精品解析：山东聊城市茌平区振兴街道中学2026-2027学年上学期九年级第二次数学作业反馈

2026—2027初三年级第二次数学作业反馈 （考试时间：110分钟，试卷满分：120分） 【测试范围：九年级上册第1章-第2章第4节】（青岛版2026） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组图形中一定是相似形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个直角三角形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似形的定义，掌握相似形的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似形”是解题的关键． 【详解】解：A、两个等腰三角形的顶角可能不等，不一定相似； B、两个菱形的内角可能不等，不一定相似； C、两个直角三角形的锐角可能不等，不一定相似； D、∵两个正方形的所有内角均为，对应角相等；且所有边相等，对应边成比例， ∴ 两个正方形一定相似； 故选：D． 2. 将方程化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程一般形式判断即可． 【详解】解：由， 整理得， ∴二次项系数为， 一次项系数为， 常数项为． 3. 如图，，，，则等于（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 先根据平行线分线段成比例定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 4. 如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方；由相似比为，可求出，即可求解. 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∴. 故选：A. 5. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为1，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可解答． 【详解】解：原方程得： 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程---配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．熟练掌握配方法的步骤是解此题的关键． 7. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 8. 设a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，求解即可． 【详解】∵a，b是方程的两个实数根， ∴，即， ∴ 故选：B． 9. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A. （20﹣x）2＝20x B. x2＝20（20﹣x） C. x（20﹣x）＝202 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点， 且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x， ∴， ∴（20−x）2＝20x， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 10. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．将已知根代入方程求解参数，即可求解． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 整理得， 解得． 故答案为：． 12. 若，是方程的两个根，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出，，将其代入即可得到答案． 【详解】解：根据题意，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法． 13. 在中，，，，是斜边上的高，线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据有两个角对应相等的三角形相似证明，再根据相似三角形的性质即可求得的长．解题的关键是找准判定相似三角形的条件． 【详解】证明：∵是斜边上的高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 14. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练求解一元二次方程，本题属于基础题型． 根据一元二次方程的解法以及三角形三边关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时， 由于，故能围成三角形； 三角形的周长为， 当时， 由于，故不能围成三角形， 故答案为：10． 15. 我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米． 【答案】 【解析】 【分析】将实际问题转化为三角形相似问题求解进而得出答案． 【详解】解：63cm=0.63m，AB=7cm=0.07m， ∵AB∥CD， ∴△ABO∽△CDO， ∴ 即 d=252（m）， 故答案为：252． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的对应高的比等于相似比分析是解题关键． 16. 如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止．动点从点出发到点止．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时．运动的时间是___． 【答案】秒或秒 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，列出比例式，进而可求运动的时间． 【详解】解：根据题意得：设当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒， ， ①当时，则， 即， 解得：； ②当时，则， 即， 解得：； 综上所述：当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒或秒， 故答案为：秒或秒． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得； 【小问2详解】 解： 或 解得； 【小问3详解】 解：在中，，，， ∴ ， ∴， 解得． 18. 如图，已知，且，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据“两边及夹角法”证得结论即可． 【详解】略 19. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．如果围成矩形的面积为，求矩形的长和宽． 【答案】矩形实验田的长为，宽为. 【解析】 【分析】设矩形实验田垂直于墙的一边为，与墙平行的一边长，根据题意，列出一元二次方程，据此求解即可； 【详解】解：设矩形实验田垂直于墙的一边为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 解得：． ， ， ， ， 此时矩形实验田的长为，宽为. 20. 根据素材完成任务． （1）【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）实际售价应定为每个元 【解析】 【分析】（1）设该工厂4月份到6月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设涨价元，则售价为元，销量为个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设平均增长率为 ． 解得或（不合实际，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设涨价元，则售价为元，销量为个， 每个利润为元， 由题意得， 整理得， 解得或， 尽可能让消费者得到实惠， ， ， 答：实际售价应定为每个元． 21. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 22. 某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： （2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2） 成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 【详解】（1）略 （2）略 23. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 【答案】 （1）证明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB． ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ADC∽△ACB． ∴ 即AC2=AB•AD． （2）证明：∵E为AB的中点 ∴CE=AB=AE ∴∠EAC=∠ECA． ∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD． （3） 【解析】 【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD． （2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD． （3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE ∴． ∵CE=AB ∴CE=×6=3． ∵AD=4 ∴ ∴． 24. 阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． （2）已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据，计算即可； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系，求得，然后利用计算即可； （3）由题意可知，，然后根据进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵的两个实数根为m，n， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵实数s，t满足，且， ∴是的两个根， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027初三年级第二次数学作业反馈 （考试时间：110分钟，试卷满分：120分） 【测试范围：九年级上册第1章-第2章第4节】（青岛版2026） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组图形中一定是相似形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个直角三角形 D. 两个正方形 2. 将方程化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，，，，则等于（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 4. 如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 设a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2027 9. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A. （20﹣x）2＝20x B. x2＝20（20﹣x） C. x（20﹣x）＝202 D. 以上都不对 10. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则a的值是________． 12. 若，是方程的两个根，则______． 13. 在中，，，，是斜边上的高，线段的长为__________． 14. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______． 15. 我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米． 16. 如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止．动点从点出发到点止．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时．运动的时间是___． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，已知，且，求证：． 19. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．如果围成矩形的面积为，求矩形的长和宽． 20. 根据素材完成任务． （1）【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 21. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 22. 某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： （2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 23. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 24. 阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． （2）已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）已知实数s，t满足，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $