精品解析：山东日照市莒县第三中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

数学假期作业复盘练习 一、单选题 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 2. 如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 3. 已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y=（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A. m＞3 B. m≥3 C. m≤3 D. m＜3 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，可得出m﹣3＜0，解之即可得出m的取值范围． 详解：∵当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，∴m﹣3＜0，∴m＜3． 故选D． 点睛：本题考查了二次函数的性质，根据当0＜x1＜x2时y1＞y2结合二次函数的性质，找出关于m的一元一次不等式是解题的关键． 4. 下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. ①④ B. ① C. ②③ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法是①． 5. 如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 6. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把代入中得到，再把作为整体求解即可． 【详解】解：把代入中得， ， ． 7. 如图，四边形是以点O为圆心，为直径的半圆的内接四边形，连接．若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点D作于点E，则．证明是等边三角形，得出，，，求出，再结合扇形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E， 则． 四边形为半圆O的内接四边形，， ． 又， ∴是等边三角形， ，， ，， ∵， ∴， ． 8. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 9. 如图，在菱形中，E为上一点，以为直径的与相切于点E，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质将设出来，并将表示出来，根据圆的切点性质，得出，利用勾股定理求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴， 在中，， ∴，解得． 10. 如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由矩形和勾股定理得，当点在上时，有最小值为的长，再结合折叠可得，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，，E是边的中点， ，， ， ， 当点在上时，有最小值为的长， 折叠， ， 的最小值为． 二、填空题 11. 若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数需满足不等于0的条件．求解不等式，即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵  是关于  的二次函数， ∴， ∴． 12. 抛物线的对称轴是______，函数最大值是______． 【答案】 ①. 直线 ②. 【解析】 【分析】本题根据二次函数顶点式的性质，直接得到对称轴；由可知抛物线开口向下，顶点纵坐标即为函数的最大值． 【详解】解： 抛物线解析式为顶点式，对照顶点式， 可得，，． 抛物线的对称轴为直线． 又，抛物线开口向下，顶点为最高点， 当时，函数取得最大值． 13. 把抛物线先向右平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度，可以得到抛物线． 【答案】 ①. ②. 下 ③. 【解析】 【详解】解：把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，可以得到抛物线． 14. 如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据圆与轴相切的性质可知圆心纵坐标的绝对值等于半径，结合抛物线解析式及取值范围求解即可． 【详解】解：∵的半径为3，且与轴相切 ∴圆心的纵坐标为3或 当时，代入得， 解得， 即， ∴点的坐标为或， 当时，代入得， 整理得， ∴此方程无实数解， 综上所述：点的坐标为或． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一点．若点P的横坐标为2，则的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】求出三点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，过点作轴交于点，求出点的坐标，算出线段的长，利用求解． 【详解】解：对于， 令，则， 故， 令，则， 故， 令，可得， 解得或， 故， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 则对， 令，则， 故， ∴， ∴ ． 16. 如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接OP、OQ，根据,可得当OP⊥AB时，PQ最短；在中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图：连接OP、OQ， ∵是的一条切线 ∴PQ⊥OQ ∴ ∴当OP⊥AB时，如图OP′，PQ最短 在Rt△ABC中， ∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB= ∵S△AOB= ∴，即OP=3 在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1 ∴PQ=． 故答案为． 【点睛】本题考查了切线的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键． 三、解答题 17. 已知二次函数． （1）请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）若点在该函数图象上，当时，则x的取值范围为______； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称性补全几个对称点，在坐标系中描出，用平滑曲线连接，即可得到该二次函数的图象； （2）根据（1）中的图象，即可得出的取值范围； 【小问1详解】 解：列表如下： 二次函数如图所示：略 【小问2详解】 解：该二次函数开口向下， 对应图象中x轴上方的抛物线部分， 由图可知：这部分图象的所有点的横坐标，介于抛物线与x轴的两个交点横坐标 和 1之间， ∴当时，的取值范围为； 18. 如图，在三角形中，O是外心，I是内心． （1）若，求的度数；求的度数． （2）求与的关系． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出，代入求出即可； 求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （2）分别推导、与的关系式，以为中间量消元，得到与的数量关系． 【小问1详解】 解∶为的内心， ，． ， ． ，即， ． 点O为的外心， 由圆周角定理得． ， ． 【小问2详解】 解： 是的内心， 平分，平分． ． 在中，由三角形内角和定理： 在中，， ∴ 是的外心，由圆周角定理：同弧所对圆心角等于圆周角的2倍． ∴，即， ∴． 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，可以求出抛物线与轴的交点的坐标；令，可以求出抛物线与轴的交点的坐标； （2）根据（1）中所求点的坐标得到的长度，进而求得的面积． 【小问1详解】 解：令，则， 整理得， ， 或， 点在点的左侧， ． 令，则， ． 【小问2详解】 解：， ， ， 到轴的距离为，即 ． 20. 如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； （1）求弦与弦的长． （2）求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出；根据圆周角定理得到°，再根据角平分线定义得，则，于是可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可求得； （2）作于，由（1）可得是等腰直角三角形，进而可得，，利用勾股定理求得，根据即可求得的长． 【小问1详解】 解：是的直径， ， 在中， ， 是的直径， ， 的平分线交于点， 是等腰直角三角形， 【小问2详解】 如图，作于， 是的直径， ， 的平分线交于点， ， 是等腰直角三角形， ， 在中， ， ． 21. 如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． （1）求证：． （2）过点D作的平行线，证明是外接圆的切线． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1）知， ∴， 即是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是外接圆的切线． 【解析】 【分析】（1）连接，根据内心的定义可知平分，平分，根据圆周角定理得到，根据三角形外角的性质求出，根据等角对等边证明即可； （2）连接，由（1）知，得到，即是的中点，根据垂径定理的推论可知，即，可知是外接圆的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，抛物线，经过，两点，与y轴交于点C， （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，求最小值以及此时P点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与x 轴两交点的坐标求出对称轴，确定顶点式中的参数h，再将已知点的坐标代入抛物线顶点解析式，通过解方程求出参数 a，进而求出抛物线的完整解析式即可； （2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过，两点， 抛物线的对称轴为直线 ，即 ， ∴抛物线解析式可写为， 将点 代入抛物线解析式得 ， 解得， 抛物线解析式：， 展开得一般式：． 【小问2详解】 解：如图，连接，交对称轴于点， 则， 此时最小，，     抛物线的解析式为， 其对称轴为直线， 当时，， ， 又， 设的解析式为， ， 解得：， 的解析式为， 当时，， ， ． 23. 【给出定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】如图1，2，3，小莹发现任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，从而得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 （1）结合以上三个图形，你同意小莹的观点吗？若不同意请写出你的发现． （2）在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______． （3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且，求的最小覆盖圆的半径． （4）如图5，在四边形中，，，，且，，，若点是四边形最小覆盖圆上的一点，求的最小值． 【答案】（1）不同意小莹的观点，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆,若钝角三角形,则其最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据外接圆的性质，分别证明即可； （2）连接，交于点O，由矩形的性质得到，，点A、B、C、D四点共圆，由勾股定理求出即可； （3）取外接圆的圆心O，连接，由圆周角定理得，即可求出，得到的最小覆盖圆的半径是； （4）作的外接圆，则四边形最小覆盖圆是，连接并延长交于点，则此时取得最小值，勾股定理求得的长，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：不同意小莹的观点， 在图1中设锐角外接圆圆心为点O，连接， ∴锐角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆； 如图，设直角外接圆圆心为点O，连接， 则，且为外接圆的直径， ∴直角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆； 在图3中设钝角中， 作以最长边为直径的圆，则由下图可知，点C在此圆内， 故钝角三角形的外接圆不是覆盖该三角形的最小覆盖圆，以最长边为直径的圆是钝角三角形的最小覆盖圆； 综上所述，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆,若钝角三角形,则其最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆.故小莹的说法不正确. 【小问2详解】 连接，交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点A、B、C、D四点共圆， ∴， ∴该矩形的最小覆盖圆的直径为； 【小问3详解】 取外接圆的圆心，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的最小覆盖圆的半径是； 【小问4详解】 解：如图，作的外接圆， ∵， ∴在的内部， ∴四边形最小覆盖圆是， 连接并延长交于点，则此时取得最小值， ∵，，， ∴ ∴， 过点作于点， ∵，， ∴ ∴ 在中， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学假期作业复盘练习 一、单选题 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y=（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A. m＞3 B. m≥3 C. m≤3 D. m＜3 4. 下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. ①④ B. ① C. ②③ D. ①③ 5. 如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 8 D. 4 6. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是以点O为圆心，为直径的半圆的内接四边形，连接．若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，E为上一点，以为直径的与相切于点E，若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 12. 抛物线的对称轴是______，函数最大值是______． 13. 把抛物线先向右平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度，可以得到抛物线． 14. 如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为_________． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一点．若点P的横坐标为2，则的面积为______． 16. 如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为____． 三、解答题 17. 已知二次函数． （1）请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）若点在该函数图象上，当时，则x的取值范围为______； 18. 如图，在三角形中，O是外心，I是内心． （1）若，求的度数；求的度数． （2）求与的关系． 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求的面积． 20. 如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； （1）求弦与弦的长． （2）求的长． 21. 如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． （1）求证：． （2）过点D作的平行线，证明是外接圆的切线． 22. 如图，抛物线，经过，两点，与y轴交于点C， （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，求最小值以及此时P点的坐标． 23. 【给出定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】如图1，2，3，小莹发现任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，从而得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 （1）结合以上三个图形，你同意小莹的观点吗？若不同意请写出你的发现． （2）在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______． （3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且，求的最小覆盖圆的半径． （4）如图5，在四边形中，，，，且，，，若点是四边形最小覆盖圆上的一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $