精品解析：四川成都市树德中学（宁夏街校区）2027届高三上学期9月阶段性测试数学试题

树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为3. 2. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由存在量词命题的否定的规律可知，命题的否定为： 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直求得，进而求得. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 4. 某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D； 【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点）， 选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C. 图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D. 选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）； 时，，，且时，，符合图像左半部分趋势； 时，，，时，符合； 时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征. 5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（ ） A. 4949 B. 4950 C. 5049 D. 5050 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出第层球的个数与层数的递推关系，利用累加法求出通项公式，代入求解. 【详解】设第层球的个数为，． 由题意可知，． 当时，第层比第层多个球，即． 所以  ． 当时，，满足上式． 故第层球的个数为，． 所以当时，． 6. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用化弦为切的方法，，分子分母同时除以即可求解. 【详解】， 即，解得. 7. 抛物线：，是其焦点，点、在曲线上，且，为线段中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，利用抛物线的定义和余弦定理，分别用表示出与，进而表示出，借助于求导判断函数单调性，即可求得其最小值. 【详解】由：可知，准线方程为，设，， 根据抛物线的定义可得：，， 因为中点，则， 于是， 令，，所以. 在中，， 由余弦定理，得， 则， 令，当且仅当时，即时，等号成立， 设，， 则，所以在上单调递增， 则当时，取最小值为，此时取最小值， 故的最小值为. 8. 已知，则的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示： 由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件、满足，，且，则、相互独立 B. 数据、、、、、、、、、、、的第百分位数为 C. 变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为 D. 回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件概率公式及相互独立事件的定义判断A，根据百分位数的定义判断B，根据残差的定义判断C，根据决定系数的定义判断D. 【详解】对于A：已知，由于， 所以，即. 所以事件与事件相互独立，故A正确； 对于B：将数据由小到大排列：，共个数据， 由，因此数据的第百分位数为，故B错误； 对于C：当时，，所以样本点的残差为，故C错误； 对于D：决定系数越大的模型，对应残差平方和越小，拟合的效果越好，故D正确. 10. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ）． A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为1 D. 双曲线的离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用平面几何知识可判断AB；根据圆锥和截面相交求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】已知圆锥的轴截面是斜边长的等腰直角三角形， 可得，，是中点，. 以为原点，以方向为轴，以与垂直向内的方向为轴， 以方向为轴建立空间直角坐标系， 得，，，，. 选项A：截口为圆时，截面平行于底面，圆半径， 面积，A错误； 选项B：截面过，椭圆长轴为线段， 可得， 故长轴长为，B正确； 选项C，如图，作出符合题意的图形， 设抛物线与底面圆的交点为，以为原点， 以为轴，在平面建立平面直角坐标系. 由于圆锥底面半径为，则，得，，， 将代入抛物线方程，得， 故抛物线的焦点到准线的距离为1，C正确； 选项D，如图，作出符合题意的图形， 在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点的坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为，则， 将代入双曲线方程得，解得， 则离心率，D正确. 11. 已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令可得，再由为奇函数可得，令可得，令，可得，可判断A；令，可得，可判断B；由，可得，从而，可判断C；计算、、、、和的值，结合函数的周期性计算可判断D. 【详解】由， 令，得，即，， 由为奇函数，可得， 即，即， 所以函数关于点对称，令可得， 令，得，可得，故A错误； 令，可得，即， 则，所以，或， 当 时，， 当时，用替换得 ，所以 ，解得 ，满足， 所以，，即，则为偶函数，故B正确； 由，，可得，即， 所以，则是以6为周期的周期函数，则，故C正确； 由，，，，为偶函数，是以6为周期的周期函数，可得 ，，，， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是等比数列，若，，则_______． 【答案】 324 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 则， 因为，， 所以， 又，， 因此. 13. 甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】分别计算从甲盒、乙盒摸出白球的概率，根据全概率公式求解即可. 【详解】记事件为“从甲盒中摸球”，事件为“从乙盒中摸球”，事件为“摸到两个白球”， 掷质地均匀的骰子，出现点数为1,2的概率，此时从甲盒摸到白球的条件概率； 出现点数为3,4,5,6的概率，此时从乙盒摸到2个白球的总概率； 则摸到白球的总概率为：. 14. 在正三棱柱中，，棱柱高，点满足，若经过三点的平面将棱柱分为，两部分（的体积较小），则的体积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量确定点的位置，由相似三角形得到截面三角形面积，用棱台体积公式算出大块几何体体积，棱柱总体积减去棱台体积，得到较小部分的体积． 【详解】 取的中点，连接，所以， 因为，所以，即点为线段的中点， 过点作，分别交于点， 所以平面是过三点的平面， 因为和是边长为的正三角形， 所以， 又正三棱柱的高， ， 因为，，所以， 所以 ， ， 所以的体积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知的面积为. （1）求； （2）若，求边上的中线长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式可得； （2）利用正弦定理求出，结合（1）求出，即可求出，利用可得. 【小问1详解】 因为以及余弦定理可得，，即， 因为的面积为，所以，即， 得，因为，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 由正弦定理可得，， 因为，所以，， 则由可得， 设线段的中点为， 则 ， 得，得， 故边上的中线长为 16. 某市开展“全民反诈在行动”知识竞赛活动，现从参加该活动的两万名居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩频率分布直方图． （1）估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）由直方图可认为全市参加活动的居民成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，估计该市所有参加活动居民成绩超过95分的有多少人？ 附：，则，． 【答案】（1）， （2）人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式，准确计算，即可求解； （2）由（1）得到服从正态分布，结合正态分布曲线的对称性，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的数据，可得估计该市居民竞赛成绩的平均数如下， 可得， 则估计该市居民竞赛成绩的方差为 ． 【小问2详解】 由（1）可得，所以，，则， 所以服从正态分布， 因为， 所以． 则该市参赛居民成绩超过95分的人数估计为人． 17. 设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得的关系式，进而可求得椭圆C的标准方程； （2）设直线l的方程为，点，，联立方程组，利用根与系数的关系求得点Q的坐标，进而求得直线的方程，进而求得点的坐标，可求得的取值范围． 【小问1详解】 由题意可得，， 将代入中，可得, 依题意，点在第一象限，故得， 由，，得， 解得，，所以， 所以椭圆标准方程为． 【小问2详解】 设直线l的方程为，点，． 联立，得， 由解得 且，， 所以，从而， 解得，， 所以， 令，则， 综上，的取值范围为． 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M为PB的中点． （1）求证：； （2）若，，，且AM与平面PBC所成角为； ①当时，求三棱锥的体积； ②当BC取最大值时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：在平面内作于， 因为平面，且平面，因此； 因为平面平面，且平面平面，平面， 因为，故平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，故平面； 又因为平面，因此． （2）①②． 【解析】 【分析】（1）根据题干所给线面垂直和面面垂直，利用线面垂直与面面垂直的性质，得到两条直线垂直，通过证明线面垂直，得到异面直线垂直； （2）①由已知线面垂直可得三棱锥的高为，通过作出AM与平面PBC所成角为计算三角形的面积，代入体积公式即可； ②由①中的结论构造三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系，根据向量计算二面角的平面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面， 平面，所以， 由，，为等腰直角三角形， 因此， 又因为，平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以． 在等腰中，，所以； 在中，，代入得，所以， 所以． 所以三棱锥体积为． ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 故，直线的方向向量． 设平面的法向量，故， 即解得， 令，则，所以． 由直线与平面的夹角为， 得， 整理得， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，，所以， 当且仅当时，即时等号成立，所以，即的最大值为． 此时． 设平面的法向量，则， 即，解得， 令，则，所以． 平面的一个法向量． 设二面角为，则， 所以． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线过点的切线方程； （2）若对任意，都有成立，求的取值范围； （3）设，，求的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数的小数点后第一位数字为7，的小数点后第一位数字为6）． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）求得的解析式，设出切点，根据导数的几何意义，可得切线方程，代入，可得关于的方程，利用导数求出单调性和最值，分析即可得答案. （2）由题意得恒成立，求出的解析式，分别讨论和两种情况，求出的单调性，分析即可得答案. （3）方法一：求出数列单调性，代入特殊值，可得，由（2）知，换元变形，整理化简，即可得答案.方法二：由（1）知，换元变形，可得，整理计算，可得，即可得答案. 【小问1详解】 当时，，则， 所以在切点处的切线方程为 ， 又切线过点，则，即， 令，则， 所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，，所以， 所以切线方程为． 【小问2详解】 因为对任意，均有恒成立，即恒成立， 则， 令， 当时，对称轴，即在上单调递增， 又，所以，即， 所以在上单调递增，又， 所以恒成立，即恒成立，符合题意； 当时，对称轴，又， 又的两个根分别为，， 所以，，且当时，，即，则单调递减， 又，所以当时，，即，与矛盾，故不成立． 综上所述，的取值范围为． 【小问3详解】 方法一： 一方面， ， 所以，则数列单调递增， 而，，， 所以； 另一方面，由（2）知，当且仅当时，取“”， 令，则，则， 所以 ， 所以． 方法二：由（1）知，当且仅当时，取“”， 用代，则，即，当且仅当时，取“”， 令，则，所以， 所以， 所以． 综上所述，的小数点后第一位数字为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 2. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5 4. 某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（ ） A. 4949 B. 4950 C. 5049 D. 5050 6. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 抛物线：，是其焦点，点、在曲线上，且，为线段中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件、满足，，且，则、相互独立 B. 数据、、、、、、、、、、、的第百分位数为 C. 变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为 D. 回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好 10. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ）． A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为1 D. 双曲线的离心率为 11. 已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是等比数列，若，，则_______． 13. 甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________. 14. 在正三棱柱中，，棱柱高，点满足，若经过三点的平面将棱柱分为，两部分（的体积较小），则的体积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知的面积为. （1）求； （2）若，求边上的中线长. 16. 某市开展“全民反诈在行动”知识竞赛活动，现从参加该活动的两万名居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩频率分布直方图． （1）估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）由直方图可认为全市参加活动的居民成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，估计该市所有参加活动居民成绩超过95分的有多少人？ 附：，则，． 17. 设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围． 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M为PB的中点． （1）求证：； （2）若，，，且AM与平面PBC所成角为； ①当时，求三棱锥的体积； ②当BC取最大值时，求二面角的正弦值． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线过点的切线方程； （2）若对任意，都有成立，求的取值范围； （3）设，，求的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数的小数点后第一位数字为7，的小数点后第一位数字为6）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $