精品解析：安徽省蚌埠市A层高中2026-2027学年高一上学期10月素质评价数学试题

10月份素质评价高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 2. 命题“一元二次方程总有实数根”的否定为（ ） A. 所有一元二次方程总有实数根 B. 存在一元二次方程有实数根 C. 所有一元二次方程没有实数根 D. 存在一元二次方程没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】命题“一元二次方程总有实数根”是一个全称量词命题，否定为存在量词命题，“改量词，否结论”即可. 【详解】命题“一元二次方程总有实数根”是一个全称量词命题，其否定为“存在一元二次方程没有实数根”. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立， 当时，满足，但不成立，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由在上单调递增的性质可得，当时，有； 对于B，因为，所以，由不等式性质可得，不等式两边同时除以大于零的数，不等号方向不变，故； 对于C，由不等式性质，若，同号，且，有； 对于D，取，，，，此时有，，与矛盾，故该命题为假命题. 5. 满足式子有意义的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，即，解得，故实数的取值范围为. 6. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式求得最小值. 【详解】， 因为，所以， 所以. 当且仅当，即时取等号. 7. 下列条件中，是“关于的不等式对一切实数都成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式恒成立分类求出的取值范围，再由充分不必要条件推出集合间的包含关系即可确定答案. 【详解】由“关于的不等式对一切实数都成立”，可分为两种情况： ①当时不等式为恒成立，符合题意； ②当时，依题意需使，解得， 综上可得，. 依题意，要使选项对应的集合为的真子集，故只有C项：符合. 8. 学校举办了一次趣味运动会，某班共有30位同学积极参加．每位同学可以根据自己的兴趣选择至少一个项目，一共有3个比赛项目，分别为“同舟共济”，“齐心协力”，“旱地龙舟”．已知参加这三个项目的人数分别为14，20，16．同时参加“同舟共济”和“齐心协力”共有10人，同时参加“同舟共济”和“旱地龙舟”共有8人，三个项目都参加共有6人．则同时参加“齐心协力”和“旱地龙舟”共有（ ） A. 8人 B. 6人 C. 4人 D. 2人 【答案】A 【解析】 【详解】设同时参加“齐心协力”和“旱地龙舟”共有人，图如图所示： 则，解得. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知集合，集合，集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】将三个集合统一写成分母为4的分式，观察分子的整数特征，即可判断集合之间的包含关系. 【详解】因为，所以中元素的分子是除以4余1的整数； 因为，所以中元素的分子是全体奇数； 因为， 所以中元素的分子也是除以4余1的整数，故， 又因为中的元素全部属于，所以. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系求解. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集是得， 方程的根为且， 所以. 对于A，设，那么函数图象开口向下，与x轴交于，如图所示,那么即，正确； 对于B，，错误； 对于C，可化为，即， 解得，错误； 对于D，，故，正确. 11. 已知，为正实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项，由基本不等式得 ，所以， 整理得，解得或（舍）， 当且仅当时取等，所以的最小值为，A选项正确； B选项，由基本不等式得，当且仅当即时取等； 由A知，，所以等号不成立，B选项错误； C选项，由得， 又因为且，所以； 因此，当且仅当即时取等， 所以的最小值为，C选项正确； D选项，由得， 故， 当且仅当即时取等， 所以的最小值是，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程组，转化为一元二次方程求解，得到交点坐标，即可求得解集. 【详解】联立两个方程得：，即， 因式分解得，解得或，代入， 得或，所以方程组的解集是. 13. 若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【详解】， 当时，不等式的解集为，由题意可知； 当时，不等式的解集为，由题意可知. 14. 已知，，若命题“，使得”是假命题，且满足恒成立，则实数取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由存在量词命题为假命题，推得其否定为真命题，再由两根相等推出，根据“乘1法”和基本不等式求出的最小值，再由函数不等式恒成立求解一元二次不等式即得. 【详解】因命题“，使得”是假命题， 则“，使得”为真命题，则，即， 则， 因，，则， 当且仅当时即时等号成立， 因恒成立，则，即，解得. 所以实数取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，，满足，． （1）求集合； （2）是否存在实数，满足集合，若存在求的值；若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先求得，再结合集合交并补运算求解即可； （2）由题知，再结合集合相等求解即可. 【小问1详解】 解：因为，解得， 所以， 因为， 所以， 因为，所以，，，，，， 综上； 【小问2详解】 解：由于，，根据子集的概念， 所以，所以且， 所以，，即，， 因此存在实数，，此时. 16. 已知集合，，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式先求出集合，再根据题意得到，从而求出的取值范围； （2）根据题意得到是的真子集，分和讨论，从而求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意集合， 集合， 若“”是“”的充分条件，所以，， 得到， 所以， 综上可知：的取值范围为. 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集； 分情况讨论 当时，；满足题意； 当时， 若，则，不合题意，舍去； 若，则，又是的真子集，所以. 综上可知：的取值范围为. 17. （1）已知，，求证：； （2）若，都是非负数，满足，求的最小值和的最小值． 【答案】（1）证明：因为，，所以； ，当且仅当时等号成立 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）的最小值是，的最小值是． 【解析】 【分析】（1）作差法证明即可证明结论； （2）结合（1）的结论求解的最小值；结合，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，； 因为，所以 当且仅当时，即，时等号成立． 综上的最小值是． 因为，，都是非负数，配凑， 得到 当且仅当时，即，时等号成立． 综上的最小值是． 18. 某储能电站采用新型储能技术，对电网低谷电能进行储存、高峰电能释放利用．已知该电站每月储能处理量（充放电总容量）最少为400吨标准电量，最多为800吨标准电量，月储能运营成本（元）与月储能处理量（吨标准电量）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨标准电量可产生的电网调度收益为300元． （1）该电站每月储能处理量为多少吨标准电量时，才能使每吨的平均储能运营成本最低？ （2）该电站每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该电站不亏损？ 【答案】（1）每月储能处理量为400吨标准电量时，每吨的平均储能运营成本最低 （2）该电站每月可以获利，最大利润45000元． 【解析】 【分析】（1）先列出每吨的平均储能运营成本，再利用基本不等式解决即可； （2）列出每月的获利与月储能处理量的关系式，再利用二次函数求值域，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，每吨的平均储能运营成本，， 由基本不等式， 当且仅当吨时，每吨的平均储能运营成本最低是200元. 【小问2详解】 每月的获利，， 化简，因为，所以， 当吨时，可获利45000元. 综上，该电站每月可以获利，最大利润45000元. 19. 已知集合，，中至少有3个元素，若对，都有或，则称集合是“开放”集合． （1）判断集合和是否是“开放”集合； （2）若集合是“开放”集合，且集合中的元素有5个，，写出满足条件的集合；（写出一个即可，不用写过程） （3）若集合是“开放”集合，求的值． 【答案】（1）不是“开放”集合；是“开放”集合 （2）（写出一个即可） （3）1 【解析】 【分析】(1)根据“开放”集合定义，只要找到一对元素，它们的和与差都不在集合内，即可判定不是开放集合；全部元素两两检验，每一组的和或差至少一个在集合内，才是开放集合； (2)构造5个元素的开放集合，包含1，优先选取对称整数集合，验证任意两元素的和或差属于该集合即可； (3)利用得到或，排除的情况得到，再结合集合互异性与开放集合条件分类讨论求出剩余元素，最后计算代数式的值. 【小问1详解】 因为，，所以不是“开放”集合； 集合中任意两个元素，它们的和或者差至少一个在集合内，所以是“开放”集合 【小问2详解】 满足题意，或 【小问3详解】 因为集合是“开放”集合，则，至少一个成立． 若，取，，且，不符合开放集合定义，舍去； 所以只能，则，此时，讨论： 若时，，此时，满足题意，； 若时，，元素重复，不合题意； 若时，无解； 若时，，元素重复，不合题意； 若时，，元素重复，不合题意； 若时，，此时不是“开放”集合； 所以，为， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月份素质评价高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 命题“一元二次方程总有实数根”的否定为（ ） A. 所有一元二次方程总有实数根 B. 存在一元二次方程有实数根 C. 所有一元二次方程没有实数根 D. 存在一元二次方程没有实数根 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 5. 满足式子有意义的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 下列条件中，是“关于的不等式对一切实数都成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 学校举办了一次趣味运动会，某班共有30位同学积极参加．每位同学可以根据自己的兴趣选择至少一个项目，一共有3个比赛项目，分别为“同舟共济”，“齐心协力”，“旱地龙舟”．已知参加这三个项目的人数分别为14，20，16．同时参加“同舟共济”和“齐心协力”共有10人，同时参加“同舟共济”和“旱地龙舟”共有8人，三个项目都参加共有6人．则同时参加“齐心协力”和“旱地龙舟”共有（ ） A. 8人 B. 6人 C. 4人 D. 2人 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知集合，集合，集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 11. 已知，为正实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程组的解集是__________． 13. 若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的取值范围是__________． 14. 已知，，若命题“，使得”是假命题，且满足恒成立，则实数取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，，满足，． （1）求集合； （2）是否存在实数，满足集合，若存在求的值；若不存在请说明理由． 16. 已知集合，，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. （1）已知，，求证：； （2）若，都是非负数，满足，求的最小值和的最小值． 18. 某储能电站采用新型储能技术，对电网低谷电能进行储存、高峰电能释放利用．已知该电站每月储能处理量（充放电总容量）最少为400吨标准电量，最多为800吨标准电量，月储能运营成本（元）与月储能处理量（吨标准电量）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨标准电量可产生的电网调度收益为300元． （1）该电站每月储能处理量为多少吨标准电量时，才能使每吨的平均储能运营成本最低？ （2）该电站每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该电站不亏损？ 19. 已知集合，，中至少有3个元素，若对，都有或，则称集合是“开放”集合． （1）判断集合和是否是“开放”集合； （2）若集合是“开放”集合，且集合中的元素有5个，，写出满足条件的集合；（写出一个即可，不用写过程） （3）若集合是“开放”集合，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $