北京市第十八中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

北京市第十八中学 北京市第十八中学高三年级10月检测 数学 2026.10 一、单选题(10*4=40) 1.已知集合A={x|x2+x-2≤0,B=红∈Z-1<x<2},则A∩B=() A.{x|-1<x<2 B.{x|-2≤x≤} C.{-1,0,1 D.{0,} 2.在复平面内,复数, 2-05对应的点位于() 1+ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(1-x) (1+x)的展开式中x的系数是() A.-5 B.35 C.5 D.-35 4.等差数列{an}的首项为1,公差不为0,若a2,a6,a2成等比数列,则{an}的前6项和为() A.51 B.66 C.-39 D.6 5.若11,6上2,(d-)1五,则向量 与6的夹角为() A.30 B.60 C.120 D.150 6.历史上,在5月27日曾有多次地震记录.例如:2006年5月27日,印尼爪哇发生里氏6.3级地 震,2024年5月27日,四川木里县发生里氏5.0级地震,经过科学家的研究发现,地震时释放出来 的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为gE=4.8+1.5M.印尼爪哇地震所释放出来 的能量约是四川木里地震的()倍.(精确到1.参考数据: 1g87.5≈1.942,lg88.5≈1.947,lg89.5≈1.952,lg90.5≈1.957) A.87 B.88 C.89 D.90 7.在 ABC中,“cos Acos B<sin Asin B”是“ ABC为锐角三角形”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高三数学 8.若函数f(x)=(ax2+bx)e的图像如图所示,则实数a,b的值可能为 A.a=1,b=2 B.a=1,b=-2 C.a=-1,b=2 D.a=-1,b=-2 9.如图所示,弧BD是以O为圆心,OB为半径的圆的一部分,满足OB=2,∠BOD=150 ,C是OB 的中点,A在弧BD上运动,则OAOC的最小值为() A A.2 B.-2 C.-5 D.-1 10.已知函数f(x)=1+1 B 在下列结论中: ①2 是f(x)的一个周期: ②∫(x)的图象关于直线x=亚对称: ()在区间(一2,0上无最大值 正确结论的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(5*5=25) 11.在平面直角坐标系xOy中,己知点A 将线段OA绕原点顺时针旋转得到线段OB,则 2 点B的横坐标为 12.已知{an}是公比为9的等比数列,各项符号相同,且a2,a4a。成等差数列,则9= 13.使lga+lgb=lg(a+b)成立的一组a,b的值为a= b三 4.已知y=(+ 为奇函数,则实数a的值是 (共2页) 15.已知函数f(x)=e-2,g(x)=x2+ax(a∈R),h(x)=ax-2k+1(keR),给出下列四个命 题,其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) ①存在实数k,使得方程f(x)=h(x)恰有一个根; ②存在实数k,使得方程f(x)=h(x)恰有三个根: ③任意实数a,存在不相等的实数x,x2,使得f(x)-∫(:2)=g(x)-g(x2): ④任意实数a,存在不相等的实数x,x2,使得∫(x)-f(x)=8(x2)-g(x). 三、解答题(85分) 3 16.(13分)已知Sn为数列{a}的前n项和,S,=20,-a1(n∈N)ba,≠0,且a,亏a成等差数列。 (I)求数列{an}的通项公式: (2)记b,=log2an,求数列{bn}的前n项和Tn. 17.((13分)已知函数f)=2((sin+in)∈N,oK7. (1)若f(0)=V5,求p的值: (2)若f(x)在一个周期内的部分取值如下表且m>0,求f(x)的解析式及单调增区间. 0 -2 5 f(x) m -m -m 18.(14分)在 ABC中,c=6,4 bcosA+4 a cos B=3b (1)求b的值. (2)从以下三个条件中选一个作为己知,使得满足条件的 ABC存在,求 ABC的面积. ①BC边上的高为7;②sinB=sin2C;③AC边上的中线长5. 试卷第2页 19.(15分)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x), 且方程∫(x)=2x有等根. (1)求f(x)的解析式: (2)是否存在实数m、n(m<n),使f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],如果存在, 求出m、n的值;如果不存在,说明理由. 20.(15分)已知函数f(x)=(x2-ax+1)lnx(aeR). (I)若a=2,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间(0,)和(1,+∞)上各恰有一个零点,分别记为x和x2, (i)证明:函数∫(x)在两点(x,0),(x2,0)处的切线平行: S ()记曲线y=∫()在点(:,0)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为了,求 的最大值 2-x1 21.(15分)设m≥2是正整数,数列A:a,a2,an满足:a,∈{1,2,,m(i=1,2,,m),且其任意两 项互不相同.对满足条件的数列A,若a,=t,定义T0(A)=T(4)为a,a-,a,a1,a+2,,am,对 正整数k,定义T+(A)为T(T(A) (1若m=4,数列A:31,4,2,直接写出T(A),T(A),T(A),T(A): (2)证明:对任意满足条件的数列A,都存在正整数k,使得T(4)的首项为1: (3)若F=F=l,Fn+2=F+1+Fn(n∈N).是否存在满足条件的数列A,使得T-(A)的首项不为1? 请说明理由. (共2页) 《2026年10月测试》参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 D 0 A A & B B 0 10.B 1 0 【详解】因为 4 4 7 7n sin 4 4 所以2 不是f(x)的一个周期,故①错误; 1 1 COSx te sinx 1 (:所以f儿)的图象不关于直线x子对称。 sim2- 2x cos 1 ,X2 cosx sinx 故②错: 1 1 sinx-cosx 2(sinx-cosx) f(x)=- sinx cosx 1-(sinx-cosx)2 Gnx-com) 2 mmm引则骨年引-点, 2t2 ?(在1[5,刂上单调道增,所以无最大值,即西数)在c(号0上无最大值,放 ③正确. 故选:B. 11. 3+4V3 10 12.1 13.2;2.(答案不唯一) 14.-2 15.①②④ 【分析】①②画出函数f(x)=-2图象,结合h(x)=x-2k+1经过定点(2,1),数形结合进行判断;③ 转化为两函数的交点问题,可以举出反例:④转化为两函数交点问题,能够得到一组二次函数,均过原点, 且开口向下,利用图象,数形结合得以证明 【详解】画出f(x)=e-2的函数图象,如图: 答案第1页(共6页) yAIrool=lex-2A h(x)=x-2k+1经过定点(2,1),从图中可以看出存 2.1 .=a-2k+1 在实数k,使得方程f(x)=(x)恰有一个根:①正 n2,0) 确 存在实数k,使得方程f(x)=(x)恰有三个根,②正确: 要想对任意实数a,存在不相等的实数x,x,使得f(:)-f(x2)=g(,)-g(x2),只需函数f(x)=e-2, .1) 8(x)=x+a(a∈R)始终有两个交点,当a=1时,8(x)=x2+x=x+号 3 ,开口向上,且最小值 24 3 为子,此时图象如图所示:由于指数函数的增长速度高于二次函数,显然此时两函数只有一个交点,故@ 错误: 要想对任意实数a,存在不相等的实数,x3,使得f()-f(x2)=8(x3)-8(:), (x)x2tx 即f(x)-f(x2)=-8(x)-8(x)],只需f(x)=e-2与-8(x)=-x2-ax,无论 fx)=e*-2 a以何值,部有丙个交点,关中-8间=-m=一-号开口向下且有 最大值为≥0,且恒过o.o),厨出两函数图象如下,其中g(=-=-x++4为一年抛物 4 +2+4 线,用虚线表示: fx)=e*-2 无论a取何值,都有两个交点,④正确: 故答案为:①②④ 16.(1)a=2 (②)I=-4 2 gx)月x2-ax 【详解】(1)由Sn=2a.-4,当n≥2时,Sn-1=2a-1-4,即 3 a=2a-2a1,即a=241,所以数列a}是公比为2的等比数列,由4+4=2x2即34=3,4=1, 所以数列{a}的通项公式为an=2”; (2)由1)得6.=1og,4=1g,21=-1,所以数列,}为等差数列,所以Z=(0+n-1m_斤-” 2 2 1.【详解】1)0罗 答案第2页(共6页) (2)f()的解折式是f)=3smex+冷: f(y的单调递增区间是[-亚+m,亚+k∈Z)。 3 6 18.【详解】(1)b=8. (2)选② 当a=6时, ABC的面积S= 2absinc=1 > 6 8 3—=8令 当a=4时,AABC的面积S= bsmc-;x4 8x556w5 23 3 0 选③ 1BC的面积S=l sinA=x8x6x5V万-15V7 16 2 19.(1)f(x)=-x2+2x;(2)m=-2,n=0 20.【详解】(1)当a=2时,f(x)=(x2-2x+1)lnx, 则r)-2a-长m-》 1分 令)=2-1子则倒)-子+号>0,故)右0-)上道猫,3分 又h(1)=2n1+1-1=0, 则x∈(0,1)时,h(x)<0,又x-1<0,故∫"(x)>0,4分 当x∈(1,+o)时,h(x)>0,又x-1>0,故f'()>0,5分 故f'(x)≥0恒成立,故f(x)在(0,+w)上单调递增, 即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;6分 (2)(i)证明: f(x)=(2x-a)Inx+x-@+1 1分 当lnx=0时,x=1, 根据题意,零点x1,x2分别在区间(0,1)和Q,+0)内,不等于1,因此,x2是方程x2-+1=0的两个根, 故+=,￥=1,则多=a-￥,与- 2分 且有X2-,+1=0,则x1=x+1, 则f'(6)=(2-ah5+-匹1-an,3分 X 答案第3页(共6页) 同理fsa-(任ah片( (2-(-eax =(s-a+x)nx1=(2x-a)nx=f'(3), 故函数f()在两点(任,0),(3,0)处的切线平行;5分 (i)由(i)知'(x)=(2x-a)hx, 故y=f(x)在点(1,0)处的切线为y=(2x1-a)nx(x-x),0<x<1,1分 令x=0,则y=(2x-a)nx1(-x)=(-2x)nx, 又a=x+1,故y=(1-x)nx, 故s号-5血y,又马,且01长,2分 所以s。2如=n等3分一 1-eo.则2。a0-,又00 当0<t<时m()>0,当上<t<1时m()<0, 所以m(0在(Q日)上单调递增,在日上单调递减,则m0≤m日在 所以 1 一的最大值为 .4分 4e 21.(1) T(A):4,1,3,2;T2(A):2,3,1,4: T(4):3,2,14:r4(A:1,2,3,4. (2) 下面用数学归纳法证明。 证明:①当=2时,数列A:1,2或A:2,1满足条件: 显然,对数列A:1,2:经过任意k(k为正整数)次变换均为数列本身,即首项恒为1; 对数列A:2,1,有T(A):1,2,故经过1次变换,T(A)的首项为1, 故当m=2时,存在正整数k,使得T(A)的首项为2: 答案第4页(共6页) ②假设=t(t≥3,t∈N*)时, 对数列A:4,,…,4,其中4∈1,2…,t}(i=1,2,t), 都存在正整数k,使得T(A)的首项为1, 为便于理解,下面叙述为:经过有限次变换,可使首项为1; 自然经过有限次变换,也可使首项变为数列的任意项4,4∈1,2,…,t}(i=1,2,t) 当m=t+1时,对A:4,4,,4+,其中4∈1,2,…,t+1}(i=1,2,t+1), (i)若41=t+1,则1是数列A的前t项中的项,4≠t+1,且4<t+1, 由题意,T(A)的首项也不等于t+1,且经过任意次变换后首项均不为t+1, 即变换仅对前t项产生顺序调整,相当于对数列4,4,,4的变换, 故由归纳假设可知,经过有限次变换,可使首项为1: (ii若a1≠t+1,设a,=t+1(1≤p≤t,p∈N*),4+1=q(1≤q≤t,9∈*),4≠q, 由题意,经过任意变换,只要t+1没有变换至首项位置,则相当于对数列4,凸,,4的变换, 则由归纳假设,经过有限次(设为次)变换,可使T(A)首项为t+1, 当q=1时,即4=1,则T+(A)的首项为1,即经过1+1次变换,可使首项为1: 当q≠1时,即41≠1,则T0(A)的最后一项变换为t+1,则转化为新数列A'满足4+1=t+1,即(i)的情 况,故经过有限次变换,也可使首项为1: 故对数列A:4,,,4+1,都存在正整数k,使得T(A)的首项为1; 综合①②可知,对任意满足条件的数列A,都存在正整数k,使得T(A)的首项为1. (3) 不存在满足条件的数列A,使得T)(A)的首项不为1.原因如下: 以上结论可转化为:任意数列A,T-(A)的首项均为1. 由变换的可逆性,又可转化为:任意首项为1的数列,均可经过不多于F-1步的逆向变换,可转化为任 意原数列, 不妨设原数列为1,2,3,,. 首先,定义逆变换M(A):设m≥2是正整数,对数列1,2,3,,m, 若存在4=5,5∈{1,2,…,,定义逆变换M(A)=M(A)为a,a.-1,4,aH,a+2,,am, 答案第5页(共6页) 对正整数k,定义Mk+(A)为MM(A) 由(2)可知,任意数列A,要使首项为1,当数列中任意项4≠i,4∈1,2,…,叫(i=1,2,…,m)时,数列A 才可能取到最大变换次数: 故结论还可转化为,数列1,2,3,,,可经过不多于F-1步的逆变换,可使数列中任意项均不在原位置 下面用数学归纳法证明该结论 ①当=2时,数列A:1,2,经过一次逆变换得M(A):2,1. 由Fm+H-1=乃-1=耳+乃-1=1, ②假设≤t(t≥2,t∈N*)时,数列1,2,3,~,t可经过不多于耳+-1步的逆变换,可使数列中任意项均不 在原位置, 则当m=t+1时,对数列A:1,2,3,…,t+1, 先将前t项即数列:1,2,3,,t,作逆变换, 由归纳假设,可经过不多于耳-1步的逆变换,使数列A的前t项均不在原位置,记为b,b,,b,: 再作一次逆变换可得数列t+1,b,b-1,,b,其中第t项b≠t, (假设b=t,) 故后面的变换只与前t-1项有关,可经过不多于耳-1步的逆变换,使数列A的前t-1项均不在原位置, 故共不超过卫m+1-1+1+P-1=Fm+2-1步逆变换. 答案第6页(共6页)