可知名取每个值的概率均为， 即随机变量x的分布列如下表所示： 所以 B(x)=-1×3+0x3+1x3=0, 1 。1 3 33 高三数学试题参考答案第1页，共4页 321 2 同理可知，随机变量X,的分布列如下表所示： 所以 1 E(X2)=0×5+1×5+2×5=1, 33 3 随机变量x的分布列如下表所示： 所以 1 B(X,)=1×3+2x+3×32, E[X(A)]=E(X+X2+X3)=E(X)+E(X2)+E(X)=0+1+2=3. 9.【提示】判断两函数是否为同一函数的标准： ①定义域是否相同：②对应关系是否相同. 10.【提示】 B选项由勾股定理即可验证： C选项，由B选项结合AE⊥A'D可知A'E⊥平面A'CD, 由线面角的定义可得∠A'DE即为所求的线面角： D选项，由A'E⊥平面A'CD,取CD中点F, 由三垂线法可知∠A'FE即为所求的二面角 A' 11.【详解】 由已知条件易求得，4，=n,bn=2”, 新数列中b之前的所有项中包括1+2++2=1一2=2”-1项 1-2 a}冲的项，设其和为8，则3-+2-)2-=(-小-2 2 新数列中b1之前的所有项中包括n项{b}中的项，设其和为S', Sn′=21+22+.+2m=21-2 于是I=Sn+S=(2”-1)2-1+2"H-2 d小 22-2,+2(2”+3) n+1(n+1)(2”+3) n2+2(2”+3) =2(n-1)+ (n+1)(2”+3) 当m=1时.4=0a]=: 当n≥2时，因为2"≥C9+C,n+C%=n+2, 所以(n+102”+3)-n2-2(2”+3)=(n-1)2”-n2+3n-3 2(n-1)(n+2)-n2+3n-3=4n-5>0, 于是，0< +22+3到<1，因此.a]=2(a-. (n+1)(2”+3) [d]+[d]++[d,]=1+2(1+2+.+(n-1)=n2-n+1≤2026 代值验证可知使其成立的最大整数n的值为45， 13.【提示】 要使得变换后的解析式为y=-3sin(2x+1)-1, ①和④的相对顺序必须是“①④”， ②、③、⑤的相对顺序可以是“③⑤②”或“⑤③②”， 由定序排列知识可知，变换顺序有C×2种. 14.【详解】 f(x)= 1 2* 2x+aa2"+1 +2ax与g(x)=a(x+1)仅有1公共点， 等价于函数h(x)= 12 -(x2+1)仅有一个零点， 2*+aa2"+1 容易验证h(x)为偶函数， 因此h(x)仅有一个零点的必要条件是h(O)=0, 解得a=1或-2，下验证充分性： ①当a=1时，h(x)=-x2合题意： 1,2 ②当a=-2时，w=22+1-2x2+2(x+0, 当x→1时，M)→0：而的13=9N50. 14 由零点存在定理可知，9在(，)上至少有一个零点，不合题意。 综上，a=1. 三、解答题 15.(本题满分13分) (1)证明：取AB中点O,连接OC,OE, 因为AC=BC,故∠BAC为锐角， 又ED∥AB,故∠BAC即为异面直线DE与AC所成角，则 高三数学试题参考答案第2页，共4页 ∠BAC=45°，则∠ACB=90°，即AC⊥AB, 因为直角梯形ABDE和三角形ABC所 Z E 在平面互相垂直，DB⊥AB, 平面ABDE∩平面ABC=AB,DBC F+O% 平面ABDE,故DB⊥平面ABC, 又DF=OB,DF∥OB,即四边形OBDE 为平行四边形，故EO∥DB, 所以EO⊥平面ABC, 故以O为坐标原点，OC,OB,OE为x,y,z轴正方向建系， 则4o,-1o0),Ba10,coo,D(ol,E(o.oujr（20 c6 则F-2-@20丽-G》 则而-号不+号丽，故么B,RH四点共酒； (2)H为EG上靠近G的三等分点，∴HH-EAC=hG-AC ∴VEg-Ac=Vn-ARe-jVa-AeVg-ACG1xV2x号 2g 16.(本题满分15分) (1),a2+3c2=3b2,.2a2=3a2+3c2-3b2, ∴.cosB a2+c2-b2 2a2 .3 a sinA 2ac 2ac 3c 3 sin C sin A=3 sin C cosB=sin(B+C)=sin Bcos C+sin C cosB 2 sinCcoB=-inB osC-子∴in CcoB专 2 ..sin(B+C)=sin BcosC+sinCcosB=1,B+C-,A=, △ABC为直角三角形 (2).'2sin C cos B=sin B cos C,..tan B=2tan C>0, 1 1② 工≤2万4 '.tan(B-C)tmmC-1+2 tc2tnc+ 当且仅当2tamC过c,即mC=9时取等号，所以最大值为9 A 17.(本题满分15分) (1)由题可知c=1.当l与x轴垂直时，不妨设M的坐标为 2 a2=b2+1 所以 9 ,解得a=2,b=V3. 1 所以椭圆C的标准方程为父+ -=1. 43 (2)设L的方程为x=my+1,M(x,片)，N(2,2), x=y+1 联立 r.y 得(3m2+4)y2+6my-9=0,易知△>0恒成立， -=1 43 由韦达定理得y+y2= -6m -9 3m2+4'y=3m2+4 由直线AM的斜率为kw=上 +2 得直线4M的方程为y=2(x+2).当x=1时，，=3孔 x+2 七+2 由直线4N的斜率为k5产2·得直线4N的方程y=为，（红-2）。 七2-2 当=1时.%写是，若四边形O0为整形. 则对角线相互垂直且平分，下面证y%+y=0, 因为 Yo+yp= 3y+-业-3y(-2)-h(s+2_2myy-3(y+2) x+2'x2-2(x+2)(x2-2) (my+3)(my2-1) 代入韦达定理得 2m%y-30y+2）=2m29-36m）-18m+18m-0. 3m2+4(3m2+43m2+4 所以PF=QF,PQ与OA,相互垂直平分，所以OPA,2为菱形. 18.(本题满分17分) (1)当a-1时，f6)=e--sm-1,了()=e-x-c0s, f(0)=0,∫"(0)=0，所以曲线y=f(x)在原点处的切线方程为 y=0. (2法：了)=e-x-ax,若创在〔引单调递 指.则f(≥0在 上恒成立. ①当a≤0时，-acosx≥0在 2'2 上恒成立.令y=e*-x,则 y'=e-1. 当x∈(-o,0)时，y'=e-1<0,y=e*-x单调递减： 当x∈(0，+oo)时，y'=e-1>0,y=e-x单调递增； 当x=0时，函数y=e-x取得最小值，最小值为1，所以 y=e*-x≥l, f'(x)=e-x-acosx≥1>0，符合题意： ②当a>0时，令F(x)=f'(x)=e-x-acosx,则 高三数学试题参考答案第3页，共4页 F(x)=e*-1+asinx. 因为F()(受}上单词递增，Fo)=0.所以当xe(受0 时，F(x)<0, 时F(>0,F()=()在20上单调递减， 上单调递增 要使得f()20在（受上恒成立，则 f'(x)m=f'(0)=1-a20,解得a≤1，结合a>0,得0<a≤1. 综上，a的取值范围为(-o,. 法二：f(x)=e-x-acosx. 上单调递增，则 20(受引上扣成立 coSx 则g日-g-小atn-小，e(引令 cos2x u(x)=e-x,则u(x)=e-l. 当x<0时，(x)=e-l<0, 当x>0时，(x)=e-1>0, 所以u(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+o∞)上单调递增， u(x)≥u(0)=1,即e*-x≥1 当xe(0时，。-1<0：cs>0.mx<0,所以 (e*-1)cosx+sinx(e*-x)<0,g(x)<0; 当xe(0罗时，e-1>0,cosx>0,s如x>0,所以 (e*-1)cosx+sinx(e*-x)>0,g'(x)>0. 8()在（受0上单调递减。在0上单调递增，所以 g(x)≥g(0)=1,所以a≤1，即a的取值范围为(-o,1.、 创证明：令()=e-式-a-l,则)=e--a 令v(x)=h(x)=e*-x-a,则v(x)=e-l. 当x<0时，(x)=e-1<0,当x>0时，v(x)=e-1>0, 所以v(x)=H(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增. h(x)≥N(0)=1-a≥0，所以h(x)是增函数. 因为h(0)=0,所以h(x)>0在(0，+o)上恒成立， 即当0≤a≤1时，。--m-1>0在(0+o)上相成立. 令t(x)=x-sinx,则t(x)=1-cosx≥0，所以t(x)是增函数. 因为t(0)=0,所以当x>0时，t(x)>0,即x>sinx. 因为0≤a≤1，所以当x>0时，-ax≤-asinx,所以 c--asm-l2e-方式-m-l0 所以当x>0时，f(x)>0. 19.(本题满分17分) 发.M4)-分写7 事件A发生分两种情况，当测试失败的情况发生在第三阶段概率 1121 由于前两个测试失败的概率相同，所以当测试失败的情况发生在前 1111 两个阶段概率为C×。×。×。× 22^231 1121 (2)先求事件B的概率， 第k次测试后恰好通过量子纠缠校准测试，表示首次通过第一阶段 的测试发生在第j次(1≤j广<k), 且首次通过第二阶段的测试发生在第k次，对所有可能的j求和得 到a- 求事件A发生分两步： 第一步，第k(2≤k≤n-1)次测试后恰好通过量子纠缠校准测试， 率为P)- 第二步，第k+1次至-1次进行逻辑门操作验证测试没有通过，第 n次通过，概率为 由全概率公式得， -])- 设s-(+2++-2”,则 s-(+2+4a-2 两式相减得， 高三数学试题参考答案第4页，共4页 --*+)--2) 4 所以s=9-4+2目所以P4)=3x()-a+2x[. 要京.Aa),又调路风园么) (3) (al B.)() P(B)=3 所以 P4a)()36- -22 令7=3x)-2m-2,则7m-7-()-2,因为m≥3. 所以Tn+-Tn>0,故数列{Tn}在n≥3时递增， 又=3(-10<0.5=3x)-12>0,故a=-2.3.1时 P(A)-P(Bn)<0, 故P(BAn)>P(Aral B.),当n≥5时，P(Ai)-P(Bn)>0,故 P(B 4)P(4B.).