精品解析：山东省聊城市茌平区振兴街道中学2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考试题

2025—2026学年初三年级第三次数学作业反馈 一、单选题 1. 已知是锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. “计里面方”（比例缩放和直角坐标网格体态）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志，制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，且，观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，函数有最小值1 C. 当时，随的增大而减小 D. 可由抛物线向左平移2个单位得到 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（）与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法不正确的有（ ） ①空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 ②当时，的阻值为 ③当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 ④当时，燃气报警器为报警状态 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 12. 若点、、都在反比例函数（k为常数）的图象上，则、、的大小关系为____________． 13. 如图，中，，，，，则______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数的图象上一点，，交反比例函数的图象于点，且满足，则的值是___． 15. 如图，是的直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是________． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）用配方法解方程：． 17. 如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求的面积． 19. 天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 20. 如图，为的内接三角形，其中是的直径．以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；过点作射线，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标． 23. 类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请求出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接． 请直接写出： ①若，则 ； ②延长交于点F，交于点G，则的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年初三年级第三次数学作业反馈 一、单选题 1. 已知是锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据是锐角，且得出，再求其正切值，即可求解． 【详解】解：∵是锐角，且 ∴， ∴ 故选：C． 2. “计里面方”（比例缩放和直角坐标网格体态）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志，制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，且，观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，结合已知逐一计算判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴,， ∴， 无法证明， 故A正确，不符合题意； B正确，不符合题意； D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选C． 3. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解． 【详解】将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 4. 如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，根据直角所对的圆周角是直角得到的度数，则可求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 对于二次函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，函数有最小值1 C. 当时，随的增大而减小 D. 可由抛物线向左平移2个单位得到 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先确定顶点坐标判断A，再根据最大值判断B，然后根据对称轴及增减性判断C，最后根据二次函数的平移解答D． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标是，开口向上， ∴当时，函数有最小值1； 所以A不正确，B正确； ∵二次函数的对称轴是，开口向上， ∴当时，函数值y随着x的增大而增大， 所以C不正确； 将抛物线向左平移2个单位得到， 所以D不正确． 故选：B． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．由于本题不确定的符号，所以应分和两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 【详解】解：当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，如图所示： ，与C选项符合； 当时，一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限．如图所示： ，没有选项与之符合． 故选：C． 7. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米， ∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形， ∴由题意可得：， 故选：A． 9. 如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质．连接，利用证明，推出，由，得到，利用勾股定理求出，再由阴影部分的周长，计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵阴影部分的周长， ∴阴影部分的周长． 故选：A． 10. 很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（）与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法不正确的有（ ） ①空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 ②当时，的阻值为 ③当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 ④当时，燃气报警器为报警状态 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，数形结合是解题的关键． 根据题意结合函数图象，类比反比例函数图像，逐项分析判断即可即可求解． 【详解】解：①由图2可知，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的增大而减小， ∴空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小，故①正确； ②由图2可知，当时，的阻值小于，故②错误； ③由图3可知，时，燃气报警器为报警状态， ∴当空气中一氧化碳体积浓度大于时，燃气报警器为报警状态，故③正确； ④由图2可知，时，，而大于时，燃气报警器报警，故④错误． 综上所述，不正确的是②④，共2个． 故选：B． 二、填空题 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由得， 解得：且， 故答案为：且． 12. 若点、、都在反比例函数（k为常数）的图象上，则、、的大小关系为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质和，可以得到反比例函数的图象所在的象限和在每个象限内的增减性，然后即可判断、、的大小关系． 【详解】解：反比例函数为常数），， 该函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， 点、，、都在反比例函数为常数）的图象上，，点、在第三象限，点在第一象限， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，会用反比例函数的性质判断函数值的大小关系，注意第三象限内点的纵坐标始终小于第一象限内点的纵坐标． 13. 如图，中，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角函数. 证出是等腰直角三角形，得出，证出，由题意得出，解得，即可得出答案． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数的图象上一点，，交反比例函数的图象于点，且满足，则的值是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义，是解题的关键． 过点A作轴于C，过点B作轴于点D，则，通过证得，得出，得，即可解得． 【详解】解：过点A作轴于C，过点B作轴于点D， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，是的直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，由得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， ∴交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的函数值的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和正确计算是解题的关键． （1）先代入特殊角的函数值，再按照二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先将常数项移到等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法求解． 【详解】解：（1） ； （2） 解得：． 17. 如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质， （1）根据平行四边形的性质得，，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”得出答案； （2）先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， . 四边形是平行四边形， ， . ， . . 18. 如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）求出点的坐标，代入抛物线解析式即可； （2）求出点、的坐标，根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得：， 解得：， ∴点， 把点代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于抛物线， 当时，， ∴点D的坐标为， ∴， 联立直线和抛物线得， 解得或， ∴点， ∴轴，且， ∴． 19. 天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 【答案】月球与地球之间的近似距离万千米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设万千米．在和中，分别用表示和的长，再根据万千米，列式计算即可求解． 【详解】解：设万千米． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵万千米， ∴， 整理得， 解得， ∴月球与地球之间的近似距离为38万千米． 20. 如图，为的内接三角形，其中是的直径．以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；过点作射线，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的判定，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作一个角等于已知角，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）连接，先利用直径所对的圆周角是得出，得出，再利用等腰三角形的性质得出，再利用作图可知，即可得，即可证明； （2）设的半径为，利用，列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 即的半径为． 21. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 （2）该零部件的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）将点代入反比例函数求得，进而将点，代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）根据，两点坐标判断即可． （3）设,，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数图象上， ， 点A的坐标为点， 将点A，B坐标代入中，得， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：令，则， 令，则， 解得， 点C的坐标为，点D的坐标为， 设， 点A的坐标为点，， ， ， 解得：， 23. 类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请求出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接． 请直接写出： ①若，则 ； ②延长交于点F，交于点G，则的值为 ． 【答案】（1） ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （3）①10；② 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，继而可得答案； （2）利用等腰直角三角形性质证明，继而利用相似性质得； （3）①先证明，继而得到，再得到；②利用得，继而得，再得本题结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10； ②由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形性质，全等三角形判定及性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定及性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $