四川成都市树德中学（宁夏街校区）2027届高三上学期9月阶段性测试数学试题

树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题 命题人：邓仕男审题人：王钊 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知复数z=i(3-i),则z的虚部为() A.1 B.3 C.-i D.3i 2.已知命题p:x∈[山，+∞)，x2-x+2≥0，则命题P的否定为() A.x∈[1，+0)，x2-x+2≥0 B.x∈1，+m),x2-x+2<0 C.x∈(-n,1),x2-x+2≥0 D.x∈(-0,1)，x2-x+2<0 3.已知向量a=(1,2),b=(2,m),若a1b,则a+b=() A.10 B.√3 c.7 D.5 4.某函数的图象如图所示，则该函数解析式可能为() A. B C. D.(x2-1)ex 5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为 “三角垛'.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第n层比第n-1层多n个球， 则第100层球的个数为() A.4949 B.4950 C.5049 D.5050 6.若2sin20+sin20=2,则tan6=() A.- B.2 C.1 D.2 7.抛物线E:y2=4x,F是其焦点，点、在曲线E上，且∠AFB=120°，为线段AB中点，过点 AB 作E的准线的垂线，垂足为，则 CD 的最小值为() A.5 B.V2+√5 C.2 D.3 8.已知21og2x-x=0,3log3y-y=0,51ogz-乙=0，则x,y,z的大小关系不可能为() A.x<y< B.x<z<y C.<x<y D.z<y<x 高三数学阶考2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（) A.若事件C,D满足P(C),P(D)E(O,1),且P(DIC)=P(D),则C,D相互独立 B.数据2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,14,16的第75百分位数为11 C.变量y关于变量x的经验回归方程为y=3x+2,则样本点(2,7)的残差为1 D.回归分析中，决定系数R越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好 10.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①.在圆锥PO中， 轴截面PAB是斜边长为2√2的等腰直角三角形，点M是线段PB的中点.过点M的平面截圆锥PO,下 列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A)、抛物线的一部分（截面经过点O)、双曲线 的一部分（截面垂直于平面PAB),则(）. 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ A.圆的面积为元 B.椭圆的长轴长为√5 C.抛物线的焦点到准线的距离为1 D.双曲线的离心率为√2 11.已知函数f(四的定义域为R,f(+f()-f(x+)f(x-)=4,f)=1,f2x 为奇函 数，则() A.f(0)=2 B.f(x)为偶函数 C.f(3+x)=f(3-x) D.】 fW=-3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知数列{an}是等比数列，若a+a2=4,4+4=12,则a+a。= 13.甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点 数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为 14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,棱柱高-4，点P满足4AP=AB+AC,若经过P,B1,C1三点 的平面将棱柱分为「1，T2两部分(T1的体积较小)，则「，的体积为 09 第1页共2页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤！ 15.(13分)记a的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2-b2=40,△ 的面积为√厂 (1)6分)求： (2)(7分)若 √厂，求边上的中线长 16.(15分)某市开展“全民反诈在行动”知识竞赛活动，现从参加该活动的两万名居民中随机抽取了100 名，统计出他们竞赛成绩频率分布直方图. 频率/组距 0.040 0.028 0.022 0.004 0.002= O 405060708090100成绩/分 (1)(7分)估计该社区居民竞赛成绩的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)： (2)(8分)由直方图可认为全市参加活动的居民成绩z服从正态分布N(4,σ)，其中4，σ2分别取考生 的平均成绩x和考生成绩的方差、2，估计该市所有参加活动居民成绩超过95分的有多少人？ 附：Z~N(4,o2),则P(u-o≤Z≤u+o)≈0.6827，P(u-2o≤Z≤u+2o)≈0.9545. 17.15分)设椭四C:于+若a>b>0的右焦点为R,东预点为4，上顶点为B ·点P 是椭圆C上的一点，PF⊥x轴，且 (1)(6分)求椭圆C的标准方程： (2)(9分)若过点(-3,0)且斜率不为零的动直线1与椭圆C相交于两个不同的点T,S,过线段TS的中点Q 作直线l的垂线与x,y轴分别交于M,N,求QMQW的取值范围. 高三数学阶考2026 18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中， 平面 ，平面 平面，M为PB的中点. (1)(4分)求证： (2)(13分)若PA=2,AC=m,BC=n,且AM与平面 所成角为30°. ①(5分)当m=2时，求三棱锥P-ABC的体积： ②(8分)当取最大值时，求二面角M-AC-B的正弦值. 19.(17分)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),a∈R. (1)(4分)当a=1时，求曲线y=f(x)过点(0，-)的切线方程： (2)(5分)若对任意x≥1，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围： 8)8分)设3。=+上++， ，n∈N,求S226的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数 n+1n+2 2n e=2.718…的小数点后第一位数字为7，n2=0.693…的小数点后第一位数字为6). 09 第2页共2页 树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题参考答案（第1张） 一、 单选题 【答案】BBACD CAB 6.C详解】2sin20+sin20=2sin9+2sin6cos日_2tan9+2tan8=2,即2tan20+2an日=2(an20+1）, sin20+cos20 tan20+1 解得tanB=1. 7.A【详解】由E:y2=4x可知F(1,0),准线方程为x=-1,设A(x,y),B(x2,》2),根据抛物线的 定义可得：AF=x+1,BF=,+1,因为AB中点，则C2,）,于是 2 CD=S5-(←l）=++2-AFBA,令AF=m>0,B=n>0,所以cD-m+” 2 2 2 在△AFB中，∠AFB=120°，由余弦定理，得AB=AF+|BF-2AF|‖BFcos.∠AFB=m2+n2+mn, |ABm2+n2+m4m2+n2+m） 4"+”+1 n m 则 CD m+n m2+2mn+n2 m+”+2 2 n m D =m+”≥2，×”=2，当且仅当m=n时，即AF=BF时，等号成立，设 n m n m 10-4产3电四，则r0 t+2 G+2>0,所以f0在2+)上 AB 单调递增，则当1=2时，(t)取最小值为3，此时 P取最小值3，故C>的最小值为 8.B【详解】法1：210g2x-x=0,3g,y-y=0,5lg,2-2=0,ogx=1logy= 3,1og= 即转化为函数yogx与y=方lo吧，x与y=言)loex 与y=言图象的交点问腿分别画出)g,y=方g, B y-e,y-言的图象，如图所示：由图可知， 5 v=log x ybg,x与y-的图象交于AB两点，归bgx与)=青的 图象交于C,D两点，)lgx与y=若的图象交于EF两点： 同时xE<XA<Xc<xD<xB<xF.对于A,XA<Xc<xD<xF时，满足X<)<乙，故A正确：对于B,:xE<XA, 不满足x<y<z,故B错误；对于C,:xE<xA<xc<xo,满足<x<y,故C正确；对于D, :E<XA<xc<xD,满足？<y<x,故D正确. 法2：同构函数模型，把三个方程根据对数运算简单变形，转化 为血x=c的形式，再画图即可(？要么 1 是各个根里最大的，要么是最小的，故选择B) 二、多选题 【答案】AD BCD BCD 高三数学阶考2026 9D【详据1对十A:已知DOPD,内于PD1G)-A号，所以 (CD=P(D),即 P(C) P(CD)=P(C)P(D)所以事件与事件相互独立，故A正确；对于B:将数据由小到大排列： 23467,8910,112,1416,共12个数据，由12×75%=9，因此数据的第75百分位数为1+12-115， 故B错误：对于C选项，当x=2时，y=8,所以样本点(2,7)的残差为7-8=-1，故C错误：对于D: 决定系数R越大的模型，对应残差平方和越小，拟合的效果越好，故D正确故选：AD 10.BCD【详解】己知圆锥PO的轴截面PAB是斜边长AB=2√2的等腰直角三角形， 可得PO=OA=OB=√2，PA=PB=2,M是PB中点，OM=1 以O为原点，以OB方向为x轴，以与AB垂直向内 的方向为轴，以OP方向为z轴建立空间直角坐标 系， 得00,0,0)，P0,0,√2)，A(-√2,0,0)，B(W2,0,0), 55 M 2 2 B B 选项A:截口为圆时，截面平行于底面，圆半径 图② 图③ 2 A错误；选项B:截面过A,M,椭圆长轴为线段AM, 可得AM= 可5长长为，BE夏如 F 图，作出符合题意的图形， 设抛物线与底面圆的交点为E,F,以M为原点，以MO为x轴，在平面OME建立 平面直角坐标系由于圆锥底面半径为√2，则0E=√2，得M(0,0),E1,√2)， 图④ F(L,-√②)，将E1,√2)代入抛物线方程y2=2x,得p=1,故抛物线的焦点到准线 的距离为1，C正确：选项D,如图，作出符合题意的图形， 在与平面PAB垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点O'与点P到 底面的距离相等，且M在x轴上，则点M的坐标为 2 双曲线与底面圆的一 图⑤ 将E]代入双简线方是得+品=1，解得6怎，则宾心率：--，D疏 11.BCDI详解】由f2(x)+f2(y)-f(x+y)f(x-y)=4,令x=y=0,得f2(0)+f2(0)-f(0)f(0)=4, 即f0)-4,f0-=2,由2+到为奇函数，可得2+引-2x+即(+引-+》 即 ,所以函数 关于点20对称，令x=-2可得∫(2)=-f(0=-1,令x=y=1, 得2(1)+(1)-f(2)f(0)=4,可得 ,故A错误； 令x=0,可得f(0)+f(y)-f()f(-y)=4,即f(y)-f(y)f(-y)=0,则f(y)[f(y)-f(-y)]=0, 09 第3页共2页 所以y∈R,f(y)=0或f(y)-f(-y)=0,当∫(y)≠0时，f(y)-f(-y)=0,当f(y)=0时，用y 替换y得f(-y)儿f(y)-f(y)】=0,所以f(-y)=0,解得f(-y)=0，满足f(y)-f(-y)=0,所 以y∈R,f(y)-f(-y)=0,即f(y)=f(-y),则f(x)为偶函数，故B正确： 由f(x)=f(-x)，f(-x)=-f(x+3),可得f(x)=-f(x+3),即f(x+3)=-f(x+6),所以 f(x)=f(x+6),则f(x)是以6为周期的周期函数，则f(x+3)=f(-x-3)=f(-x+3),故C正确： 由f(0)=2,f()=1,f(2)=1,(-x)=-f(x+3),f(x)为偶函数，是以6为周期的周期函数，可 得f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(-1)=-f)=-1,f(⑤)=-f(-2)=-f(2)=1,f(6)=f(0)=2,所 以∑f(k)=337×[f()+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(①)+f(2)+f(3)+f(4)=337×0-3=-3, 故D正确， 三、填空题 12.324 13. 4 15 l4.5V5 13. 【详解】记事件A为从甲盒中摸球，事件B为从乙盒中摸球”，事件C为摸到两个白球”， 揽质地均匀的殷子，出现点数为1,2的概率P4)-名此时从甲盒摸到白球的条件概率PC4)是手： 出现点数为3,45.6的概率P6。此时从乙盒摸到2个白球的总概率PC9)号=：则摸到白级 的总概率为：P(C)=P(A)PCA+P(B)P(CB)-3×亏+号×5i5 1.2.2.14 四、解答题 1508-号 (2)√2【详解】 (1)因为a2+c2-b2=40以及余弦定理可得，2 accos B=40,即accos B=20,因为△ABC的面积为10W3, 所以aci=105,即oesin=205,得am8=5,因为Be(Q,所以B=于 6分 (2)由1)可得，ac=40,由正弦定理品品B可得，bA=asB- 2 因为bsinA=4V5,所以a=8,c=5,则由a2+c2-b=40可得b=7, 设 线 段 BC的中点为D 则 cos∠ADB+cos∠ADC=AD+BD-AB+AD+CD:-AC2 2AD.BD 2AD.CD 20+号-- -=49+25-32=42,得 2AD.a 2AD.a AD.a =0，得2AD2=b+C2_ 2 2 AD=√21，故BC边上的中线长为√2 .7分 16.(1)x=75,s2=100(2)455人 【详解】(1)由频率分布直方图的数据，可得估计该市居民竞赛成绩的平均数如下，可得 x=45×2+55×4+65×2+75×0 100100 100 85x28 100 00+95×475,则估计该市居民竞赛成绩的方差为 °100 =5-75×品65-75×高+6s-5r品05-750-79设0s-对高-1m 7分 高三数学阶考2026 (2)由(1)可得s=100=10,所以4=x=75,62=52=100,则o=10,所以Z服从正态分布 N(4,G2)=N(75,100), 因为P(u-2o≤Z≤u+2o)=P(55≤Z≤95)≈0.9545， 所以 PZ>95)≈1-0.9545 2 =0.02275.则该市参赛居民成绩超过95分的人数估计为0.02275×20000=455人. 8分 aa号 【详解1(1)由题意可得A(-a.0,B0,b),将x=c代入兰+二=1中，可 a b(a2-c2)_b ,依题意，点P在第一象限，故得 a+c=3 F P 由AF卡3，kp=V3kB,得 -5x, 解得a=2,c=1, ac a a2=b2+c2 所以b2=a2-c2=4-1=3,所以椭圆标准方程为+」 y2 =1 43 6分 x=y-3 (2)设直线1的方程为x=y-3，点T(x,y)，S(x,y2)·联立 3r2+4y2=12’得 (3m2+4y2-18my+15=0,由△=324m2-60(3m2+4)>0解得m2>号且+为 18m 3m2+4 15 9m y2= 所 以 3m2+4 03m2+4'3m2+g】 从 而 12 9m luw y=-mx+- 3m2+4 3m2+4 解得M 4,0,N0,-3m -3 3m2+4 3m2+4 9 12 108(1+m2） 所 以 OMON=(1+m2) 3m2+43m2+4 (3m2+4) =i-ar-信n）,则l2l2 108t 108 32 (3+9+'+69, 综上， eMQN的取值范围为0,2 9 .9分 18.2①45@时 3 【详解】(1)已知PA⊥平面ABC,且BCc平面ABC,因此PA⊥BC: 己知平面PAC⊥平面PBC,且平面PAC⌒平面PBC=PC,在平面PAC 内作AD⊥PC于D,根据面面垂直的性质定理，可得AD⊥平面PBC, 结合BCC平面PBC,可得AD⊥BC;由于PA⌒AD=A,且PA,ADC平 面PAC,根据线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAC;又因为ACC 平面PAC,因此AC⊥BC.4分 09 第4页共2页 树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题参考答案（第2张） (2)①取PC的中点N,连接MN,AN,因为M是PB的中点，所以MNI/BC, 由(1)BC⊥平面PAC,可得MN⊥平面PAC,ANc平面PAC,所以AN⊥MN,由PA=2,AC=m=2, △PAC为等腰直角三角形，因此AN⊥PC,又因为MN,PCc平面PBC,MNOPC=N,所以AN⊥平 面PBC,则∠AMN就是AM与平面PBC所成的角，己知AM与平面PBC所成角为30°，所以 ∠AMN=30. 在等腰RtaPAC中，PA=AC=2,所以AW=反：在Rt△AMN中，an30°=AN MN' 代入得MN=√6， 所以BC=2MN=2√6 ，所 以 5ACBC-2x26=26所以三校锥体积 为 e号5eM-写26x2-45 5分 3 ②过点C作CT⊥平面ABC,垂足为C,以C为原点，以CB,CA,CT所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，则C0Q0,BmQO.A0m0P0.m2M受 ·故 CP-0m2CB=aQ.0,直线MA的方向向量质-（号分-J 设平面PBC的法向量n=(x,y,z), i.CP=0[y+2z=0 x=0 故 .CB=0' 即 nx=0 m =-2y 令y=2,则x=0,z=-m,所以n=(0,2,-m).由直线AM与平面PBC的夹角为30°，得 sin30°= n.MA 2m 4m nMAI 4+m4+"4+ 2, 整理得4+m厅+m+4方，交义相乘同时平方 得64m2=4+m22+(m+4,进而有㎡=-m+4+64m+4)-64×4.-0m2+4-256+64,由 m2+4 m2+4 基本不等式得，0m+4+256≥2256=32，所以m≤64-32=32，当且仅当m+4=256 时，即 m2+4 m2+4 m=2√5时等号成立，所以n≤4√2，即BC的最大值为4W2·此时 B(4√2,0,0，A(0,25,0),P0,25,2),M(22,5,设平面MAC的法向量元=(x,y,),则 CA=0 n·CM=0 2W5y=0 即 →=0 22+5+8=0-225，令4=1，则 为=0，a=-2W2，所以元=(1,0，-22).平面ACB的一个法向量 n=(0,0,).S设二面角M-AC-B为日， 16北点2品9 所 以 s0=-cowg--8-{ .8分 93 高三数学阶考2026 19.(1)y=x-1(2)(-m,2](3)6 【详解】(1)当a=1时，f(x)=(x+1)nx-x+1(x>0),则f()=nx+日，所以在切点 ((+-飞-)处的切线方程为-[【飞+，--小+-)，又切线过点0)， 期2(k0c)印此10，令8)m1,则g)=士 所以当x∈(0,1)时，g'(x)>0,则g(x)单调递增，当xe(1,+o)时，g'(x)<0,则g(x)单调递减， 所以当x=1时，g()mx=g()=0,所以=1，所以切线方程为y=x-1..4分 (2)法一：带参讨论：因为对任意x≥1，均有f()≥0恒成立，即h()=1mc-a:X-≥0恒成立，则 x+1 )=士a-t2-+2a1.令付=r+-2ax+l (x+1)2-x(x+12 x(x+1)2 1P当as2时、对称辅-2≤1，即u)在+四上单调递增，又u0=4-2a20,所以u(20,即 h(x)≥0，所以h(x)在，+∞)上单调递增，又h()=0,所以h(x)≥0恒成立，即f(x)≥0恒成立，符 合题意： 2当a>2时，对称轴2二-2>1，又u4()=4-2a<0,又u()=0的两个根分别为5=a-1-√a(a-习， x=a-1+Va(a-2),所以x<1,为>1，且当x∈(1，)时，u(x)<0,即h(x)<0,则h(x)单调递减， 又h()=0,所以当x∈(1，x)时，h(x)<0,即f(x)<0,与∫(x)≥0矛盾，故不成立.综上所述，a的 取值范围为（仁0,2].5分 法二：端点效应 法三：全分参 11111 2m+12n+2n+12m+12n+2(2m+l)(2n+2>0,所以S1>S.,则数列{S,}单调递增，而S=0.5, 1 $=有片0s8,8=片计0617，所以ss>06: 11 另一方面，由(2)知x≥2.-(x≥，当且仅当x=1时，取=”，令上=2.- ,则x= 2m+1 则 x+1 m x+1 2m-1 n2m+11 ,所以1+1 1 ++。≤ln n2n+3,n2n+5, +…+ln 4n+1 4n+1 In- 2m-1m n+1n+2 2n2n+12n+3 4n-1 m2-2n+1 “2n+1 所以0.6<Sm6<n2-。。 1 <n2≈0.693 、2×2026+1 方法二：由(1)知lnx≤x-1,当且仅当x=1时，取“=”， 用兰代，则n1,即r2-,当且仅当x=1时，取令1文刻点1， xx k 所以所以 1 n+1 +…+<n n+1n+22n +In n+2 …+ln 2n=In2, nn+1 2n-1 所以S26<ln2≈0.693. 综上所述，S226的小数点后第一位数字为6.8分 09 第5页共2页