精品解析：山东省青岛市即墨区第一中学2025-2026学年高三上学期第二次阶段检测数学试题

即墨一中高三级部第二次阶段检测数学试题 2025.12 一、单选题 1. 设复数在复平面内对应的点为，则( ) A. B. C. D. 2. 设全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆上一点 在运动过程中，总满足关系式 ，那么该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件相互独立 C. 事件是互斥事件 D. 事件发生的概率为 5. 已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（ ） A. 2或4 B. 2或3 C. 4或5 D. 3或5 6. 我们把具有相同定义域的函数称为“同域函数”．若函数与是“同域函数”，则的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知则等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 若关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知空间四点 ，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. ，，， 四点共面 10. 下列说法正确的有（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数，则 D. 若两个正实数x，y满足，则的最小值为4 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题 12. 从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则______. 13. 已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为______． 14. 经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. （1）分别求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，． （1）求B； （2）若D，E为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围． 17. 如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，． （1）证明：； （2）若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； （3）若且，有恒成立，求实数的取值范围． 19. 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 即墨一中高三级部第二次阶段检测数学试题 2025.12 一、单选题 1. 设复数在复平面内对应的点为，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数，然后化简即可 【详解】由题意可得， 所以， 故选：D 2. 设全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得出，再进行并集运算. 【详解】或，，即，，即. 故选：B 3. 椭圆上一点 在运动过程中，总满足关系式 ，那么该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义式判断椭圆的焦点位置，求出的值即可求出离心率. 【详解】由题意，可知椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 4. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件相互独立 C. 事件是互斥事件 D. 事件发生的概率为 【答案】B 【解析】 【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，结合古典概型概率计算公式、独立事件以及互斥事件的概念即可逐一判断各个选项. 【详解】从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，设甲罐中抽取小球的标号为，乙罐中抽取小球的标号为， 则的所有可能为：，共12种可能， 事件“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，共3种可能， 事件“抽取的两个小球标号之积小于6”包含的基本事件有： ，共7种可能， 对于A，事件发生的概率为，故A不符合题意； 对于BC，，而不可能同时发生，这意味着事件是互斥事件，即， 故，即事件不相互独立，故B符合题意，C不符合题意； 对于D，事件发生的概率为，故D不符合题意. 故选：B. 5. 已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（ ） A. 2或4 B. 2或3 C. 4或5 D. 3或5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知：点P的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合两圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，且， 因为，可知点P的轨迹为以线段的中点为圆心，半径的圆， 又因为点P在圆上， 可知圆与圆有且仅有一个公共点，则或， 即或，解得或. 故选：D. 6. 我们把具有相同定义域的函数称为“同域函数”．若函数与是“同域函数”，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件函数的新定义结合函数的定义域和值域分析判断选项. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为， 故的定义域, 令，则或， 所以函数可转化为， 函数的对称轴为， 当时，；当时，， 故的值域为． 故选：D 7. 已知则等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差角公式及同角关系式求得的值，然后利用对数的运算法则即得. 【详解】， ，， ， ， ， . 故选：C. 8. 若关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解可得，利用导数可得，从而可得恒成立，因为，在上均单调递增，结合已知可得，计算可求得. 【详解】可化为， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以恒成立. 令，则的定义域为，令，得或， 易知函数，在上均单调递增，则，所以， （点拨：因为恒成立，所以与同正同负，又与的单调性一样且都有零点，所以两函数的零点相等） 则，当且仅当，时，取得最小值. 故选：B. 二、多选题 9. 已知空间四点 ，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. ，，， 四点共面 【答案】ABC 【解析】 【分析】计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D． 【详解】因为，，，， 所以，，， 所以，故A正确； 又，，， 所以，故B正确； 因为，所以，，所以点O到直线的距离为，故C正确； ， 假设若，，，四点共面，则共面， 设，因不共线， 则，此方程组无解，所以，，，四点不共面，故D错误． 故选：ABC． 10. 下列说法正确的有（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数，则 D. 若两个正实数x，y满足，则的最小值为4 【答案】BD 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义判断A；求复合函数的定义域时注意，定义域对应的范围都是自变量的范围，进而判断B；换元法可求得C中函数的解析式；利用基本不等式可判断D. 【详解】对于A，当时，，所以，所以充分性不成立； 取，满足，但是，所以， 所以必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误. 对于B，因为函数的定义域为，所以对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为，故B正确. 对于C，因为，令，则， 所以，即，故C错误. 对于D，若两个正实数，满足， 等式两边同时除以正数得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4，D正确. 故选：BD. 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果. 【详解】 对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解. 三、填空题 12. 从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果. 【详解】因为，所以或， 从中任取两个不同的数，共可得到取法， 其中对数值为负数的有个， 所以. 故答案为：. 13. 已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程求得，得到，结合，，进而得到答案. 【详解】设等比数列的公比为，其中， 因为，可得，所以， 解得或（舍去），则， 又当时，，当时， 所以当取最大值时的值为． 故答案为：. 14. 经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求得，，而原不等式等价于，可以利用不等式放缩即可求解. 【详解】， 因为图象的对称中心点为，所以，所以， 由，所以， 原不等式为， 因为，所以， 设，则， 当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以其最小值为，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是得到恒成立，结合切线放缩不等式即可顺利得解. 四、解答题 15. 已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. （1）分别求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差、等比数列的公比，根据已知条件列方程，求解得公差与公比，进而写出两个数列的通项公式； （2）分别求出等差数列、等比数列的前项和，将二者相加得到数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 依题意即， 解得 所以， . 【小问2详解】 设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， 因为， ， 所以数列的前项和. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，． （1）求B； （2）若D，E为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理可得的表示，即可利用三角形的面积公式，即可利用三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ∵ ∴, 在中， ∴ ∴， 又在中， ∴，∴ ∵，∴ 【小问2详解】 ∵，∴ ∵，∴ 或 又，所以，故，， 由正弦定理可得,故， 设，其中，则， 在中，由正弦定理可得 则 在中，由正弦定理可得 则． ∴的面积 ∵，则 ∴，即 ∴． 17. 如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，． （1）证明：； （2）若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以． 又因为，平面, 所以平面,平面． 所以． 由于,所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解，即可求证，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直， （2）根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得，即可建立空间直角坐标系，求解法向量求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，所以， 又，平面,所以平面． 取中点，连接，设． 设多面体的体积为， 则 ． 解得． 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ． 则平面的一个法向量． 所以， 设平面的一个法向量， 则即取． 所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； （3）若且，有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，可得，结合导数的几何意义求切线方程； （2）令，分析可知原题意等价于：与有2个交点，结合函数图象分析求解； （3）分析可知在内单调递增，进而可得在内恒成立，构建，利用导数结合零点代入分析最值即可得结果. 【小问1详解】 因为的定义域为，且， 则，即切点坐标为，斜率， 所以所求切线方程为. 【小问2详解】 由（1）可得：， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当x趋近于0时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于， 可得的图象如图所示： 令，则 令，可得， 原题意等价于：与有2个交点， 结合函数图象可得，所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，令，则，即， 由可得， 可知在内单调递增， 则，可得在内恒成立， 构建，则， 构建，则， 且，可知在内单调递增， 构建，可知在内单调递增， 且， 则在内存在唯一零点， 当时，，，可得，即； 当时，，，可得，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 且，则，， 可得，即， 可得，所以实数的取值范围为. 19. 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）是，2 【解析】 【分析】（1）借助所给定义计算即可得； （2）（i）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得； （ⅱ）法一：设出直线、，联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得； 法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线、旋转后方程，联立标准方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得. 【小问1详解】 由已知可得，则， 设，则， 所以，，即点P的坐标为； 【小问2详解】 （i）由与交点为和，则， 由与交点为和， 则，所以，； （ⅱ）法一：设直线：，、， 与斜椭圆联立：， 有， ∵，， ∴ ， 设直线：，代入斜椭圆， 有， ∴，∴， 故. 法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为， 点Q旋转后的坐标为， 当直线旋转后斜率不存在时，，，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为， 旋转后、， 与椭圆方程联立，即， 可得， ，， ， 设直线旋转后为，代入椭圆方程中， 有，， . 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对旋转后的方程的理解与运用，最后一问可直接在旋转后的斜椭圆上计算，也可在标准椭圆下计算，其旋转前后的线段长度不变. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $